精品解析：上海市杨浦高级中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

2025学年度第一学期期末高一数学试卷 时间90分钟 满分100分 一、填空题（本大题共有10小题，满分40分，每题4分） 1. 已知全集，集合，则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义计算即可. 【详解】根据补集的定义，. 故答案为：. 2. 不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案. 【详解】不等式等价于， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 3. 若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则角的正弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义直接求解即可. 【详解】角的终边经过点， 由三角函数的定义可得. 故答案：. 4. 已知扇形半径为4cm，弧所对的圆心角为2弧度，则该扇形的面积为_____________. 【答案】16 【解析】 【分析】由题设结合扇形面积公式可得答案. 【详解】由题可得扇形半径为，弧所对的圆心角为. 则该扇形的面积为：. 故答案为： 5. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先由条件可得，再函数为奇函数可得的值. 【详解】因为当时，，所以. 又因为是定义在上的奇函数，所以，所以. 故答案为： 6. 已知等腰三角形底角正弦值为，则顶角的余弦值是_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角公式求解即可． 【详解】设等腰三角形的底角为 ，则顶角为 【点睛】本题考查了诱导公式及二倍角的余弦公式，解题的关键是根据题目条件熟练地选用余弦的二倍角公式来解决问题． 7. 满足条件：（）的角的集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由辅助角公式结合题设可得答案. 【详解】由， 因，则，结合， 可得或，则或. 故答案为： 8. 请根据三倍角的余弦公式：，推导三倍角的正弦公式______.（只用表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用三倍角的余弦公式和诱导公式求解化简即可. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为： 9. 已知点A的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数值结合和差角的三角函数公式进行计算即可. 【详解】因为点的坐标为，所以与轴正半轴的夹角满足 . 那么将绕坐标原点顺时针旋转至，与轴正半轴的夹角为. 而， . 所以点的坐标为. 故答案为：. 10. 已知关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】观察方程的结构特征，将它进行变形为，然后构造函数，确定函数的单调性，从而将问题转化为当时，有两个不相等的实数根，利用根的分布列出不等式组，求解即可得到答案． 【详解】解：因为方程， 所以变形为， 令， 则有， 因为在上单调递增， 所以即为， 故当时，有两个不相等的实数根， 在中，则有，即， 解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了函数单调性的应用、二次函数根的分布问题，解题的关键是将已知的方程变形为，进而构造函数分析，对于学生的思维能力有较高的要求． 二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 11. “”是“是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合角的概念，即可得答案. 【详解】若，则一定是第一象限角，充分性成立； 若是第一象限角，则， 无法得到一定属于，必要性不成立. 所以“”是“是第一象限角”的充分不必要条件. 故选：A 12. 已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数和一次函数的图像特征，对四个选项一一判断. 【详解】对于A：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三象限可以判断出.矛盾.故A错误； 对于B：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、四象限可以判断出，矛盾.故B错误； 对于C：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、三、四象限可以判断出，且，矛盾.故C错误； 对于D：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三、四象限可以判断出，可以同时成立，故D正确. 故选：D 13. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C会按确定的比率衰减（称为衰减率），C与死亡年数t之间的函数关系式为（k为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于（ ） 参考数据：；参考时间轴： A 战国 B. 汉 C. 唐 D. 宋 【答案】C 【解析】 【分析】根据“半衰期”求得，进而解方程，求得，从而可推断出该文物所属朝代. 【详解】解：当时，，故，解得，所以， 由题意得，，解得， 而，可推断该文物属于唐. 故选：C． 14. 已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有， 同理，， 故， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于个数的最大值为2， 故选：C. 法2：不妨设，则， 由排列不等式可得： ， 而， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或排序进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 三、解答题（本大题共有5题，满分48分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 15. 证明：函数在上是严格增函数． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义证明单调性即可. 【详解】任取，且， 则 ． ∵，∴，， ∴，即， ∴函数在上是严格增函数． 16. 已知都是锐角，且，， （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正切公式进行求解； （2）利用同角三角函数的基本关系式分别求出，，的值，再利用两角和的余弦公式进行求解即可. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 都是锐角，，， 又，，， ，，， ， ，. 17. 已知． （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围． （2）设、是方程的两个根，若，求实数的值； 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）问题化为在R上恒成立，利用即可求参数范围； （2）由题意、是方程的两个根，应用韦达定理并结合列方程求参数值，注意验证. 【小问1详解】 由题意，R上恒成立，则， 所以，可得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 由题设，、是方程的两个根， 则，，， 由，即， 所以，可得或 经验证，或均满足， 所以或. 18. 某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库.因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元. （1）请写出甲队整体报价（单位：百元）关于前面墙体长（单位：米）的函数解析式； （2）已知乙队给出的整体报价为元（），不考虑其他因素，若甲队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意即可得到函数解析式. （2）将不等式恒成立问题转化为函数值域问题，结合函数单调性求出最值即可. 【小问1详解】 前面墙体长米（），则左右两面墙体长为米. 所以新建前面墙体的费用为：元，即百元. 新建左右两面墙体的费用为：元，即百元. 又屋顶和地面以及其他共计28800元，即288百元， 所以总费用（）. 【小问2详解】 乙队给出的整体报价为元，即百元（）. 甲队要确保竞标成功，需甲队报价小于乙队报价对任意恒成立， 即对任意恒成立. 化简得， 因为，所以， 整理得对任意恒成立. 设，则，. 又在上为增函数，所以， 则，即，又，所以. 故实数的取值范围为. 19. 对于函数（），若存在实数，使得成立，则称函数存在“漂移点”. （1）判断函数是否存在“漂移点”，并说明理由； （2）若函数在上存在“漂移点”，求实数a的取值范围； （3）求证：函数（且）在上总存在唯一的“漂移点”. 【答案】（1）不存在，理由见解析. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“漂移点”的定义进行计算即可. （2）根据函数在上存在“漂移点”列出等式，并化简得到，进而求得结果. （3）根据函数在上存在“漂移点”列出等式，并化简得到方程，构造新函数，根据零点存在定理证明方程在上至少存在一个解满足条件，然后对新函数进行求导判断其在上单调递增，进而得出结论. 【小问1详解】 假设函数存在“漂移点”，则满足， 即，化简得，由于， 所以此方程无解，所以函数不存在“漂移点”. 【小问2详解】 因为函数在上存在“漂移点”，其中， 那么满足，即， 因为，所以化简得，所以. 因为，所以，所以， 所以，即. 【小问3详解】 存在实数使得函数（且）存在“漂移点”， 则，即， 化简得. 所以要证明存在唯一的“漂移点”， 即证明方程在上有唯一解， 令， 则， 由零点存在定理知，至少存在一个使得. 又，当时，，故， 当时，，故， 所以在上单调递增，故零点唯一. 因此函数在上总存在唯一的“漂移点”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年度第一学期期末高一数学试卷 时间90分钟 满分100分 一、填空题（本大题共有10小题，满分40分，每题4分） 1. 已知全集，集合，则 __________. 2. 不等式的解集为_____. 3. 若角顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则角的正弦值为______. 4. 已知扇形半径为4cm，弧所对的圆心角为2弧度，则该扇形的面积为_____________. 5. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则_______． 6. 已知等腰三角形底角正弦值为，则顶角的余弦值是_________ 7. 满足条件：（）的角的集合为__________. 8. 请根据三倍角的余弦公式：，推导三倍角的正弦公式______.（只用表示） 9. 已知点A的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标为__________. 10. 已知关于方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 11. “”是“是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（ ） A. B. C. D. 13. 生物体死亡后，它机体内原有碳14含量C会按确定的比率衰减（称为衰减率），C与死亡年数t之间的函数关系式为（k为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于（ ） 参考数据：；参考时间轴： A. 战国 B. 汉 C. 唐 D. 宋 14. 已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题共有5题，满分48分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 15. 证明：函数在上是严格增函数． 16. 已知都是锐角，且，， （1）求值； （2）求的值. 17. 已知． （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围． （2）设、是方程的两个根，若，求实数的值； 18. 某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库.因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元. （1）请写出甲队整体报价（单位：百元）关于前面墙体长（单位：米）的函数解析式； （2）已知乙队给出的整体报价为元（），不考虑其他因素，若甲队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 19. 对于函数（），若存在实数，使得成立，则称函数存在“漂移点”. （1）判断函数是否存在“漂移点”，并说明理由； （2）若函数在上存在“漂移点”，求实数a取值范围； （3）求证：函数（且）在上总存在唯一的“漂移点”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $