2025-2026学年人教版数学九年级上册寒假巩固提升卷

2025-2026年九年级上册寒假巩固提升卷（人教版） 一、单选题(共24分) 1．(本题3分)已知m，n是一元二次方程2x2﹣x﹣7＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（　　） A．7 B．4 C．﹣2 D．﹣7 2．(本题3分)将抛物线向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ） A． B． C． D． 3．(本题3分)某商品经过连续两次降价，每件售价由原来的144元降到了121元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（　　） A．144（1﹣x）2＝121 B．144（1+x）2＝121 C．（1﹣x）2＝121 D．121（1+x）2＝144 4．(本题3分)已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．(本题3分)如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝80°，AB＝BC，点P是劣弧CD上不同于点C，D的任意一点，则∠BPC的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 6．(本题3分)如图，在中，半径于点D，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．AB垂直平分OC 7．(本题3分)如图，二次函数（）的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．(本题3分)如图，从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，C为PB上的一点，连接CO交⊙O于点D，若，，，则⊙O的半径长是（ ） A． B． C．4 D．3 二、填空题(共24分) 9．(本题3分)新冠病毒传染性很强，如不注重个人防疫，有一个人感染，经过两轮传染后共有144人会被感染．若设平均每轮传染x人，则可列方程为______． 10．(本题3分)如图，在宽为18m，长为36m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为450m2，求道路宽为多少？设宽为xm，列出的方程是______________________ 11．(本题3分)二次函数的图象经过点、，则______．（填“＞”“＜”或“＝”） 12．(本题3分)已知y＝(k－2)x|k|＋2x－3是二次函数，则实数k＝_______ 13．(本题3分)如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正______边形． 14．(本题3分)已知扇形的弧长为，它的圆心角为45°，则该扇形的半径为______． 15．(本题3分)如图，平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B，C在x轴上，OA＝8，AB＝AC＝10，点D在AB上，CD与y轴交于点E，且满足S△COE＝S△ADE，则过点B，C，E的抛物线的函数解析式为__． 16．(本题3分)如图，在中，，，，将绕直角顶点顺时针旋转，当点的对应点落在边上时，停止转动，则点经过的路径长为__． 三、解答题(共72分) 17．(本题6分)如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，5)，B(1，1)，C(4，3)． （1）画出ABC关于原点O成中心对称的图形A1B1C1． （2）求A1B1C1的面积． 18．(本题6分)用适当的方法解下列方程： ①2x2﹣2x﹣1＝0； ②x（2x﹣5）＝4x﹣10； 19．(本题6分)自“双减”政策推行以来，基层教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，教师周工作时间为48.4小时，若这几周工作时间的增长率相同，求这个增长率． 20．(本题6分)如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t表示移动的时间（0≤t≤6）． 那么：（1）求四边形QAPC的面积； （2）当t为何值时，PCQ的面积是31cm2？ 21．(本题6分)已知抛物线经过（3，5），A（4，0），B（-2，0），且与y轴交于点C． （1）求二次函数解析式； （2）求△ABC的面积． 22．(本题8分)如图，和是⊙的两条切线，A，B是切点．C是上任意一点，过点C画⊙的切线，分别交和于D，E两点，已知，求的周长． 23．(本题8分)如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是，母线长是，制作100个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮？ 24．为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）要使每天销售的利润为6000元，且让顾客得到最大的实惠．售价应定为多少元？ （3）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ 25．(本题10分)已知，抛物线，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D． （1）求的长度和点D的坐标； （2）在该抛物线的对称轴上找一点P，求出的值最小时P点的坐标； （3）点M是第三象限抛物线上一点，当最大时，求点M的坐标，并求出的最大值． 26．(本题10分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，BD=DC，过C作CG⊥BD于E，交AB于F，交DA的延长线于点G， （1）求证：AG=FG； （2）若DH⊥AC于H，AH=，AB=6，求HC的长度． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系即可得出，，再整体代入计算即可． 【详解】 解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根， ∴，， ∴， 故选B． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为，两根之积为，是解题的关键． 2．C 【分析】 根据平移规律确定解析式，后化成一般式即可． 【详解】 将抛物线向上平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的解析式为: ， ∴化成一般式为； 故选:C． 【点睛】 本题考查了二次函数平移，熟练二次函数平移规律左加右减，上加下减是解题的关键． 3．A 【分析】 对于连续变化的问题，都是以前一个时间段为基础，若连续n个月增长率相同则有：a（1＋增长率）n=b，据此列方程即可． 【详解】 第二次降价后的售价是在第一次降价后的售价的基础上变化的，则第一次降价后的售价为元，则第二次降价后的售价为． 故选A． 【点睛】 本题考查了增长率问题（一元二次方程的应用）列式，正确理解连续几个周期增长率相同是解决本题的关键． 4．C 【分析】 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 ①抛物线对称轴位于y轴的右侧，a，b异号，即ab＜0． 抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0． 所以abc＞0． 故①正确． ②由抛物线与x轴有两个交点可得b2-4ac＞0． 故②正确． ③根据图象知道当x=1时，y=a+b+c＜0． 故③错误； ④抛物线开口方向向下，则a＞0． 由于对称轴是x=，且=1， 所以2a=-b， 当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0． 所以2a+a+c＜0，即3a+c＜0． 故④正确． 故选C 【点睛】 主要考查二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 5．B 【分析】 根据圆内接四边形求得的度数，根据AB＝BC，，则即可求得∠BPC的度数 【详解】 如图，连接, 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝80°， AB＝BC， 故选B 【点睛】 本题考查了圆内接四边形，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得是解题的关键． 6．B 【分析】 根据垂径定理求解即可，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． 【详解】 解：半径于点D ∴垂直平分 ∴，B选项正确，符合题意． 故选B 【点睛】 此题考查了圆的垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． 7．C 【分析】 根据B点的坐标与二次函数的对称轴即可求出A点坐标，即能求出AB的值，可判断①；由二次函数的图象与x轴有两个交点，即可确定，可判断②；由图象开口向上，可确定．由二次函数对称轴为，即可知，从而得到b的符号，即求出的符号，可判断③；根据图象可知，再由，即可判断出的符号．可判断④； 【详解】 ∵A、B两点是二次函数与x轴的交点，且二次函数对称轴为 ∴A、B两点关于直线对称． ∵B(1，0)， ∴A(-3，0)， ∴． 故①正确； ∵二次函数的图象与x轴有两个交点A点和B点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即． 故②正确； 根据图象开口向上可知， ∵二次函数对称轴为，即， ∴． ∴． 故③错误； 根据图象可知对于该二次函数，当时有最小值，且最小值小于0， 即， ∵，且， ∴，即． 故④正确； 综上，正确的结论有①②④，共3个． 故选：C 【点睛】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 8．D 【分析】 由切线长定理可得PA＝PB＝9，∠BPO＝∠APO，∠OBC＝90°，由平行线的性质可证CP＝CO＝2＋OD，由勾股定理可求解． 【详解】 解：如图，连接OB，PO， ∵从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点， ∴PA＝PB＝9，∠BPO＝∠APO，∠OBC＝90°， ∵CD∥AP， ∴∠COP＝∠OPA＝∠OPB， ∴CP＝CO＝2＋OD， ∴BC＝9−（2＋OD）＝7−OD， ∵OC2＝OB2＋BC2， ∴（7−OD）2＋OD2＝（2＋OD）2， ∴OD＝3，OD＝15（不合题意舍去）， ∴⊙O的半径长是3， 故选：D． 【点睛】 本题考查了勾股定理，切线的性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键． 9． 【分析】 计算两轮被感染的人数，根据题意即可列出方程． 【详解】 第一轮后共有（1+x）人被感染，第二轮后每个人传染x人，则有(1+x)x人被感染 由题意得： 故答案为： 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，关键是找到等量关系，并列出方程． 10．（36-2x）（18-x）=450 【分析】 根据题意表示出试验田的长和宽，然后根试验田面积为450m2，列出方程即可． 【详解】 解：∵设宽为xm，试验田面积为450m2， ∴可列方程为：（36-2x）（18-x）=450． 故答案为：（36-2x）（18-x）=450． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的应用题，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 11． 【分析】 根据a＝2＞0，对称轴为y轴，在对称轴右侧y随的增大而增大，利用对称轴把A（﹣1，y1）转移到A′（1，y1），根据二次函数性质即可得解． 【详解】 解：∵a＝2＞0， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，在对称轴右侧y随的增大而增大， A（﹣1，y1）关于对称轴对称的点A′（1，y1）， ∵1＜2， ∴y1＜y2， 故答案为：＜． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 12．-2 【分析】 直接利用二次函数定义得出符合题意的k的值． 【详解】 解：∵函数y＝(k－2)x|k|＋2x－3是二次函数， ∴=2且k-2≠0， 解得：k=-2． 故答案为：-2． 【点睛】 本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的形式为y=ax2+bx+c，（a、b、c为常数，a≠0）． 13．六 【分析】 根据题意可得，进而证明是等边三角形，得到，即可证明出这个多边形是正六边形． 【详解】 解：如图，连接OB， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴这个多边形是正六边形． 故答案为：六． 【点睛】 此题考查了等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据题意求出． 14．8 【分析】 根据弧长公式（，其中是弧长，是扇形的圆心角，是扇形的半径）即可得． 【详解】 解：设该扇形的半径为， 则， 解得， 故答案为：8． 【点睛】 本题考查了扇形的弧长公式，熟记公式是解题关键． 15． 【分析】 根据OA＝8，AB＝AC＝10，可得B（6，0），C（﹣6，0），A（0，﹣8），设点D（m，n），由S△COE＝S△ADE，得S△CDB＝S△AOB，从而求出n的值，可得点D是AB的中点，进而可得点E为△ABC的重心，即可得点E的坐标，最后即可求出过点B，C，E的抛物线的函数解析式． 【详解】 解：∵OA＝8，AB＝AC＝10， ∴OB＝OC＝＝6， ∴B（6，0），C（﹣6，0），A（0，﹣8） 设点D（m，n）， ∵S△COE＝S△ADE， ∴S△COE+S四边形OEDB＝S△ADE+S四边形OEDB ∴S△CDB＝S△AOB， ∴BC•|n|＝AO•BO， ∴12（﹣n）＝ 8×6， 解得n＝﹣4， 设直线AB解析式为y＝kx+b， 把A（0，﹣8），B（6，0），代入得， 解得，b＝﹣8，k＝， ∴直线AB解析式为y＝x﹣8， 当y＝﹣4时，x＝3， ∴D（3，﹣4）， ∵C（﹣6，0）， 同理可得CD解析式为y＝x﹣， ∴点E的坐标为：（0，﹣）， 设经过B、C、E三点的二次函数的解析式为：y＝ax2﹣， 把B（6，0）代入得，0＝36a﹣， a＝， ∴过点B，C，E的抛物线的函数解析式为：y＝x2﹣． 故答案为：y＝x2﹣． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解决本题的关键是求出点E的坐标，解题时注意转化思想的合理运用． 16． 【分析】 首先根据勾股定理计算出长，再根据等边三角形的判定和性质计算出，进而可得，然后再根据弧长公式可得答案． 【详解】 解：，，∠ACB=90° ∴，， ∴ ， 是等边三角形， ， ， 弧长， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了弧长的计算、旋转的性质，等边三角形的性质与判定，掌握弧长公式及旋转的性质是解题的关键． 17．（1）见解析；（2）5． 【分析】 （1）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积求解即可． 【详解】 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）＝3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5． 【点睛】 此题考查了中心对称图形的性质和作图，三角形面积的求法，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的性质和作图，三角形面积的求法． 18．①x1＝，x2＝；②x1＝，x2＝2 【分析】 ①用公式法解方程即可得出答案； ②利用因式分解法解方程即可； 【详解】 解：①∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0， 则x＝＝＝， 即x1＝，x2＝ ②∵x（2x﹣5）＝4x﹣10， ∴x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， ∴（2x﹣5）（x﹣2）＝0， 则2x﹣5＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝，x2＝2； 【点睛】 本题考查了公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程，熟悉各方法并合理运用是解题的关键． 19．这个增长率为 【分析】 设这几周工作时间的增长率为，根据题意列方程求解即可． 【详解】 解：设这几周工作时间的增长率为， 由题意可得： 解得，（舍去） 答：这个增长率为 【点睛】 此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到等量关系，列出方程． 20．（1）36（cm2）；（2）当t=1或5时，△PCQ的面积是31cm2． 【分析】 （1）根据题意得到AP=2t，DQ=t，再根据四边形QAPC的面积=四边形ABCD的面积-△CDQ的面积-△PBC的面积计算； （2）用t表示出△PCQ的面积，根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】 解：（1）由题意得，AP=2t cm，DQ=t cm， 则PB=（12-2t）cm，AQ=（6-t）cm， 四边形QAPC的面积=矩形ABCD的面积-△CDQ的面积-△PBC的面积 = =36（cm2）； （2）△PCQ的面积=四边形QAPC的面积-△QAP的面积 = =36-6t+t2， 当△PCQ的面积是31cm2时，36-6t+t2=31， 解得，t1=1，t2=5， 则当t=1或5时，△PCQ的面积是31cm2． 【点睛】 本题考查的是矩形的性质、一元二次方程的应用，根据题意正确表示出线段AP、DQ的长度、灵活运用相关的性质定理列出关系式是解题的关键． 21．（1）二次函数解析式为；（2）△ABC的面积为24． 【分析】 （1）直接利用待定系数法求出函数解析式，进而得出答案； （2）先求出C点的坐标，利用三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】 解：（1）设抛物线解析式为(a≠0)， 将(3，5)代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为． 即； （2）令x=0，则y=8， ∴C(0，8)， ∴． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法与三角形的面积公式是解题的关键． 22． 【分析】 根据切线长定理可得，，即可得出的周长即PA+PB的长度． 【详解】 解：∵DA、DC是圆O的切线， ∴DA=DC， 同理可得EC=EB， ∴C△PDE=PD+PE+DE=PD+PE+DC+CE=PD+PE+DA+EB=PA+PB=10cm． 【点睛】 此题考查了切线长定理的运用，解题的关键是熟练掌握切线长定理．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 23．100个这样的烟囱帽至少需要20πm2的铁皮． 【分析】 利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算． 【详解】 解：圆锥形的烟囱帽的侧面积=•80π•50=2000π（cm2）， 100×2000π=200000π（cm2）=20π（m2） 答：100个这样的烟囱帽至少需要20πm2的铁皮． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 24．（1）y=-20x+1600 ；（2）50元；（3）60元 ，800元 【分析】 （1）根据当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒，即可得到每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）每天销售的利润为P，即可得到，再根据每天的利润为6000元，列出方程求解即可； （3）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：（1）由题意得：， ∴每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式为； （2）设每天销售的利润为P， 由题意得：， ∵要使每天销售的利润为6000元， ∴即， 解得或， ∵让顾客得到最大的实惠， ∴， ∴售价应定为50元； （3）由（2）得， ∵，， ∴当时，P有最大值，最大利润为8000， 答：每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元． 【点睛】 本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 25．（1）AB=4，D坐标为（-1，-4）；（2）点P坐标为（-1，-2）；（3）当点M坐标为时，最大值为． 【分析】 （1）分别求出点A、B坐标，即可求出AB的长度，将抛物线配成顶点式，即可确定点D坐标； （2）求出抛物线对称轴为直线x=-1，根据抛物线的对称性得当点P位于直线AC上时，PA+PC的值最小，即PB+PC的值最小，求出直线AC解析式为y=-x-3，根据点P在直线x=-1上，即可求出点P坐标； （3）连接AM，MC，OM，设点M坐标为，根据得到关于m的解析式，根据二次函数的性质即可求出当时，有最大值，最大值为，即可求解点M坐标为． 【详解】 解：（1）把y=0代入得， 解得， ∴点A坐标为（-3,0），点B坐标为（1,0）， ∴AB=1-（-3）=4， 将抛物线配方得， ∴抛物线的顶点D坐标为（-1，-4）； （2）由抛物线的性质的抛物线的对称轴为直线x=-1， 把x=0代入得y=-3， ∴点C坐标为（0，-3）， 由抛物线的对称性得点A和点B关于直线x=-1对称， ∴PB+PC=PA+PC， ∴当点P位于直线AC上时，PA+PC的值最小，即PB+PC的值最小， 设直线AC解析式为y=kx+b， ∵点A坐标为（-3,0），点C坐标为（0，-3）， ∴， 解得， ∴直线AC解析式为y=-x-3， ∵点P在直线x=-1上， ∴把x=-1代入y=-x-3得y=1-3=-2， ∴点P坐标为（-1，-2）； （3）如图，连接AM，MC，OM， ∵点M是第三象限抛物线上一点， ∴设点M坐标为， ∴ ， ∵＜0， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时点M坐标为． 【点睛】 本题为二次函数的综合题，考查了二次函数与一元二次方程的关系，将军饮马问题，利用二次函数性质求面积等知识，熟知将军饮马问题数学模型是解第（2）问关键，利用得到函数解析式，并熟知二次函数性质是解题关键． 26．（1）证明见祥解；（2）HC= 6+． 【分析】 （1）由BD=DC，可得∠DBC=∠DCB，由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠DCB=∠GAF，根据AC为直径， CG⊥BD，可得∠EFB=∠EBC，进而可得∠GFA∠GAF即可； （2）过D作DJ⊥BC，根据等腰三角形性质BD=DC，DJ⊥BC，BJ=CJ，根据垂径定理可得DJ过圆心O，可证OJ为△ABC的中位线，OJ=AB=，再证△DOH≌△COJ（AAS），OH=OJ=3即可． 【详解】 （1）证明：∵BD=DC， ∴∠DBC=∠DCB， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DCB+∠DAB=180°，∠GAF+∠DAB=180°， ∴∠DCB=∠GAF， ∵AC为直径， CG⊥BD， ∴∠ABC=90°，∠FEB=90° ∴∠EFB+∠EBF=∠EBF+∠EBC=90°， ∴∠EFB=∠EBC， ∴∠GFA=∠EFB=∠EBC=∠DCB=∠GAF， ∴AG=FG； （2）解：过D作DJ⊥BC， ∵BD=DC，DJ⊥BC， ∴BJ=CJ，DJ过圆心O， ∵OA=OC，AB=6， ∴OJ为△ABC的中位线， ∴OJ=AB ∵DH⊥AC，DJ⊥BC， ∴∠DHO=∠CJO=90°， ,在△DOH和△COJ中， ， △DOH≌△COJ（AAS）， ∴OH=OJ=3 ∵AH=， ∴AO=AH+HO=+3， ∴HC=HO+OC=HO+OA=3++3=6+， 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，同角的余角性质，三角形中位线性质，三角形全等判定与性质，本题综合较强，难度较大，利用辅助线画出准确图形，掌握相关知识是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $