湖南省郴州市2025-2026学年高一上学期期末模拟卷数学试题（人教Ａ版必修第一册）

湖南省郴州市2025-2026学上学期期末模拟卷 年高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版必修1. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数，则（    ） A． B． C． D． 4．设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 5．已知定义在上的函数，对任意的且，都有，且函数为奇函数．若锐角的三个内角为，则（    ） A． B． C． D．的符号无法确定 6．已知，则（   ） A．-6 B． C．8 D．-8 7．对任意，都存在，使得成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知叫作双曲余弦函数，叫作双曲正弦函数.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．A的真子集个数为7 C． D． 10．已知，，，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是2 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是9 11．若实数满足，则（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，集合，则集合的元素之和等于 . 13．已知实数a，b满足，，则a的取值范围为 ． 14．已知函数满足，且当时，(且，则 ， . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合或． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16．已知函数 (1)对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集． 17．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若定义在上的函数的图象关于点对称，且当时，．设函数． (1)若函数的图象关于点对称，求m，n的值； (2)若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 18．已知函数，的定义域都是，，且 (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)设，求不等式的解集； (3)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 19．已知函数. (1)若函数的最小正周期为，求函数的解析式和对称轴方程； (2)在（1）条件下，当时，有且只有两个零点，直接写出的取值范围，并证明； (3)函数在区间上有且仅有一个零点，且，求. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省郴州市2025-2026学年上学期期末模拟卷 高一数学（解析版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版必修1. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D D A D B C BC AC 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 2．D 【分析】结合已知条件得与同号，进而得，整理即判断D，对于ABC，利用特殊值判断不成立即可. 【详解】由得，即， 所以与同号， 对于A选项，当时，满足，，故不一定成立，错误； 对于B选项，当时，满足，，此时，故错误； 对于C选项，当时，满足，，此时，故错误； 对于D选项，由得，整理得，即，故正确. 故选：D 3．D 【分析】采用换元法求解析式求解即可. 【详解】因为，且， 所以． 故选：D 4．D 【分析】正数a，b满足，可得，解出即可得ab的最小值. 【详解】因为a，b为正数，且 所以， 即，解得，所以； 当且仅当时取等号，ab的最小值为9. 故选：D. 5．A 【分析】依题意有图象关于点对称，在上单调递增，锐角中，，则有． 【详解】由题可知，在区间上单调递增，且函数为奇函数， 则，故， 当时，有，即， 又因为图象关于原点对称，则图象关于点对称， 所以，在上单调递增． ，而为锐角三角形，故，则， 所以，即. 故选：A． 6．D 【分析】由得，结合诱导公式，利用同角三角函数的平方和关系及商数关系即可求解. 【详解】由得， 故 . 故选：D 7．B 【分析】设，，得到，，，根据绝对值不等式的性质，求得，即，进而求得实数的取值范围. 【详解】设，， 则，，， 则 ， 同理可得：， 所以， 所以， 因为对任意，都存在，使得成立， 即，所以，即实数的取值范围为. 故选：B. 8．C 【分析】由题可化简得，结合可得要证只需证，再结合为在上单调递增且，则令，然后可分别讨论、、三种情况讨论即可求解. 【详解】由，化简可得，即， 因为，当且仅当时取等号，所以恒成立， 所以在上恒成立， 又因为在上单调递增，所以， 令在上恒成立， 当时，满足题意； 当时，此时只需，解得， 当时，此时只需，解得， 综上可得实数的取值范围是，故C正确. 故选：C. 9．BC 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】， 由，，， 作出图，如图所示， 由图可知，，，故A错误，正确； 集合的真子集个数为个，故B正确； 因为，所以，错误. 故选：BC. 10．AC 【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解. 【详解】由于，，，故， 对于A， ，故取不到2，故A错误； 对于BC， 由，，可得，故，当且仅当，即时取到等号，故，故的最大值是，B正确，的最大值是，C错误； 对于D， ，当且仅当，即时取到等号，故的最小值是9，D正确， 故选：AC 11．BCD 【分析】对于A，设函数，根据函数的单调性求出的取值范围；对于B，根据得，作出函数图象，判断出的范围；对于C，由得进而判断C；对于D，令，构造，根据单调性求出其范围. 【详解】设函数，显然为增函数. 又. 由，得，A错误； 由，得. 作出函数的图象如图所示，易知，B正确； 由，得，故，则， 故，即C正确； 由，得，则. 令，则. 因为在上单调递增，所以，即正确. 故选：BCD. 12．80 【分析】根据题意利用列举法表示集合，进而求集合的元素之和. 【详解】因为集合， 集合， 可得，所以集合的元素之和为. 故答案为：80. 13． 【分析】利用不等式的性质即可得范围. 【详解】由条件可知，， 两式相加得，即． 故答案为：. 14． 2 【分析】取，求得，代入解析式求得，然后利用函数满足的等式求得函数周期性即可求得结果. 【详解】在中，令，可得， 所以，所以. 在中，用替换，可得， 又，所以， 用替换得，∴， 即以4为周期. 所以. 故答案为：2 ； 15．(1)， (2)或 【分析】（1）由集合的运算可得； （2）先由已知判断是的真子集，再由集合间的包含关系列不等式可得. 【详解】（1）因为，所以或或 所以， 或 （2）因为是的必要不充分条件，则是的真子集． 则或，所以或， 所以实数m的取值范围为或. 16．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）函数恒成立问题结合二次函数的性质分类讨论即可得出参数范围； （2）讨论当，，三种情况不等式的解集，即可求得解集. 【详解】（1）当时，成立， 当时，解得 综上所述实数的取值范围为 （2）即 即 当时，，则 当时，，则 当时，，则 综上所述： 当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 17．(1) (2) 【分析】（1）由的图象关于点对称，则，化简计算即可得解； （2）判断的单调性，求出值域，由题意转化为，再由的对称性分类讨论求的值域，满足上述条件建立不等式求解即可. 【详解】（1）的图象关于点对称，则， 由 ， 得： ， 所以函数 的图象关于点对称. 即. （2） ，则 在 上单调递增， 所以 的值域为 . 设 在 上的值域为 ， 对任意 ，总存在 ，使得 成立，则 . 当 时， ， 函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，且 . 当 ，即 时，函数 在 上单调递增， 由对称性可知， 在 上单调递增，所以 在 上单调递增. 因为 ， 所以 ，所以 . 由 ，可得 解得 . 当 ，即 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 由对称性可知， 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减， 结合对称性可得在 上的值域可能为，也可能为 . 因为 0 ，所以 ， ， 又 ， 所以 ， 所以当 时， 成立. 当 ，即 时，函数 在 上单调递减， 由对称性可知 在 上单调递减，因为 ， ， 所以 ，所以 ， 由 ，解得 . 综上所述，实数的取值范围为 . 18．(1)函数是奇函数，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，根据奇偶性定义判断即可求解； （2）判断函数奇偶性及单调性，列不等式计算求解即可； （3）由题意可得，令，则，令，根据二次方程根的分布列不等式组计算即可求解. 【详解】（1）由题意可得， 故函数是奇函数，证明如下： 因为， 所以函数是定义在的奇函数； （2）因为在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，且， 因为函数是定义在的奇函数， 所以函数是定义在的偶函数，且在上单调递增， 若，则， 两边同时平方化简可得，解得， 所以不等式的解集为； （3）由题意可得， 当时，令，则， 令，则在上有两个不相等的实数根， 显然，且，即， 由二次方程根的分布可知，解得， 所以， 故实数的取值范围为. 19．(1)，对称轴方程为， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，根据最小正周期求出，所以，整体法求出函数对称轴方程； （2）由（1）知，，换元，转化为有且只有两个零点，且，其中，即与有两个交点，求出的单调性及特殊点函数值，从而得到答案；证明，方法一：由基本不等式得到，故，，由余弦函数单调性证明出结论；方法二：由分析法进行证明即可； （3）根据得到或，于是或，分两种情况，计算出函数解析式，结合函数零点个数得到不等式，求出，故，所以，利用周期性求和即可. 【详解】（1） ， 的最小正周期为，，所以. 令，，即可得，， 的对称轴方程为，. （2）由（1）知，，. 令，，，. 有且只有两个零点， 有且只有两个零点，且. 即关于方程有且只有两个根， 与有两个交点， 其中在上单调递增，在上单调递减， 且时，，当时，，当时，， 要想与有两个交点，可知. 方法一：，，. ，. 又，， . ，，. 又，为减函数，，. 方法二：.要证， 需证明，需证明， 需证明，即证明， 即证明. ，. 又，， ，. （3）， ， 即， ， ， ， ， 或， 或， 于是或. 当时，， ，， 而函数在区间上有且仅有一个零点， 则， ，故， 当.时，， ，， 而函数在区间上有且仅有一个零点， 则， 解得，，无解. 综上所述，，，. 其中，为的最小正整数倍， 其中 . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $