2025-2026学年北师大版八年级数学上册期末复习（易错题60题29个考点）

期末复习 (易错题60题29个考点) 一.平方根 (共1小题) 的平方根是() A. ±3 B. 3 C. ±9 D. 9 二.算术平方根 (共1小题) 2.已知一个正数的两个平方根是m+3和2m-15. (1)求这个正数是多少? 的平方根又是多少? 三.立方根 (共1小题) 3. 已知: 2x+y+17的立方根是3, 16的算术平方根是2x-y+2, 求: (1)x、y的值; 的平方根. 四.估算无理数的大小 (共2小题) 4. 若 的小数部分是a， 的小数部分是b, 则 ab+5b= . 5.若两个连续整数x、y满足 则x+y的值是 . 五.二次根式有意义的条件 (共1小题) 6. 若 则代数式x³的值为 () A. 4 B. C. - 4 六.二次根式的性质与化简 (共3小题) 7. 若2<a<3, 则 等于() A. 5-2a B. 1-2a C. 2a-5 D. 2a-1 8. 当a<0时, 化简 的结果是() 9.先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如 的化简, 只要我们找到两个数 a、b, 使 a+b=m, ab=n, 使得 那么便有： 1 学科网（北京）股份有限公司 例如：化简 解：首先把 化为 这里m=7, n=12, 由于4+3=7, 4×3=12 即 由上述例题的方法化简： 七.二元一次方程的解(共1小题) 10. 若 是方程3x+y=1的一个解, 则9a+3b+4= . 八.解二元一次方程(共1小题) 11.二元一次方程x+3y=10的非负整数解共有()对. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 九.二元一次方程组的解(共2小题) 12.已知方程组： 的解是： 则方程组：的解是( ) 13.已知方程组 = 有相同的解, 则m+n= . 一十.由实际问题抽象出二元一次方程组 (共1小题) 14.现用 190 张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22 个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为() 一十一.点的坐标(共3小题) 15.在平面直角坐标系中，点M 在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为() A. (4, - 6)B.(-4, 6)C.(-6, 4) D.(-6, - 4) 2 学科网（北京）股份有限公司 16.已知点Q的坐标为(-2+a,2a-7),，且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标是 () A.(3,3) B.(3,-3) C.(1,-1) D.(3, 3) 或(1,-1) 17. 如图, 已知A₁(1, 0), A₂(1, - 1), A₃(-1, - 1), A₄(-1, 1), A₅(2, 1), …, 则点A2010的坐标是 . 一十二.坐标确定位置(共2小题) 18.在一次“寻宝”人找到了如图所示的两个标志点A(2，3)，B(4，1)，A，B两点到“宝藏”点的距离都是 则“宝藏”点的坐标是() A.(1, 0) B.(5, 4) C. (1, 0) 或(5, 4) D.(0, 1) 或(4, 5) 19.将正整数按如图所示的规律排列下去.若用有序实数对(n，m)表示第n排，从左到右第m个数，如(4, 3) 表示实数9, 则(7, 2) 表示的实数是 . 一十三.坐标与图形性质 (共2小题) 20.已知点M(3，-2)与点M'(x，y)在同一条平行于x轴的直线上，且M'到y轴的距离等于4，那么点M'的坐标是() A.(4, 2) 或(-4, 2) B.(4, - 2) 或(-4, - 2) 3 学科网（北京）股份有限公司 C.(4, - 2)或(-5, - 2) D.(4, - 2) 或(-1, - 2) 21. 如图, 已知A(-2, 3)、B(4, 3)、C (-1, - 3) (1)求点C到x轴的距离； (2) 求△ABC的面积; (3)点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标. 一十四.函数的概念 (共1小题) 22.下列各曲线中不能表示y是x的函数是 () 一十五.函数自变量的取值范围(共1小题) 23. 函数 中，自变量x的取值范围是 () A. x≥1 B. x>1 C. x≥1且x≠2 D. x≠2 一十六.函数的图象 (共3小题) 24.新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头.骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来.当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点.用S₁、S₂分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是() 4 学科网（北京）股份有限公司 25.甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲乙两人间距离为s(单位：千米)，甲行驶的时间为(单位：小时)，s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②乙开车速度是80千米/小时； ③出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ④出发3小时时，甲乙同时到达终点； 其中正确结论的个数是 () A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 26.匀速地向一个容器注水，最后把容器注满.在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OEFG为一折线)，那么这个容器的形状可能是下列图中的 () 一十七.一次函数的定义(共1小题) 27.已知函数 y是x的一次函数，则m的值是 () A. 1 B. - 1 C. 1或-1 D.任意实数 一十八.一次函数的图象 (共2小题) 28.已知一次函数y=kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且 kb<0，则函数y=kx+b的图象大致是( ) 5 学科网（北京）股份有限公司 29. 函数 当y₁>y₂时, x的范围是 ( ) A. x<-1 B. - 1<x<2 C. x<-1或x>2 D. x>2 一十九.一次函数图象上点的坐标特征 (共1小题) 30. 如图, 已知a,b, c分别是Rt△ABC的三条边长, ∠C=90°, 我们把关于x的形如 的一次函数称为“勾股一次函数”，若点 在“勾股一次函数”的图象上，且 Rt△ABC的面积是5，则c的值是 . 二十.一次函数图象与几何变换 (共1小题) 31. 已知直线l: 与x轴交于点 P，将l绕点P顺时针旋转90°得到直线l′，则直线l′的解析式为() B. y=2x-1 D. y=2x-4 二十一.一次函数与二元一次方程(组)(共1小题) 32.如图,已知函数 y=x﹣2 和 y=﹣2x+1 的图象交于点 P,根据图象可得方程组 的解是 . 二十二.一次函数的应用 (共3小题) 6 学科网（北京）股份有限公司 33.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元. (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元. ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m(0<m<100)元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这 100台电脑销售总利润最大的进货方案. 34.为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神.某校特制定了一系列关于帮扶 A、B两贫困村的计划.现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： 目的地车型 A村(元/辆) B村(元/辆) 大货车 800 900 小货车 400 600 (1)求这15辆车中大小货车各多少辆？ (2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式. (3)在(2)的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用. 7 学科网（北京）股份有限公司 35.一条笔直的公路上有甲、乙两地相距2400米，王明步行从甲地到乙地，每分钟走96米，李越骑车从乙地到甲地后休息2 分钟沿原路原速返回乙地设他们同时出发，运动的时间为 t(分)，与乙地的距离为 s(米)，图中线段EF，折线OABD分别表示两人与乙地距离s和运动时间t之间的函数关系图象 (1)李越骑车的速度为 米/分钟；F点的坐标为 ； (2)求李越从乙地骑往甲地时，s与t之间的函数表达式； (3)求王明从甲地到乙地时，s与t之间的函数表达式； (4)求李越与王明第二次相遇时t的值. 二十三.一次函数综合题(共2小题) 36.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C(2，m)为直线y=x+2上一点，直线 过点 C. (1) 求m和b的值; (2)直线 与x轴交于点 D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动.设点P的运动时间为t秒. ①若点 P 在线段DA上,且△ACP的面积为10,求t的值; ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形?若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由. 8 学科网（北京）股份有限公司 37.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AC，过点B，C作直线，交x轴于点 D. (1)点C的坐标为 ；求直线BC的表达式； (2)若点E为线段 BC上一点，且△ABE的面积为 求点E的坐标； (3)在(2)的条件下，在平面内是否存在点 P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形?若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 二十四.平行线的性质 (共13小题) 38.如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是() A. 42°、138° B. 都是10° C. 42°、138°或10°、10° D.以上都不对 39. 如图, AB∥CD, 有图中α, β, γ三角之间的关系是 ( ) A. α+β+γ=180° B. α-β+γ=180° C. α+β-γ=180° 40.某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知AB∥CD，∠BAE=87°, ∠DCE=121°, 则∠E的度数是( ) A. 28° B. 34° C. 46° D. 56° 9 学科网（北京）股份有限公司 41.两个角的两边分别平行，其中一个角是60°，则另一个角是() A. 60° B. 120° C. 60°或120° D.无法确定 42.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A=130°，第二次拐角∠B=150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为() A. 170° B. 160° C. 150° D. 140° 43.如图1的长方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是() A. 105° B. 120° C. 130° D. 145° 44. 如图, 将一张长方形纸片ABCD折叠成如图所示的形状, ∠EGC=26°, 则∠DFG= . 45.将一副三角板如图放置,使点A落在DE上,若 BC∥DE,则∠AFC的度数为 . 46. 如图, AB∥CD, P₂E 平分∠P₁EB, P₂F 平分∠P₁FD, 若设 则∠P₁=度(用x, y的代数式表示), 若P₃E平分∠P₂EB, P₃F平分∠P₂FD, 可得 平分∠P₃EB, P₄F平分 ，可得∠P₄…，依次平分下去，则. 度. 10 学科网（北京）股份有限公司 47. 如图, ∠AOB的一边OA为平面镜, ∠AOB=37°, 在OB上有一点E, 从E点射出一束光线经OA上一点D反射，此时∠ODE=∠ADC，且反射光线DC恰好与OB平行，则 的度数是 . 48.问题情境： (1)如图1,AB∥CD,∠PAB=130°, ∠PCD=120°. 求∠APC度数. 小颖同学的解题思路是: 如图2，过点 P作PE∥AB，请你接着完成解答 问题迁移： (2)如图3,AD∥BC, 点P在射线OM上运动, 当点P在A、B两点之间运动时, =∠β. 试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系? (提示: 过点P作PE∥AD), 请说明理由; (3)在(2)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你猜想∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系. 49. 如图, 已知AM∥BN, ∠A=80°, 点 P是射线AM上动点(与A不重合), BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN, 交射线AM于 C、D. (1) 求∠CBD的度数; (2)当点P 运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化?若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； (3) 当点 P运动到使∠ACB=∠ABD时, 求∠ABC的度数. 11 学科网（北京）股份有限公司 50. 如图1, AM∥CN, 点B为平面内一点, AB⊥BC于B, 过B作BD⊥AM. (1) 求证: ∠ABD=∠C; (2) 如图2, 在 (1) 问的条件下, 分别作∠ABD、∠DBC 的平分线交 DM于 E、F, 若∠BFC=1.5∠ABF, ∠FCB=2.5∠BCN, ①求证: ∠ABF=∠AFB; ②求∠CBE的度数. 二十五.三角形内角和定理(共2小题) 51. 如图所示, 将△ABC沿着DE折叠, 使点A 与点N重合, 若∠A=65°, 则∠1+∠2= ( ) A. 25° B. 65° C. 115° D. 130° 52. 如图, 在第1个△ABA₁中, ，在A₁B上取一点C，延长 到A₂，使得在第2个△A₁CA₂中, 在A₂C上取一点D，延长. 到A₃，使得在第3个 中，∠A₂DA₃=∠A₂A₃D；…，按此做法进行下去，第 3 个三角形中以 A₃ 为顶点的内角的度数为 ；第n个三角形中以 An为顶点的底角的度数为 . 12 学科网（北京）股份有限公司 二十六.三角形的外角性质 (共3小题) 53. 如图, 的角平分线交于点 P，若 则∠P的度数为() A. 15° B. 20° C. 25° 54. 如图, BP 是△ABC中∠ABC的平分线, CP 是. 的外角的平分线，如果 50°, 则 55. 在锐角△ABC中, 点D 是∠ABC、∠ACB的平分线的交点. (1)如图1, 点E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分线的交点, 且 ∠NCB, 若∠BAC=60°, 则 (2)如图2，锐角△ABC的外角∠ACG的平分线与BD的延长线交于点F，在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求出∠BAC的度数. 13 学科网（北京）股份有限公司 二十七.勾股定理 (共3小题) 56.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm, 则正方形A, B, C, D, E, F, G的面积之和是 ( ) 57. 在△ABC中, AB=15, AC=13, BC上的高AD长为12, 则△ABC的面积为( ) A. 84 B. 24 C. 24或84 D. 42或84 58. 如图, OP=1, 过P 作 PP₁⊥OP 且 根据勾股定理，得 再过 P₁作 且 得 又过 P₂ 作 P₂P₃⊥OP₂ 且. 得OP₃=2; ···依此继续, 得 OP2018= , OPn= (n为自然数,且n>0) 二十八.勾股数(共1小题) 59.勾股定理 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解(a，b，c)通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3，4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), …. 分析上面勾股数组可以发现, 24=3×(7+1), …分析上面规律, 第5个勾股数组为 . 14 学科网（北京）股份有限公司 二十九.方差(共1小题) 60.若一组数据 的平均数为18，方差为2，则数据 的平均数和方差分别是() A. 18, 2 B. 19, 3 C. 19, 2 D. 20, 4 15 学科网（北京）股份有限公司 期末复习(易错题60题29个考点) 一.平方根 (共1小题) 的平方根是() A. ±3 B. 3 C. ±9 D. 9 【答案】A 【解答】解： 9的平方根是±3， 故选: A. 二.算术平方根 (共1小题) 2.已知一个正数的两个平方根是m+3和2m-15. (1)求这个正数是多少? 的平方根又是多少? 【答案】见试题解答内容 【解答】解：(1)∵m+3和2m-15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数. 即: (m+3)+(2m-15) =0 解得m=4. 则这个正数是( 则它的平方根是 三.立方根 (共1小题) 3. 已知: 2x+y+17的立方根是3, 16的算术平方根是2x-y+2, 求: (1) x、y的值; 的平方根. 【答案】见试题解答内容 【解答】解：(1)依题意 解得： 25的平方根是±5. 即 的平方根是±5. 四.估算无理数的大小 (共2小题) 16 学科网（北京）股份有限公司 4. 若 的小数部分是a， 的小数部分是b, 则 ab+5b= 2 . 【答案】见试题解答内容 【解答】解： 将a、b的值, 代入可得 ab+5b=2. 故答案为：2. 5.若两个连续整数x、y满足. 则x+y的值是 7 . 【答案】见试题解答内容 【解答】解： ∴x=3, y=4, ∴x+y=3+4=7. 故答案为：7. 五.二次根式有意义的条件 (共1小题) 6. 若 则代数式x³的值为() C. - 4 B. A. 4 【答案】A 【解答】解：根据题意，得 解得 ∴y=-2; 故选: A. 六.二次根式的性质与化简 (共3小题) 17 学科网（北京）股份有限公司 7. 若2<a<3, 则 等于() A. 5-2a B. 1-2a C. 2a-5 D. 2a-1 【答案】C 【解答】解: ∵2<a<3, =a-2 - (3-a) =a-2-3+a =2a-5. 故选: C. 8. 当a<0时, 化简 的结果是() 【答案】A 【解答】解: 根据a<0, 故选: A. 9.先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如 的化简, 只要我们找到两个数 a、b, 使 a+b=m, ab=n, 使得 那么便有： 例如：化简 解：首先把 化为 这里m=7, n=12, 由于4+3=7,4×3=12 即 由上述例题的方法化简： 18 学科网（北京）股份有限公司 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据 可得m=13, n=42, ∵6+7=13, 6×7=42, 七.二元一次方程的解(共1小题) 10. 若 是方程3x+y=1的一个解, 则9a+3b+4= 7 . 【答案】见试题解答内容 【解答】解：把 代入方程3x+y=1, 得 3a+b=1, 所以9a+3b+4=3 (3a+b)+4=3×1+4=7, 即9a+3b+4的值为7. 八.解二元一次方程(共1小题) 11.二元一次方程x+3y=10的非负整数解共有()对. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解答】解：∵x+3y=10, ∴x=10-3y, ∵x、y都是非负整数， ∴y=0时, x=10; y=1时, x=7; y=2时, x=4; y=3时, x=1. ∴二元一次方程x+3y=10|的非负整数解共有4对. 故选: D. 九.二元一次方程组的解(共2小题) 12.已知方程组： 的解是： 则方程组： 的解是() 19 学科网（北京）股份有限公司 【答案】C 【解答】解：在方程组 中, 设x+2=a, y-1=b,则变形为方程组 由题知 所以x+2=8.3, y-1=1.2, 即 故选: C. 13.已知方程组 有相同的解, 则m+n= 3 . 【答案】见试题解答内容 【解答】解： 有相同的解， ∴解方程组 ∴解m、n的方程组 凭 ∴m+n=4-1=3. 故答案为：3. 一十.由实际问题抽象出二元一次方程组 (共1小题) 14.现用190 张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做 22 个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为() 【答案】A 【解答】解: 根据共有190张铁皮, 得方程x+y=190; 根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程2×8x=22y. 列方程组为 故选: A. 一十一.点的坐标(共3小题) 15.在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点 M的坐标为() 20 学科网（北京）股份有限公司 A.(4, - 6) B.(-4, 6) C. (-6, 4) D.(-6, - 4) 【答案】A 【解答】解：因为点 M在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数， 又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4， 所以点M的坐标为 (4, - 6). 故选: A. 16.已知点Q的坐标为(﹣2+a，2a﹣7)，且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标是() A.(3,3) B.(3, - 3) C. (1, - 1) D.(3, 3) 或(1, - 1) 【答案】D 【解答】解: ∵点Q (-2+a, 2a-7) 到两坐标轴的距离相等, ∴|-2+a|=|2a-7|, ∴-2+a=2a-7或-2+a= - (2a-7), 解得a=5或a=3, 所以, 点Q的坐标为(3, 3) 或 (1, - 1). 故选: D. 17. 如图, 已知A₁(1,0), A₂(1, - 1), A₃(-1, - 1), A₄(-1, 1), A₅(2,1), …, 则点A2010的坐标是 (503, - 503) . 【答案】见试题解答内容 【解答】解：易得4的整数倍的各点如A4，A8，A₁₂等点在第二象限，∵2010÷4=502…2; ∴A2010的坐标在第四象限， 21 学科网（北京）股份有限公司 横坐标为 (2010-2) ÷4+1=503; 纵坐标为-503, ∴点 A2010的坐标是 (503, - 503). 故答案为: (503, - 503). 一十二.坐标确定位置 (共2小题) 18.在一次“寻宝”人找到了如图所示的两个标志点A(2，3)，B(4，1)，A，B两点到“宝藏”点的距离都是 则“宝藏”点的坐标是 () A. (1, 0) B.(5, 4) C. (1, 0) 或(5, 4) D. (0, 1) 或(4, 5) 【答案】C 【解答】解:设宝藏的坐标点为 C (x,y), 根据坐标系中两点间距离公式可知，AC=BC， 则 化简得x-y=1; 又因为标志点到“宝藏”点的距离是 所以 把x=1+y代入方程得, y=0或y=4, 即x=1或5, 所以“宝藏” C点的坐标是 (1, 0) 或 (5, 4). 故选: C. 19.将正整数按如图所示的规律排列下去.若用有序实数对(n，m)表示第n排，从左到右第m个数，如(4, 3) 表示实数9, 则(7, 2) 表示的实数是 23 . 1 第一排 2 3 第二排 4 5 6 第三排 7 89 1 0 ----·第四排 【答案】见试题解答内容 【解答】解：从图中可以发观，第n排的最后的数为： ∵第6排最后的数为： 22 学科网（北京）股份有限公司 ∴ (7, 2) 表示第7排第2个数, 则第7排第二个数为21+2=23. 故答案填：23. 一十三.坐标与图形性质 (共2小题) 20.已知点M(3，-2)与点M′ (x，y)在同一条平行于x轴的直线上，且M′到y轴的距离等于4，那么点 M'的坐标是() A.(4, 2) 或(-4, 2) B. (4, - 2) 或(-4, - 2) C. (4, - 2) 或(-5, - 2) D. (4, - 2) 或(-1, - 2) 【答案】B 【解答】解: ∵M(3, - 2) 与点M' (x, y) 在同一条平行于x轴的直线上, ∴M′的纵坐标y=-2, ∵“M′到y轴的距离等于4”, ∴M' 的横坐标为4或﹣4. 所以点M′的坐标为(4, - 2) 或(-4, - 2), 故选: B. 21. 如图, 已知A(-2, 3)、B(4, 3)、C (-1, - 3) (1)求点C到x轴的距离； (2) 求△ABC的面积; (3)点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标. 【答案】见试题解答内容 【解答】解: (1) ∵C (﹣1, ﹣3), ∴|-3|=3, ∴点C到x轴的距离为3； (2) ∵A(-2, 3)、B(4, 3)、C(-1, - 3) 23 学科网（北京）股份有限公司 ∴AB=4 - (-2) =6, 点C到边AB的距离为: 3 - (-3) =6, ∴△ABC 的面积为: 6×6÷2=18. (3) 设点 P 的坐标为(0, y), ∵△ABP的面积为 6, A (﹣2, 3)、B (4, 3), ∴|y-3|=2, ∴y=1或y=5, ∴P点的坐标为 (0, 1) 或 (0, 5). 一十四.函数的概念 (共1小题) 22.下列各曲线中不能表示y是x的函数是 () 【答案】C 【解答】解：A、B、D选项中，对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数； C选项中，对于一定范围内x取值时，y可能有2个值与之相对应，所以y不是x的函数； 故选: C. 一十五.函数自变量的取值范围(共1小题) 23. 函数 中，自变量x的取值范围是 () A. x≥1 B. x>1 C. x≥1且x≠2 D. x≠2 【答案】C 【解答】解: 依题意得: x-1≥0且x-2≠0, 解得x≥1且x≠2. 24 学科网（北京）股份有限公司 故选: C. 一十六.函数的图象 (共3小题) 24.新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头.骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来.当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点.用S₁、S₂分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是() 【答案】C 【解答】解：A.此函数图象中，S₂先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意； B.此函数图象中，S₂第 2 段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意； C.此函数图象中，乌龟和兔子同时到达终点，符合题意； D.此函数图象中，S₁先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意. 故选: C. 25.甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲乙两人间距离为s(单位：千米)，甲行驶的时间为(单位：小时)，s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②乙开车速度是80千米/小时； ③出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ④出发3 小时时，甲乙同时到达终点； 其中正确结论的个数是 () 25 学科网（北京）股份有限公司 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解答】解: 由图象可得, 当t=1时, s=0, 即出发1 小时时，甲乙在途中相遇，故①正确， 甲的速度是: 120÷3=40千米/时, 则乙的速度是: 120÷1-40=80千米/h, 故②正确; 出发1.5小时时, 乙比甲多行驶路程是: 1.5×(80-40) =60千米, 故③正确; 在1.5小时时，乙到达终点，甲在3小时时到达终点，故④错误， 故选: C. 26.匀速地向一个容器注水，最后把容器注满.在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OEFG为一折线)，那么这个容器的形状可能是下列图中的 () 【答案】B 【解答】解：从图中可以看出，OE 上升最快，EF 上升较慢，FG上升较快，所以容器的底部容积最小，中间容积最大，上面容积较大， 故选: B. 一十七.一次函数的定义(共1小题) 27.已知函数 y是x的一次函数，则m的值是 () A. 1 B. - 1 C. 1或-1 D.任意实数 【答案】A 26 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：由题意得： 2-|m|=1且m+1≠0, ∴m=±1且m≠-1, ∴m=1, 故选: A. 一十八.一次函数的图象 (共2小题) 28.已知一次函数y=kx+b,，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb<0,则函数y=kx+b的图象大致是( ) 【答案】C 【解答】解：∵一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，∴k<0, ∴一次函数 y=kx+b的图象经过第二、四象限； ∵kb<0, ∴b>0, ∴图象与y轴的交点在x轴上方， ∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限. 故选: C. 29. 函数 当y₁>y₂时,x的范围是( ) 27 学科网（北京）股份有限公司 A. x<-1 B. - 1<x<2 C. x<-1或x>2 D. x>2 【答案】C 【解答】解: 由图象可知: 在 ( - 1, 1) 左边, (2, 2) 的右边, y₁>y₂, ∴x<-1或x>2. 故选: C. 一十九.一次函数图象上点的坐标特征 (共1小题) 30. 如图, 已知a,b, c分别是Rt△ABC的三条边长, ∠C=90°, 我们把关于x的形如 的一次函数称为“勾股一次函数”，若点 在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是5，则c的值是 5 . 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵点 在“勾股一次函数” 的图象上， 即 又∵a, b, c分别是Rt△ABC的三条边长, ∠C=90°, Rt△ABC的面积是5, 即 ab=10, 又· 即 解得c=5, 故答案为：5. 28 学科网（北京）股份有限公司 二十.一次函数图象与几何变换(共1小题) 31.已知直线l: 与x轴交于点 P，将l绕点 P顺时针旋转 得到直线l'，则直线l'的解析式为() B. y=2x-1 D. y=2x-4 【答案】D 【解答】解: 设直线l'的解析式为 y= kx+b, ∵直线l'⊥直线l, 即k=2, 在直线 中, 令y=0, 则x=2, ∴P (2, 0), 代入y=2x+b, 可得 0=4+b, 解得b=-4, ∴直线 l'的解析式为y=2x-4, 故选: D. 二十一.一次函数与二元一次方程(组)(共1小题) 32.如图，已知函数y=x-2和y=-2x+1的图象交于点 P，根据图象可得方程组 的解是 【答案】见试题解答内容 【解答】解: ∵由图象可知: 函数y=x-2和y=-2x+1的图象的交点P 的坐标是(1, - 1),又∵由y=x-2, 移项后得出x-y=2, 由y=-2x+1, 移项后得出2x+y=1, 29 学科网（北京）股份有限公司 ∴方程组 的解是 故答案为： 二十二.一次函数的应用 (共3小题) 33.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和 10台B型电脑的利润为3500元. (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元. ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大? (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m(0<m<100)元，且限定商店最多购进A 型电脑 70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案. 【答案】见试题解答内容 【解答】解：(1)设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得 解得 答：每台A 型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元. (2) ①据题意得, y=100x+150(100-x), 即y=-50x+15000, ②据题意得, 100-x≤2x, 解得 ∵y=-50x+15000, - 50<0, ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当x=34时, y取最大值, 则100-x=66, 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大. (3) 据题意得, y= (100+m) x+150(100-x), 即y= (m-50) x+15000, 30 学科网（北京）股份有限公司 ①当0<m<50时, y随x的增大而减小, ∴当x=34时, y取最大值, 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大. ②m=50时, m-50=0, y=15000, 即商店购进A型电脑数量满足 的整数时，均获得最大利润； ③当50<m<100时, m-50>0, y随x的增大而增大, ∴当x=70时, y取得最大值. 即商店购进70台A 型电脑和30台B型电脑的销售利润最大. 34.为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神.某校特制定了一系列关于帮扶 A、B两贫困村的计划.现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： 目的地车型 A村(元/辆) B村(元/辆) 大货车 800 900 小货车 400 600 (1)求这15辆车中大小货车各多少辆? (2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式. (3)在(2)的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用. 【答案】见试题解答内容 【解答】解：(1)设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得： 解得： ∴大货车用8辆，小货车用7辆. (2) y=800x+900(8-x) +400 (10-x) +600[7 - (10-x) ]=100x+9400.(3≤x≤8, 且x为整数). (3) 由题意得: 12x+8 (10-x) ≥100, 31 学科网（北京）股份有限公司 解得: x≥5, 又∵3≤x≤8, ∴5≤x≤8且为整数, ∵y=100x+9400, k=100>0, y随x的增大而增大, ∴当x=5时, y最小, 最小值为y=100×5+9400=9900 (元). 答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往 A 村；3辆大货车、2辆小货车前往 B村.最少运费为9900元. 35.一条笔直的公路上有甲、乙两地相距2400米，王明步行从甲地到乙地，每分钟走96米，李越骑车从乙地到甲地后休息2 分钟沿原路原速返回乙地设他们同时出发，运动的时间为t(分)，与乙地的距离为 s(米)，图中线段EF，折线OABD分别表示两人与乙地距离s和运动时间t之间的函数关系图象 (1) 李越骑车的速度为 240 米/分钟; F点的坐标为 (25, 0). ; (2)求李越从乙地骑往甲地时，s与t之间的函数表达式； (3)求王明从甲地到乙地时，s与t之间的函数表达式； (4)求李越与王明第二次相遇时t的值. 【答案】见试题解答内容 【解答】解：(1)由图象可得， 李越骑车的速度为: 2400÷10=240米/分钟,2400÷96=25,所以F点的坐标为(25, 0). 故答案为: 240; (25, 0); (2)设李越从乙地骑往甲地时，s与t之间的函数表达式为s=kt,2400=10k, 得k=240, 即李越从乙地骑往甲地时，s与t之间的函数表达式为s=240t, 故答案为: s=240t; 32 学科网（北京）股份有限公司 (3)设王明从甲地到乙地时，s与t之间的函数表达式为s=kt+2400，根据题意得，25k+2400=0, 解得k=-96, 所以王明从甲地到乙地时，s与t之间的函数表达式为：s=-96t+2400； (4) 根据题意得, 240 (t-2) - 96t=2400, 解得t=20. 答：李越与王明第二次相遇时t的值为20. 二十三.一次函数综合题(共2小题) 36.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C(2，m)为直线y=x+2上一点，直线 过点 C. (1) 求m和b的值; (2)直线 与x轴交于点 D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动.设点P的运动时间为t秒. ①若点 P 在线段DA上,且△ACP的面积为10,求t的值; ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形?若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由. 【答案】见试题解答内容 【解答】解: (1) 把点 C (2, m) 代入直线y=x+2中得: m=2+2=4, ∴点 C (2, 4), ∵直线 过点C， (2) ①由题意得: PD=t, y=x+2中, 当y=0时, x+2=0, 33 学科网（北京）股份有限公司 x=-2, ∴A (-2, 0), 中, 当y=0时, x=10, ∴D (10, 0), ∴AD=10+2=12, 即0≤t≤12, ∵△ACP 的面积为 10, t=7, 则t的值7秒； ②存在，分三种情况： i) 当AC=CP时, 如图1, 过C作CE⊥AD于 E, ∴PE=AE=4, ∴PD=12-8=4, 即t=4; ii) 当AC=AP时, 如图2, iii) 当AP=PC时, 如图3, ∵OA=OB=2 ∴AP=PC=4 即 t=8; 综上，当t=4秒或 秒或 秒或8秒时， 为等腰三角形. 34 学科网（北京）股份有限公司 37.如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段AB绕点A顺时针旋转 得到线段AC，过点B，C作直线，交x轴于点 D. (1) 点C的坐标为 (4, 1) ; 求直线BC的表达式; (2)若点E为线段BC上一点，且△ABE的面积为 求点 E的坐标； (3)在(2)的条件下，在平面内是否存在点 P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形?若存在，直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由. 35 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)(4, 1), (2) E(2, 2); (3) 点P的坐标为(3, - 1) 或(-1, 1) 或 (1, 5). 【解答】解: (1) 直线y=-3x+3中, 当x=0时, y=3, ∴B(0, 3), OB=3, 当y=0时, - 3x+3=0, ∴x=1, ∴A(1, 0), OA=1, 如图1, 过点 C作 CG⊥x轴于 G, 由旋转得: AB=AC, ∠BAC=90°, ∵∠AOB=∠CGA=∠BAO+∠ABO=90°, ∴∠CAG=∠ABO, ∴△BOA≌△AGC (AAS), ∴AG=OB=3, CG=OA=1, ∴C (4, 1), 设直线 BC的解析式为: y= kx+b, 36 学科网（北京）股份有限公司 则 解得： ∴直线 BC的解析式为： 故答案为: (4, 1); (2) 如图2, 过点E作 EF⊥y轴于 F, ∵点E为线段 BC上一点， ∴设点 E的坐标为 ∵四边形AOBE的面积： 梯形AOFE, 解得: m=2, ∴E(2, 2); (3)分三种情况： ①如图3，四边形 ABEP 是平行四边形， ∵A (1, 0), B (0, 3), E (2, 2), ∴由平移得：P(3,-1); 37 学科网（北京）股份有限公司 ②如图4，四边形APBE是平行四边形， 由平移得: P (-1, 1); ③如图5，四边形ABPE 是平行四边形， 由平移得: P (1, 5); 综上, 点P 的坐标为(3, - 1) 或 (-1, 1) 或 (1, 5). 二十四.平行线的性质 (共13小题) 38.如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少 ，那么这两个角是() A. 42°、138° B. 都是10° C. 42°、138°或10°、10° D.以上都不对 【答案】C 【解答】解: 如图1, ∵AB∥EF, ∴∠3=∠2, ∵BC∥DE, ∴∠3=∠1, 38 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠1=∠2. 如图2, ∵AB∥EF, ∴∠3+∠2=180°, ∵BC∥DE, ∴∠3=∠1, ∴∠1+∠2=180° ∴如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 设另一个角为x，则这一个角为4x-30°， (1) 两个角相等, 则x=4x-30°, 解得x=10°, (2)两个角互补，则. 解得 所以这两个角是42°、138°或10°、10°. 故选: C. 39. 如图, AB∥CD, 有图中α, β, γ三角之间的关系是( ) 【答案】C 【解答】解:如图,延长AE 交直线 CD 于 F, 39 学科网（北京）股份有限公司 ∵AB∥CD, ∵∠AFD=∠β-∠γ, 故选: C. 40.某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知 ∠BAE=87°, ∠DCE=121°, 则∠E的度数是 ( ) A. 28° B. 34° C. 46° D. 56° 【答案】B 【解答】解: 如图, 延长 DC交AE于 F, ∵AB∥CD, ∠BAE=87°, 又∵∠DCE=121°, 故选: B. 41.两个角的两边分别平行，其中一个角是( 则另一个角是 () A. 60° B. 120° C. 60°或120° D.无法确定 【答案】C 40 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解: 如图 (1), ∵AB∥DE, ∴∠A=∠1=60°, ∵AC∥EF, ∴∠E=∠1, ∴∠A=∠E=60°. 如图(2), ∵AC∥EF, ∴∠A=∠1=60°, ∵DE∥AB, ∴∠E+∠1=180°, ∴∠A+∠E=180°, 故一个角是60°，则另一个角是60°或120°. 故选: C. 42.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角 第二次拐角 第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则. 为( ) A. 170° B. 160° C. 150° D. 140° 【答案】B 【解答】解: 如图, 过点B作 BD∥AE, 由已知可得: AE∥CF, ∴AE∥BD∥CF, ∴∠ABD=∠A=130°, ∠DBC+∠C=180°, ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=150°-130°=20°, 故选: B. 41 学科网（北京）股份有限公司 43.如图1的长方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中 度数是() A. 105° B. 120° C. 130° D. 145° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴AD∥BC, ∴∠BFE=∠DEF=25°. 由翻折的性质可知： 图2中, ∠EFC=180°-∠BFE=155°, ∠BFC=∠EFC-∠BFE=130°,图3中, ∠CFE=∠BFC-∠BFE=105°. 故选: A. 44.如图，将一张长方形纸片ABCD折叠成如图所示的形状，∠EGC=26°，则. 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由折叠可得， ∵AD∥BC, ∴∠DFG=∠BGF=77°, 故答案为: 77°. 42 学科网（北京）股份有限公司 45.将一副三角板如图放置，使点A 落在 DE上，若 则 的度数为 75° . 【答案】见试题解答内容 【解答】解： 为等腰直角三角形， ∵∠AFC是△AEF 的外角, 故答案为: 75°. 46.如图,AB∥CD,P₂E平分∠P₁EB,P₂F平分∠P₁FD,若设 则 度(用x, y的代数式表示), 若P₃E平分∠P₂EB, P₃F平分 可得 平分 平分∠P₃FD, 可得∠P₄…, 依次平分下去, 则度. 【答案】(1)(x+y); 【解答】解:(1)如图,分别过点 P₁、P₂作直线 又∵AB∥CD, (2) ∵P₂E平分∠BEP₁, P₂F平分∠DFP₁, 同理可证： 43 学科网（北京）股份有限公司 以此类推： 故答案为： 47. 如图, 的一边 OA 为平面镜， 在 OB 上有一点 E，从E点射出一束光线经OA 上一点D反射，此时. 且反射光线DC恰好与OB平行，则. 的度数是 74° . 【答案】见试题解答内容 【解答】解: 过点D作DF⊥AO 交OB 于点 F. ∵入射角等于反射角， ∴∠1=∠3, (两直线平行，内错角相等)； ∴∠2=∠3(等量代换); 在Rt△DOF中, ∠ODF=90°, ∠AOB=37°, ∴在△DEF中, 故答案为: 74°. 48.问题情境： 44 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1,AB∥CD,∠PAB=130°, ∠PCD=120°. 求∠APC度数. 小颖同学的解题思路是: 如图2，过点 P作PE∥AB，请你接着完成解答 问题迁移： (2)如图3,AD∥BC, 点P在射线OM上运动, 当点P在A、B两点之间运动时, 试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系?(提示：过点P作 请说明理由； (3)在(2)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你猜想 之间的数量关系. 【答案】见试题解答内容 【解答】解: (1) 过 P作PE∥AB, ∵AB∥CD, ∴PE∥AB∥CD, ∴∠APE=180°-∠A=50°, ∠CPE=180°-∠C=60°, (2) ∠CPD=∠α+∠β, 理由如下: 如图3, 过P作PE∥AD交CD于E, ∵AD∥BC, ∴AD∥PE∥BC, ∴∠α=∠DPE, ∠β=∠CPE, 45 学科网（北京）股份有限公司 (3) 当 P在BA延长线时, ∠CPD=∠β-∠α; 理由: 如图4, 过P作PE∥AD交CD于 E, ∵AD∥BC, ∴AD∥PE∥BC, ∴∠α=∠DPE, ∠β=∠CPE, ∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α; 当P在 BO之间时, ∠CPD=∠α-∠β. 理由: 如图5, 过 P作PE∥AD交CD于 E, ∵AD∥BC, ∴AD∥PE∥BC, ∴∠α=∠DPE, ∠β=∠CPE, ∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β. 49. 如图, 已知AM∥BN, ∠A=80°, 点 P是射线AM上动点(与A不重合), BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN, 交射线AM于C、D. (1) 求∠CBD的度数; 46 学科网（北京）股份有限公司 (2)当点 P 运动时，那么∠APB： ∠ADB 的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； (3)当点 P 运动到使∠ACB=∠ABD 时，求∠ABC 的度数. 【答案】见试题解答内容 【解答】解： (1) ∵AM//BN, ∴∠ABN+∠A=180°, ∴∠ABN=180°-80°=100°, ∴∠ABP+∠PBN=100°, ∵BC 平分∠ABP， BD 平分∠PBN， ∴∠ABP=2∠CBP， ∠PBN=2∠DBP， ∴2∠CBP+2∠DBP=100°, ∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=50°; (2)不变， ∠APB： ∠ADB=2： 1. ∵AM//BN， ∴∠APB=∠PBN， ∠ADB=∠DBN， ∵BD 平分∠PBN， ∴∠PBN=2∠DBN， ∴∠APB： ∠ADB=2： 1； (3) ∵AM//BN， ∴∠ACB=∠CBN， 当∠ACB=∠ABD 时，则有∠CBN=∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN， ∴∠ABC=∠DBN， 由(1)可知∠ABN=100°， ∠CBD=50°， ∴∠ABC+∠DBN=50°， 47 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠ABC=25°. 50. 如图1, AM∥CN, 点B为平面内一点, 于B，过B作 (1) 求证: ∠ABD=∠C; (2)如图2，在(1)问的条件下，分别作 的平分线交 DM 于 E、F,若 ABF, ∠FCB=2.5∠BCN, ①求证: ∠ABF=∠AFB; ②求∠CBE的度数. 【答案】见试题解答内容 【解答】解: (1) 如图1, 过B作BG∥CN, ∴∠C=∠CBG ∵AB⊥BC, ∴∠CBG=90°-∠ABG, ∵BG∥CN, AM∥CN, ∴AM∥BG, ∴∠ABD=∠C; (2) ①如图2, 设 则 设∠ABF=y, 则∠BFC=1.5y, ∵BF平分∠DBC, ∴∠FBC=∠DBF=2x+y, 48 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠AFB+∠BCN=∠FBC, ∴∠AFB+2x=2x+y, ∴∠AFB=y=∠ABF; ②∵∠CBA=90°, AF∥CN, ∴∠ABG+∠CBG=90°, ∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF=180°, 二十五.三角形内角和定理 (共2小题) 51. 如图所示, 将△ABC沿着DE折叠, 使点A 与点N重合, 若∠A=65°, 则∠1+∠2= ( ) A. 25° B. 65° C. 115° D. 130° 【答案】D 【解答】解: ∵△NDE是△ADE翻折变换而成, ∴ , 故选: D. 52. 如图, 在第1个△ABA₁中, , 在A₁B上取一点C, 延长AA₁到A₂, 使得在第2个△A₁CA₂中, ；在A₂C上取一点D，延长. 到A₃，使得在第3个 中，∠A₂DA₃=∠A₂A₃D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A₃为顶点的内角的度数为 49 学科网（北京）股份有限公司 第n个三角形中以 An为顶点的底角的度数为 【答案】见试题解答内容 【解答】解: ∵在△ABA₁中, 是△A₁A₂C的外角, 同理可得， 以此类推，第n个三角形的以 An为顶点的底角的度数 故答案为： 二十六.三角形的外角性质 (共3小题) 53. 如图, ∠ABD, ∠ACD的角平分线交于点 P, 若 ，则∠P的度数为() A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】B 【解答】解: 延长DC, 与AB交于点 E. ∵∠ACD 是△ACE的外角, ∠A=50°, ∴∠ACD=∠A+∠AEC=50°+∠AEC. ∵∠AEC是△BDE 的外角, ∴∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°, 整理得∠ACD-∠ABD=60°. 50 学科网（北京）股份有限公司 设AC与BP相交于 O, 则∠AOB=∠POC, 即 故选: B. 54. 如图, BP 是△ABC中∠ABC的平分线, CP 是. 的外角的平分线，如果 50°, 则. 【答案】见试题解答内容 【解答】解: ∵BP 是△ABC中∠ABC的平分线, CP是∠ACB的外角的平分线, ∵∠PCM 是△BCP 的外角, 故答案为: 30°. 55. 在锐角△ABC中, 点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点. (1)如图1, 点E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分线的交点, 且 ∠NCB, 若∠BAC=60°, 则∠BDC= 120 °, ∠BEC= 100 °; (2)如图2，锐角△ABC的外角∠ACG的平分线与 BD的延长线交于点F，在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求出∠BAC的度数. 51 学科网（北京）股份有限公司 【答案】见试题解答内容 【解答】解: (1) ∵∠BAC=60°, ∴∠ABC+∠ACB=120°, 又∵点D 是∠ABC、∠ACB的平分线的交点, ∴ °; =80°, ∴△BCE中, 2 ; 故答案为: 120, 100; (2) 由 (1) 可得, ∵∠FCG是△BCF的外角, ∠ACG是△ABC的外角, ∴∠F=∠FCG-∠FBC, ∠A=∠ACG-∠ABC, 又∵BF平分∠ABC, FC平分∠ACG, ∵DC平分∠ACB, FC平分∠ACG, 52 学科网（北京）股份有限公司 在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则①当∠FDC=4∠F时, 解得 ②当∠F=4∠FDC时, 解得∠A=144° (不合题意); ③当∠DCF=4∠FDC时, 解得∠A=135°(不合题意); ④当∠DCF=4∠F时, 解得 综上所述, 锐角△ABC中∠BAC的度数为36°或45°. 二十七.勾股定理(共3小题) 56.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm, 则正方形A, B, C, D, E, F, G的面积之和是 ( ) 【答案】D 【解答】解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D 的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是 G 的面积. 53 学科网（北京）股份有限公司 即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积. ∵G 的面积是 ∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为 故选: D. 57. 在△ABC中, AB=15, AC=13, BC上的高AD长为12, 则△ABC的面积为( ) A. 84 B. 24 C. 24或84 D. 42或84 【答案】C 【解答】解: (1) B △ABC为锐角三角形, 高AD 在△ABC内部. ∴△ABC的面积为 (2) B △ABC为钝角三角形, 高AD在△ABC外部. 方法同(1) 可得到BD=9, CD=5 ∴△ABC的面积为 故选: C. 58. 如图, OP=1, 过 P作 PP₁⊥OP 且. 根据勾股定理，得 再过 P₁作 且 得 又过P₂作 且 得 …依此继续，得 (n为自然数, 且n>0) 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得， 54 学科网（北京）股份有限公司 … 则 故答案为： 二十八.勾股数(共1小题) 59.勾股定理 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解(a，b，c)通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3，4, 5), (5, 12, 13),(7, 24, 25), …. 分析上面勾股数组可以发现, 24=3×(7+1), …分析上面规律, 第5个勾股数组为 (11, 60, 61) . 【答案】见试题解答内容 【解答】解: 由勾股数组: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25)…中, 4=1×(3+1), 12=2× (5+1), 24=3× (7+1), …可得 第4组勾股数中间的数为4× (9+1) =40, 即勾股数为(9, 40, 41); 第5组勾股数中间的数为: 5× (11+1) =60, 即 (11, 60, 61), 故答案为: (11, 60, 61). 二十九.方差 (共1小题) 60.若一组数据x₁+1,x₂+1, x₃+1··· xn+1的平均数为18，方差为2，则数据 的平均数和方差分别是 () A. 18, 2 B. 19, 3 C. 19, 2 D. 20, 4 【答案】C 【解答】解: ∵数据x₁+1, x₂+1, x₃+1… xn+1的平均数为18， ∴数据x₁+2, x₂+2, x₃+2……, xn+2的平均数为18+1=19; ∵数据x₁+1, x₂+1, x₃+1… xn+1的方差是2， 55 学科网（北京）股份有限公司 ∴数据 的方差是2； 故选: C. 56 学科网（北京）股份有限公司 $