湖南省长沙市2025-2026学年高一上学期期末模拟考试数学试题（人教A版）

湖南省长沙市2025-2026学年高一上学期期末模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．下列几种说法中，不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（   ） A．800 B．625 C．1550 D．750 4．已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”，则下列说法中不正确的是（   ） A．不是“可分集合” B．是“可分集合” C．四个元素的集合可能是“可分集合” D．五个元素的集合不是“可分集合” 5．已知正实数a，b，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，是二次函数，若的值域是，则的值域为（  ） A． B． C． D． 7．若，x，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 8．质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对任意实数x，y，z，下列命题是真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．是“”的充要条件 C．“”是不等式成立的充要条件 D．“”是“”的充分不必要条件 10．关于的不等式的解集，下列说法正确的是（    ） A．当时，解集为 B．当时，解集为 C．当时，解集为 D．当时，原不等式在上恒成立 11．已知函数的定义域为，是单调函数，，且，则（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．在上单调递减 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．命题“”为真命题，则实数的取值范围是 13．已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为 ． 14．设，函数，若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共4小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究.通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第20天的日销售收入为603元. (1)求； (2)给出以下两个函数模型：①；②为常数）根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 16．函数的图象关于点中心对称的充要条件是 . 已知函数 (1)求证：的图象关于点中心对称； (2)若函数 在区间上的最小值为 11，求实数 的值； (3)求关于的不等式的解集. 17．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间； (3)若关于的方程在上有两个不同的实根，，且，求的取值范围. 18．已知集合，集合且满足：，，与恰有一个成立.对于定义，. (1)若，，，，求的值及的最大值； (2)从，，，中任意删去两个数，记剩下的个数的和为.求证： (3)对于满足的每一个集合，集合中是否都存在三个不同的元素，，，使得恒成立，并说明理由. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2025-2026学年高一上学期期末模拟考试 数学试题（参考答案） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C D A C B AD ABD 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】分，和三种情况讨论，结合定义即可得解. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，. 故选：B. 2．A 【分析】取特例判断A，根据作差法判断BC，利用不等式性质判断D. 【详解】当时，满足，但不成立，故A错误； 因为，所以，即，故B正确； 因为，所以，即，故C正确； 因为，所以，所以， 又，所以，故D正确. 故选：A 3．A 【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可. 【详解】解：根据题意，任意一个元素在非空子集中的出现次数为：， 集合的元素之和为， 所以集合的全部非空子集的厚度之和为：. 故选：A 4．C 【分析】根据给定条件，利用“可分集合”的定义逐项分析判断即得. 【详解】对于A，去掉后，不满足定义，不是“可分集合”，A正确； 对于B，集合所有元素之和为， 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意， 因此集合是“可分集合”，B正确； 对于C，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾，因此一定不是“可分集合”，C错误； 对于D，不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③或②④得，矛盾；由①④或②③得，矛盾， 因此集合不是“可分集合”，D正确． 故选：C 5．D 【分析】令，则，再代入已知，可得关于的一元二次方程有正实数根，再根据求解即可. 【详解】令，则， 则， 由题意知关于的一元二次方程有正实数根， 因为，， 所以，解得， 即. 所以的取值范围是. 故选：D 6．A 【分析】画出函数的图象，即可求解． 【详解】画出函数的图象，如图所示： 若的值域是，得， 即的值域为：． 故选：A 7．C 【分析】构造，变形，然后用基本不等式求出结果即可. 【详解】因为， 所以． 因为，所以． 所以，即． 当且仅当，，即，时等号成立， 所以的最小值为． 故选：C． 8．B 【分析】根据角速度列方程，求得两点重合的时刻的表达式，进而求得点的坐标，再根据三角函数的周期性求得正确答案. 【详解】点的初始位置，锐角，设时刻两点重合， 则，即， 此时点， 即，， 当时，，故A正确； 当时，，即，故C正确； 当时，，即，故D正确； 由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B错误. 故选：B 【点睛】关键点睛：追及问题的关键点在于时间，运动的时间相同，由此可建立等量关系式，从而可对问题进行求解.三角函数具有周期性，诱导公式可以将较大角的三角函数值转化为较小的角的三角函数值. 9．AD 【分析】A根据集合之间的包含关系判断；B D必要性举反例；C解分式不等式. 【详解】，则“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 若则必有，但若，，则不成立，故B错误； ，则或，得，故C错误； 若，则；反之，若，则但， 故“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：AD 10．ABD 【分析】将原不等式变形为.当，，时，分别求出不等式的解集，即可判断A，B，C；令，当时，求出在上的最大值，即可判断D. 【详解】将不等式变形为， 利用平方差公式分解可得， 即①. 当时，①式可化为，解得，所以不等式的解集为， 故A正确； 当时，，所以不等式的解集为，故B正确； 当时，若，则，所以不等式的解集为， 不是，故C错误； 令，其图象的对称轴方程为. 当时，. 当时，，，所以， 即不等式在上恒成立，故D正确. 故选：ABD 11．ABC 【分析】通过不等式变形构造常数函数，确定的表达式为，再逐一验证选项. 【详解】依题意，，其中， 对不等式两边除以， 得恒成立， 因该式对任意成立，故为常数. 设，则， 由于是单调函数，所以，所以. A：图象关于直线对称，A正确； B：，B正确； C：在上单调递减，C正确； D：，求和得，D错误. 故选：ABC 12． 【分析】将问题转化为“” ，然后根据的取值范围可求结果. 【详解】因为“”为真命题，所以， 因为，所以，即，所以， 故答案为：. 13．-1 【分析】利用幂函数的定义可求得的值，根据的值分类讨论即可. 【详解】由是幂函数，得，解得或, 当时，，此时函数是奇函数，在上单调递减，定义域为，此时乙和丙的论述是错误的，甲的论述是正确的，符合题意； 当时，，此时函数是偶函数，在上单调递增，定义域为R，此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故不符合题意； 综上所述，的取值为， 故答案为： 14． 【分析】结合分段函数的性质，对的取值进行分类讨论，即可求解. 【详解】因为在区间内恰有6个零点， 当时，区间上，最多有2个零点，不符合题意； 当时，易知函数最多有2个零点， 所以当时，至少有4个零点. 由，得，所以， 又，所以，解得， 所以当时，函数的零点可以是，，，，，，，， 令①，得， （1）当，即时，方程①无解，即在时无零点， 所以，在时有6个零点，则，此不等式组无解，舍去； （2）当时，方程①有唯一解，即在时有1个零点3， 所以，在时有5个零点，由，所以， 所以，在时只有3个零点，显然矛盾，舍去； （3）当时，方程①的解为或，且， 若，则时，此时在时有2个零点， 所以，在时，函数有4个零点，所以，解得； 若，则，此时在时有1个零点， 所以，在时，函数有5个零点，所以，解得； 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 15．(1) (2)且定义域为 (3)441元. 【分析】（1）根据可求的值，从而可求； （2）根据表格中数据的增减性可选择，代入后可求的值，从而可求及其定义域. （3）根据可得分段函数的解析式，结合基本不等式和单调性可求其最小值. 【详解】（1）由题意，，可得， 则. （2）由表格数据知：日销售量随时间先增后减，显然①不符合， 所以，选②， 则，可得，即， 综上，且定义域为 （3）由题意 所以 当， 当且仅当时取等号，此时最小值为441元. 当在上单调递减， 此时最小值为元, 综上，的最小值是441元. 16．(1)证明见解析； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）由的解析式求出，计算出的值，从而得到的图象的中心对称点. （2）由的解析式求出，令，求出的范围，构造函数，对称轴为 ，按照和讨论求解； （3）由（1）知，原不等式可化为. 由 的单调性，得到，讨论和求解即可. 【详解】（1）的定义域为 ， 因为， 所以， 即的图象关于点中心对称. （2）因为，所以， 令，则 ， 设函数， 因为的图象为开口向上的抛物线，对称轴为 ， 所以当，即 时，，解得 ； 当，即时， ，无解. 综上所述，实数的值为 . （3）由(1)可知， 则， 所以原不等式可化为， 即. 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以，即. 当时，不等式 即 ，解得. 当时，不等式 可化为 ， 当时，则，故不等式可化为 ，解得或； 当时，不等式可化为 ， 当 时，，解得 ， 当 时，，不等式 的解集为， 当 时， ，解得. 综上所述， 当 时，解集为 或； 当 时，解集为； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 . 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简. （2）利用结论直接解不等式组得出函数的单调递减区间. （3）结合三角函数的对称性，讨论的取值范围，得出的取值范围. 【详解】（1） ， 所以最小正周期. （2）令， 解得， 所以单调递减区间为. （3）已知，则. 令，则，函数可记为. 则在有两个不同解，，其中，. 此时，则，即，所以，，. 所以， 又因为，且，可得， 所以， 所以的取值范围是. 18．(1)最大值为2. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题中定义直接求的值及的最大值. （2）由，知，所以.若从删去两个数，则剩下的个数的和为.因此只需证. （3）用反证法思想证明. 【详解】（1）因为，所以. 因为，，， 所以 所以. 因为，所以， 所以， 即的最大值为2. （2）由的定义知，. 所以 . 设删去两个数， 则剩下的个数的和为. 由的定义知，，且至多有一个等号成立. 所以. 所以. 即得证. （3）由题意知，中存在最大数，不妨记为（若最大数不唯一，则任选一个）. 由题意知，所以存在，使得，即，. 由，设集合，则Q中一定存在元素，使得. 否则，与为最大数矛盾. 所以. 所以对于满足的每一个集合， 集合中都存在三个不同的元素，，，使得恒成立. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $