2025-2026学年苏科版九年级数学《圆+二次函数+图形的相似+锐角三角函数》综合练习题

2025-2026学年苏科版九年级数学《圆+二次函数+图形的相似+锐角三角函数》 综合练习题（附答案） 一、选择题（共24分） 1．已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 2．线段2cm、8cm的比例中项为（　　）cm． A．4 B．8 C．±4 D．±8 3．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝3，CE＝6，BD＝2，DF＝（　　） A．4 B．4.5 C．3 D．3.5 4．张华同学的身高为160厘米，某一时刻他在阳光下的影子长为200厘米，与他相邻近的一棵树的影子长为6米，则这棵树的高为（　　）米． A．3.2 B．4.8 C．5.2 D．5.6 5．把抛物线y＝2x2向左平移2个单位，则平移后抛物线对应的函数表达式是（　　） A．y＝2x2+2 B．y＝2（x﹣2）2 C．y＝2x2+2 D．y＝2（x+2）2 6．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（　　） A．45° B．75° C．105° D．120° 7．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝5，BC＝3，则tanα的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 9．二次函数y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为　 　． 10．已知扇形的圆心角为120°，半径为2厘米，则这个扇形的弧长为　 　厘米． 11．已知一圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的面积为　 　． 12．如图，某堤坝的坝高为4米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为　 　米． 13．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：SDECB＝　 　． 14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝6，以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则阴影部分的面积是　 　． 15．直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 　 　． 16．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴正半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP，N是PE的中点．当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是 　 　． 三、解答题（共72分） 17．计算：2sin245°﹣tan60°•cos30°． 18．已知二次函数y＝kx2﹣（k+1）x+1（k≠0），求证：无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点． 19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，1），B（1，4），C（3，2）．请解答下列问题： （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标　 　； （2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的右侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标　 　． 20．如图，已知AB是⊙O的直径，PC与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A＝30°，OA＝2，求PC的长． 21．如图，已知抛物线的开口向下，与x轴的交点为（﹣1，0）、（3，0），请根据图象解决下列问题： （1）抛物线的对称轴是　 　； （2）当x　 　时，y随x增大而减小； （3）若y＜0，则x的取值范围是　 　； （4）若图象经过点（﹣，y1）、（2，y2），则y1　 　y2（填“＜”，“＞”或“＝”）． 22．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB＝8，BC＝10． （1）求证：△AEF∽△DFC； （2）求线段EF的长度． 23．如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于其东北方向上，且相距海里，该渔船自西向东航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50海里，又测得∠ABD＝α，且sinα＝． （1）求点B与小岛D之间的距离； （2）求cos∠DCB的值． 24．为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于80元/千克，该农户想要每天获得1000元的销售利润，销售价应定为多少元？ 25．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图（1），已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”． 【概念理解】 （1）若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为 　 　，最小值为 　 　． （2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC＝12，DH＝7，CH＝9，求证：AB、CD互为“十字弦”； 【问题解决】 （3）如图3，在⊙O中，半径为，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB＝CD，，则CD的长度 　 　． 26．【问题情境】如图1，已知△ABC和△DCE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝CE，则线段BD、AE的数量关系为　 　，线段BD、AE的位置关系为　 　． 【类比探究】如图2，已知△ABC和DCE中满足∠BAC＝∠DEC，AB＝AC，DE＝EC，AC＝2BC，试说明AE与BD具有怎样的数量关系． 【灵活运用】如图3，已知矩形ABCD中有一点P，连接AP，BP，DP，∠ADB＝30°，AP＝，BP＝2，∠APB＝120°，求PD的长． 27．如图，在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．连接AC，BC． （1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　； （2）若直线BC：y＝﹣x+4， ①在直线BC上方的抛物线上找一点Q，使得△BCQ的面积为6，求点Q的坐标； ②试在y轴上找一点N，连接AN，使AN+CN的值最小，此时点N的坐标是　 　，AN+CN的最小值为　 　； （3）若在第四象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标． 参考答案 一、选择题（共24分） 1．解：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为7cm，6＜7， ∴直线l与⊙O相离． 故选：B． 2．解：设线段2cm、8cm的比例中项为xcm， 根据题意得x2＝2×8，解得x＝4或x＝﹣4（舍去）， 即线段2cm、8cm的比例中项为4cm． 故选：A． 3．解：∵a∥b∥c， ∴＝，即＝， 解得，DF＝4， 故选：A． 4．解：设这棵树高度为hm， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴＝， 解得：h＝4.8． 故选：B． 5．解：将抛物线y＝2x2向左平移2个单位后所得直线解析式为：y＝2（x+2）2． 故选：D． 6．解：由题意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0， 即sinA＝，＝cosB， 解得，∠A＝30°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°， 故选：C． 7．解：如图：∠ACB＝135°，AC＝，BC＝2， A、最大角＝135°，对应两边分别为：1，， ∵：1＝2：， ∴此图与△ABC相似； B、∵最大角＜135°， ∴与△ABC不相似； C、∵最大角＜135°， ∴与△ABC不相似； D、∵最大角＜135°， ∴与△ABC不相似． 故选：A． 8．解：过C作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G， 由题意得：GE∥BF，CE＝EF， ∴△CEG∽△CFB， ∴＝＝， ∵BC＝3， ∴CG＝BC＝， ∴GB＝CG＝， ∵l3∥l4， ∴∠α＝∠GAB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝5， ∴∠ABG＝90°， ∴tan∠BAG＝＝＝， ∴tanα＝tan∠BAG＝， 故选：A． 二、填空题（共24分） 9．解： ∵y＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线顶点坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）． 10．解：l＝＝＝π厘米． 故答案为π． 11．解：底面半径为3cm，圆锥的母线长为6cm， 则圆锥侧面展开图的面积为S＝πrl＝π×3×6＝18π（cm2）； 故答案为：18πcm2． 12．解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C， ∵BC：AC＝1：0.75， ∴4：AC＝1：0.75， ∴AC＝3（米）， ∴AB＝＝＝5（米）， 即该大坝迎水坡AB的长度为5米． 故答案为：5． 13．解：如图，∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，且EDE＝BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴DE：BC＝1：2， ∴△ADE与△ABC的面积之比为1：4， ∴△ADE与四边形BCED的面积之比是1：3． 故答案为1：3． 14．解：∵△ACB是等腰直角三角形， ∴AC＝BC， ∵∠C＝90°， ∴∠A＝∠B＝45°， ∵AB＝6， ∴AC＝BC＝AB×sin45°＝6＝6， ∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S扇形CAD＝﹣＝18﹣π， 故答案为：18﹣π． 15．解：∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8， ∴直角三角形的斜边＝＝10， 所以这个三角形的外接圆的半径＝×10＝5， 故答案为：5． 16．解：连接ME、MP， ∵y＝x2﹣x﹣， ∴A（﹣2，0），B（4，0），E（1，﹣3）， ∴MA＝MB＝ME＝3， ∴E在⊙M上， ∵N为PE的中点，ME＝MP， ∴MN⊥PE， ∴N在以ME为直径的半圆上运动， ∴点N的运动路径为：． 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17．解：原式＝2×（）2﹣× ＝2×﹣ ＝﹣． 18．证明：根据题意得k≠0， ∵△＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2≥0， ∴无论k取任何实数，该函数图象与x轴总有交点． 19．解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点C1点的坐标为（﹣3，2）； （2）如图，△A2B2C2为所作，点C2点的坐标为（6，4）． 故答案为（﹣3，2），（6，4）． 20．解：∵OA＝OC，∠A＝30°， ∴∠OCA＝∠A＝30°，OC＝2， ∴∠COB＝∠A+∠ACO＝60°， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠PCO＝90°， ∴PC＝OC•tan∠COB＝2． 21．解：（1）抛物线的对称轴是：x＝＝1，即x＝1； （2）由函数图象知，当x＞1时，y随x增大而减小； （3）由函数图象知，若y＜0，x的取值范围是：x＜﹣1或x＞3时； （4）由于|﹣﹣1|＞|2﹣1|，所以y1＜y2． 故答案是：（1）x＝1； （2）＞1； （3）x＜﹣1或x＞3； （4）＜． 22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝∠B＝90°， 根据折叠的性质得：∠EFC＝∠B＝90°， ∴∠AFE+∠AEF＝∠AFE+∠DFC＝90°， ∴∠AEF＝∠DFC， ∴△AEF∽△DFC； （2）解：根据折叠的性质得：CF＝BC＝10， ∴DF＝＝6， ∴AF＝4， ∵AE＝AB﹣BE＝8﹣EF， ∴EF2＝AE2+AF2， 即：EF2＝（8﹣EF）2+42， 解得：EF＝5 23．解：（1）过点D作DE⊥AB于E， 在Rt△AED中， ∵∠DAE＝45°，sin∠A＝，AD＝20海里， ∴DE＝AD•sin45°＝20（海里）， 在Rt△BED中， ∵sinα＝， ∴BD＝＝＝（海里）， 即点B与小岛D之间的距离为（海里）； （2）过点D作DF⊥BC于F， 在Rt△BED中， BE＝＝40（海里）， ∵∠DEB＝∠EBF＝∠BFD＝90°， ∴四边形BFDE为矩形， ∴DF＝BE＝40（海里），BF＝DE＝20（海里）， ∴CF＝BC﹣BF＝50﹣20＝30（海里）， 在Rt△CDF中，CD＝＝50（海里）， ∴cos∠DCB＝＝． 24．解：（1）由题意得， 解得：40＜x＜100， w＝销售量×单件产品利润＝（﹣2x+200）•（x﹣40）， w与x之间的函数关系式是w＝﹣2x2+280x﹣8000（40＜x＜100）； （2）由①可知， w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800， 当x＝70时，w＝1800， 答：当售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润为1800元； （3）由题意得， W＝﹣2（x﹣70）2+1800＝1000， 解得，x1＝50，x2＝90＞80（舍去）， 答：售价应定为50元． 25．（1）解：当CD为⊙O的直径时，CD有最大值，最大值为10， 如图4，当点D与点A重合时，CD有最小值， 连接BC， ∵AB⊥CD， ∴BC为⊙O的直径， 由勾股定理得：AC＝＝＝6， 故答案为：10；6； （2）证明：如图2，连接AD， ∵CD为⊙O的直径， ∴∠CAD＝90°， ∵AC＝12，DH＝7，CH＝9， ∴＝＝，＝， ∴＝， ∵∠C＝∠C， ∴△HCA∽△ACD， ∴∠CHA＝∠CAD＝90°， ∴AB⊥CD， ∴AB、CD互为“十字弦”； （3）解：如图3，过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OD， ∵AB⊥CD， ∴四边形EOFH为矩形， ∵AB＝CD，OE⊥CD，OF⊥AB， ∴OE＝OF， ∴矩形EOFH为正方形， ∴OE＝EH， 设DH＝x，则CH＝5x， ∴CD＝CH+DH＝6x， ∵OE⊥CD， ∴DE＝CD＝3x， ∴EH＝OE＝2x， 在Rt△OED中，OE2+DE2＝OD2，即（2x）2+（3x）2＝（）2， 解得：x1＝1，x2＝﹣1（舍去）， ∴CD＝6x＝6， 故答案为：6． 26．解：【问题情境】∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB﹣∠DCA＝∠DCE﹣∠DCA＝90°， 即∠BCD＝∠ACE， 又∵AC＝BC，DC＝CE， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝AE，∠CBD＝∠CAE， ∴∠ABD+∠BAE＝90°， 即BD⊥AE， 故答案为：BD＝AE，BD⊥AE； 【类比探究】AE＝2BD，证明如下： ∵AB＝AC，DE＝EC， ∴， ∵∠BAC＝∠DEC， ∴△BAC∽△DEC， ∴∠ACB＝∠ECD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠ECD＝∠ACE+∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， 又∵， ∴△BCD∽△ACE， ∴， 即AE＝2BD； 【灵活运用】过点A作AN⊥AP，交BP延长线于点N，连接DN， ∵∠APB＝120°， ∴∠APN＝60°，∠ANP＝30°， ∴AP＝，NP＝2， ∵∠ADB＝∠ANP＝30°，∠DAB＝∠NAP＝90°， ∴△DAB∽△NAP， ∴＝， 即＝＝， ∵∠PAB＝∠NAD， ∴△PAB∽△NAD， ∴＝＝，∠BPA＝∠DNA＝120°， ∵∠ANP＝30°， ∴∠DNP＝90°，DN＝BP＝2， ∴PD＝＝2． 27．解：（1）令y＝0，则a2﹣3ax﹣4a＝0．即x2﹣3x﹣4＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝4， ∵点A在点B的左边， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， 故答案为（﹣1，0），（4，0）； （2）①直线BC：y＝﹣x+4， 令x＝0，则y＝4，即C（0.4）， ∵点C在抛物线上， ∴将C点坐标代入抛物线解析式中，得：﹣4a＝4， 解得：a＝﹣1 故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+3x+4， 根据题意设Q（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4）， 如图可知，S△BCQ＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC， ∴S△BCQ＝+﹣ ＝ ＝﹣2x2+8x， ∵S△BCQ＝6， ∴﹣2x2+8x＝6， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴当x＝1时，Q点坐标为（1，﹣1+3+4），即Q（1，6）； 当x＝3时，Q点坐标为（3，﹣9+9+4）．即Q（3，4）， 综上Q点坐标为（1，6）或（3，4）； ②由图并结合题意可知N不可能在C点上方， 当N在C点下方且在原点上方时，即0＜yn≤4，作NM∥OB，交BC于点M，并取CM中点P，连接NP， 由题意可知△CMN为等腰直角三角形， ∴NP⊥CM，且NP＝CP＝MP＝CM， ∴NP＝CN， ∴AN+CN＝AN+NP， 当A、N、P三点共线时最小且最小值为AP长，此时AP⊥CM， ∴△ABP为等腰直角三角形， ∴AP＝AB＝（xb﹣xa）＝，即最小值为． ∵△ABP为等腰直角三角形又可推出∠OAM＝45°， ∴△OAN为等腰直角三角形， ∴OA＝ON＝1， ∴N坐标为（0，1）， 当N在原点下方时，由图可知当N点与原点重合时，AN+CN有最小值， 即最小值为AO+CO＝1+＝1+2， ∵1+2， ∴AN+CN有最小值，N点（0，1）， 故答案为（0，1），； （3）如图， ①△ACB∽△P1BA，则∠CBA＝∠P1AB， ∴CB∥AP1 ∵BC：y＝a（x﹣4）， ∴设直线AP1：y＝ax+b， 将A（﹣1，0）代入，得，y＝ax+a， 联立y1＝ax2﹣3ax﹣4a与y2＝ax+a，得 x＝1，y＝0（舍去）或x＝5，y＝6a， ∴P1（5，6a） ②△ACB∽△ABP2，则∠CAB＝∠P2AB， ∴tan∠P2AB＝tan∠CAB＝﹣4a， ＝﹣4a， ， 解得x＝﹣1，y＝0（舍去）或x＝8，y＝36a， ∴P2（8，36a）， 综上，P（5，6a）或（8，36a）． 学科网（北京）股份有限公司 $