1.2《等腰三角形》第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

三角形的证明及其应用 第2节 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定定理 新版北师大数学八年级数学下册 学习目标 1.经历“猜想→验证→证明”的几何探究过程,理解“等角对等边”判定定理的内涵，能独立完成该定理的逻辑证明，熟练运用定理判定等腰三角形. 2.通过对等腰三角形的判定方法的学习总结,能根据具体题目选择合适的判定方法,提升分析问题、解决问题的能力,发展几何推理能力. 教学设计的基本环节 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 问题1：我们上节课学习了等腰三角形的性质，谁能说一下等腰三角形有什么性质？ 问题2：你是如何证明“等边对等角”这个性质的？ “等边对等角”“三线合一” 构造全等三角形的方法 边相等 角相等 问题:要想判定一个三角形是否是等腰三角形，我们可能有哪些方法？具体是怎样操作的？ 4 问题构建 猜想:有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 请同学们借助工具画一画,班级分成3个小组，左边小组画锐角三角形，中间小组画直角三角形，右边小组画钝角三角形，保证有两个角相等，然后度量三角形的边，看看有没有相等的边存在？ AB=AC=3.8cm DE=DF=4.1cm GH=GI=6.0cm 5 问题构建 问题3:通过画图的结果来看，你有什么发现?这个发现可以验证猜想吗？如果不能，你准备怎么验证猜想？ 画图的结果显示：有两个角相等的三角形都是等腰三角形. 可以验证猜想是正确的，但是只有通过严密的推理证明才能确认猜想是正确的结论. 问题4:根据上节课学习等腰三角形性质的经验，我们要解决的问题本质是什么？ 角相等 边相等 构造全等三角形 问题构建 在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC. 证明：过点A作AD⊥BC于D ∵AD⊥BC ∴∠ADB=∠ADC=90° 在△ABD和△ACD中 ∴ △ABD≌△ACD(AAS) ∴AB=AC（全等三角形对应边相等） 追问:你还有别的证明方法吗？ 问题构建 在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC. 证明：过点A作AD平分∠BAC交BC于D ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD 在△ABD和△ACD中 ∴ △ABD≌△ACD(AAS) ∴AB=AC（全等三角形对应边相等） 问题构建 问题5:上述证明方法虽然不同,但解决问题的本质是一样的,你能说一说吗？ 作辅助线→构造两个三角形→证明两个三角形全等→根据全等三角形对应边相等→回归定义证明. 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 这一定理可以简述为：等角对等边 追问:回忆平行线的性质与判定，等腰三角形的性质和判定之间有怎样的关系？ 等角对等边 等角对等边 互逆定理 构造全等 协作破冰 问题6:上节课学习了等腰三角形“三线合一”性质,这条性质是怎样的描述的？ 如图,在△ABC中,若AB=AC, ①AD为BC边上的中线②AD⊥BC③AD平分∠BAC 追问:这个性质是从“等腰”推导出“三线合一”.反过来,如果一个三角形中,一条线段同时满足“三线”中的两条,可以分成几类情况研究？ 满足①②；满足②③；满足①③ 协作破冰 问题7:在△ABC中,线段AD是BC边上的中线,同时也是BC边上的高.你能猜想△ABC是什么三角形吗？ AD平分BC,且AD⊥BC.此时AD所在直线是线段BC的垂直平分线,根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,可以直接得出AB=AC,判定△ABC是等腰三角形. 追问1：在△ABC中,线段AD是∠BAC的角平分线,同时也是BC边上的高.你能猜想△ABC是什么三角形吗？ 根据条件可以判定两个三角形全等，从而得出△ABC是等腰三角形.你能写出详细的证明过程吗？ 协作破冰 在△ABC中,线段AD是∠BAC的角平分线,同时也是BC边上的高. 求证：△ABC是等腰三角形. 证明：∵AD⊥BC ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD 在△ABD和△ACD中 ∴ △ABD≌△ACD(ASA) ∴AB=AC（全等三角形对应边相等） 协作破冰 在△ABC中,线段AD是∠BAC的角平分线,同时也是BC边上的中线. 求证：△ABC是等腰三角形. 证明:延长AD到点E,使DE=AD,连接BE ∵AD是BC边上的中线,所以BD=CD. 在△BDE和△CDA中： ∴△BDE≅△CDA(SAS) ∴BE=CA,∠2=∠E ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴BE=BA ∴AB=AC 辅助线作法：倍长中线 教师示范 判定方法 核心条件 适用场景 备注 定义法 三角形有两条边相等 已知边相等的条件，或通过计算/全等得到边相等时 最直接的判定,是等腰三角形的本质定义 等角对等边 三角形有两个角相等 已知角相等的条件,或通过平行线、全等得到角相等时 核心判定定理,使用频率最高 “三线合一” 逆用 一条线段同时满足 “中线、高、角平分线” 中的任意两个 题目中出现中线、高、角平分线的组合条件时 需证明线段满足两个条件,本质是通过全等推导边相等 全等三角形推导法 通过全等得到对应边相等 题目中存在全等三角形的条件,或可构造全等时 间接判定,需先证明全等,再结合定义或等角对等边 问题8:目前关于等腰三角形的判定方法，你有哪些思路方法？它们有怎样的区别与联系. 教师示范 例1 已知：如图,AB=DC,BD=CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形. 证明： ∵ AB=DC，BD=CA，AD=DA， ∴ △ABD≅△DCA(SSS) ∴ ∠ADB=∠DAC（全等三角形的对应角相等） ∴ AE=DE（等角对等边） ∴ △AED是等腰三角形 巩固拓展 如图,三角形ABC是等腰三角形,∠B=36°,尝试解决下面的相关问题： (1)∠A等于多少度，你是怎样计算的？ ∠A=∠C=(180°-36°)÷2=72° （2）若作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D，请找出图中所有的等腰三角形，并说明理由. 等腰三角形有三个： △ABD、△ACD、△ABC 理由：借助内角和计算后，借助有两个角相等的三角形是等腰三角形. 巩固拓展 (3)如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB=72°,∠BAC=36°,记此时图中等腰三角形的数量为,按以下步骤依次作角平分线： 第1步：作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D，记此时图中等腰三角形的数量为； 第2步：作∠BDC的角平分线DE，交BC于点E，记此时图中等腰三角形的数量为； 第3步：作∠DEC的角平分线EF，交CD于点F，记此时图中等腰三角形的数量为；……归纳猜想：第k步作角平分线后，图中等腰三角形的数量nk​与步数k的数量关系,尝试完成下面的表格. 序号 …… 等腰三角形个数 1 3 5 7 2k+1 当堂检测 1.在中,已知,,分别是,, 的对边，则下列条件中,不能 判定 是等腰三角形的是( ) B ,, B. C. , D. 当堂检测 2.如图，点，在上，， ， ，与交于点.求证： 为等腰三 角形. 当堂检测 证明： ， , 即 . 在和 中， . ，即 . . 为等腰三角形. 当堂检测 3.如图， ，平分，为射线上一点.如果射线 上的 点满足是等腰三角形，那么 的度数为_______________ ____. 或 或 反思总结 1.证明“等角对等边”时,你尝试了哪些构造全等三角形的方法？不同方法背后体现了怎样的数学灵活性？ 2.对比“等边对等角”和“等角对等边”,它们在条件与结论上是什么关系？这种“互逆”在你的数学学习中还有哪些类似案例？ 3.若三角形中两个角不相等,对应的边也不相等,这个结论该怎么理解？它和今天的“等角对等边”定理有什么深层关联？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第20页 第2题 二、素养类作业 课本第18页 第2题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $