正、余弦定理 讲义-2026届高三数学一轮复习

第九讲 正、余弦定理第 - 1 - 页 一、基础知识梳理 1、正弦定理 (1)正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 (2)正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ，，（可实现边到角的转化） ⑥ ，，（可实现角到边的转化） 正弦定理应用解三角形 (1)已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角； (2)已知三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)． 2、余弦定理 (1)余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是，则： ；； (2)余弦定理的推论 ；； 余弦定理应用解三角形 (1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； (2)已知三角形的三条边就可以求出其它角。 二、典型例题 题型一 正弦定理解三角形 例1 (1)已知分别为三个内角所对的边，若，则( ) A． B． C．或 D． (2)在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则( ) A． B． C． D． 题型二 余弦定理解三角形 例2 (1)在中，若，则 ． (2)已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为 ． (3)中，内角所对的边分别为，若，则的大小为( ) A． B． C．或 D．或 题型三 正余弦定理结合使用 例3 (1)在中，，是边上一点，，，，则的长为( ) A． B． C． D． (2)在中，，，，点D在边上靠近B点的三等分点处，则( ) A． B． C． D． 题型四 判断三角形的形状 例4 (1)已知的内角的对边分别是，且，则的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 (2)在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 (3)在中，分别为内角的对边，如果，则的形状是( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 三、课堂练习 1.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则( ) A． B．或 C． D．或 2.在中，若，，，则( ) A． B． C． D． 3.在中，内角，，的对边分别为，，.若，，且，则( ) A． B． C． D．2 4.在中，内角、、所对的边分别为，若，，则( ) A． B． C． D． 5.在中，已知，是边上一点，如图，，，，则( ) A． B． C． D． 6.在中，内角的对边分别为.若，则的形状为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 7.在中，，，，则( ) A． B． C． D． 8.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且则 sin A=( ) A． B． C． D． 9.已知的内角，，的对边分别为，，，且，则 ． 四、课后作业 1.在中，，则( ) A． B． C． D． 2.在中，已知分别为三个内角的对边，，则( ) A． B． C． D． 3.某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人( ) A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 4.如图，在直角，，，点，是边上两个三等分点，则( ) A． B． C． D． 5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则( ) A． B． C． D． 6.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为( ) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 7.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则( ) A．25 B．5 C．4 D． 8.若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则( ) A． B． C． D． 9.在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则( ) A． B． C． D．或 10.的内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为( ) A． B． C．3 D．6 11.在中，，则 ． 12.在中，、、分别为角、、的对边，若，则 ． 13.已知内角，，的对边分别为，，.已知，，，则 ． 14.在中，，，锐角C满足， ． 15.设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的周长为 ． 16.在△ABC中，若ccos B＝bcos C，cos A＝，求sin B的值. 17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的大小； (2)若sin B＋sin C＝，试判断△ABC的形状. 参考答案 1．A 【详解】由题意得，又，所以. 2．B 【详解】因为，所以,所以，所以. 3．D 【详解】设三条高的长度分别为，，所对的的三边分别为，由三角形的面积公式，可得， 不妨设，其中，则的最大角为角， 由余弦定理，可得， 又因为，所以能构成三角形， 因为为三角形的内角，所以，所以为钝角三角形. 4．B 【详解】因为，, 在中，. 5．B 【详解】根据题意可得，则，． 6．B 【详解】由余弦定理得， 化简得，故，从而的形状为钝角三角形， 7．B 【详解】已知余弦定理，因为，所以，那么. 又因为完全平方公式，可得， 将其代入中，就得到. 已知，，将其代入可得：，所以. 8．B 【详解】由正弦定理得，由于，所以为锐角， 所以. 9．D 【详解】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得，又因为，故或. 10．A 【详解】根据题意，，，即， 根据正弦定理，得，可得，则，所以， 则外接圆的半径为. 11． 【详解】在中，由余弦定理可得，， 12．或 【详解】在中，由余弦定理可得， 又，所以， 所以，解得或.经检验，，均符合题意. 13．3 【详解】由，故， 则，故. 14． 【详解】由，且为锐角，得， 由余弦定理，得，解得， 由余弦定理得. 15． 【详解】因为，，，由余弦定理，得，即， 故，解得，故的周长为. 16. 【详解】由ccos B＝bcos C，结合正弦定理，得sin Ccos B＝sin Bcos C， 故sin(B－C)＝0，∵0<B<π，0<C<π，∴－π<B－C<π，∴B－C＝0，B＝C，故b＝c. ∵cos A＝，∴由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2·＝b2，得3a2＝2b2， 再由余弦定理，得cos B＝，故sin B＝. 17.【详解】(1)∵2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，由正弦定理得，2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2， ∴cos A＝＝.∵0°<A<180°，∴A＝60°. (2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°，由sin B＋sin C＝，得sin B＋sin(120°－B)＝， ∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝，∴sin B＋cos B＝，即sin(B＋30°)＝1.又∵0°<B<120°， ∴30°<B＋30°<150°，∴B＋30°＝90°，即B＝60°，∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为正三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $