2026年广东中考数学一轮复习课件：第三章 函数

该初中数学中考复习课件聚焦一次函数核心考点，覆盖图像性质、解析式确定、与几何/方程不等式结合及实际应用，对接广东中考命题分析，梳理2021-2025年考点分布，系统归纳选择、填空、解答等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于中考真题训练与应试技巧指导，融入数学思维与模型意识，如通过2024广东真题解析一次函数与不等式关系，示范待定系数法求解析式，结合“加油卡优惠”应用题型构建函数模型，帮助学生掌握解题技巧，教师可依此制定冲刺计划，提升复习效率。

第10讲 一次函数 广东省卷近年中考数学命题分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021 一次函数的 图象和性质 题 10，3 分 一次函数的 解析式 (待定系数) 题 23(2)，1 分 题 16(2)，5 分 题 20，9 分 题 21(2)，4 分 一次函数与几何知识的结合 题 23，5 分 题 23，2 分 1.一次函数 y＝x＋1 的图象不经过( ) D D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax 和 y＝x＋a(a 为常数， a＜0)的图象可能是( ) A B C D 3.将函数 y＝2x＋1 的图象向下平移 2 个单位长度，所得图象 ) A 对应的函数表达式是( A.y＝2x－1 C.y＝4x－3 B.y＝2x＋3 D.y＝4x＋5 4.(2025 南通)已知直线 y＝kx＋b 经过第一、第二、第三象限， ) 则 k，b 的取值范围是( A.k＜0，b＜0 C.k＞0，b＜0 B.k＜0，b＞0 D.k＞0，b＞0 D 5.(2025 天津)将直线 y＝3x－1 向上平移 m 个单位长度，若平 移后的直线经过第三、第二、第一象限，则 m 的值可以是_______ ________ (写出一个即可). 不唯一) 2(答案 6.如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象经过 A(2，4)，B(0，2)两 点，与 x 轴交于点 C. (1)求 k，b 的值； (2)求△AOC 的面积. 解：(1)把 A(2，4)，B(0，2)代入 y＝kx＋b， (2)直线的解析式为 y＝x＋2， 当 y＝0 时，x＝－2，即 OC＝2， 1.一次函数与正比例函数的定义 如果 y＝kx＋b(k≠0)，那么 y 是 x 的一次函数，当 b＝0 时， 一次函数 y＝kx 也叫正比例函数.正比例函数是一次函数的特例， 具有一次函数的性质. 回练课本 1.下列函数中，__________是一次函数，_______是正比例函 数.(填序号) ①④ ① 2.一次函数与正比例函数的关系 一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是过点(0，b)且与直线 y＝kx 平行的一条直线.它可以由直线 y＝kx 平移得到.它与 x 轴的交点为 ，与 y 轴的交点为(0，b). 回练课本 2.直线 y＝－x＋3 与 x 轴的交点坐标为________，与 y 轴的交 点坐标为________，它可以看作由直线 y＝－x 向________平移 ________个单位长度而得到. (3，0) (0，3) 上 3 函数 系数取值 大致图象 经过的象限 函数性质 y＝kx (k≠0) k＞0 一、三 y 随 x 增大而 增大 k＜0 二、四 y 随 x 增大而 减小 3.一次函数的图象与性质 函数 系数取值 大致图象 经过的象限 函数性质 y＝kx＋b (k≠0) k＞0 b＞0 一、二、三 y 随 x 增大而 增大 k＞0 b＜0 一、三、四 k＜0 b＞0 一、二、四 y 随 x 增大而 减小 k＜0 b＜0 二、三、四 回练课本 3.(1)函数 y＝－5x 的图象在第________象限内，经过点(0， ________)与点(1，________)，y 随 x 的增大而________； (2)一次函数 y＝2x－2 的图象经过第___________象限，y 随 x 的增大而______； 二、四 0 －5 减小 (3)已知一次函数 y＝kx＋b 的图象如图所示，则 k_______0， b________0. 一、三、四 增大 ＜ ＜ 4.确定一次函数的解析式 用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤： (1)由题意设出函数的关系式； (2)根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与函数的对应 值列出关于待定系数的方程组； (3)解关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值； (4)将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求 出. 回练课本 4.(1)已知正比例函数的图象经过点(1，2)，则这个函数的解析 式为____________； (2)已知一次函数的图象经过点(3，0)，(0，2)，则这个函数的 解析式为____________. y＝2x 一次函数的图象和性质 1.(2025 新疆)在平面直角坐标系中，一次函数 y＝x＋1 的图象 是( ) D A B C D ) 2.关于一次函数 y＝5x－1，下列说法正确的是( A.图象经过第一、三、四象限 B.图象与 y 轴交于点(0，1) C.函数值 y 随自变量 x 的增大而减小 D.当 x＞－1 时，y＜0 A 5 3.若直线 y＝x 向上平移 3 个单位长度后经过点(2，m)，则 m 的值为________. 求一次函数的解析式 4.如图，过点 A(－4，2)的直线 l 交 y 轴于点 B，将点 A 先向 右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到点 C，点 C 恰好也在直线 l 上.求直线 l 的解析式及点 B 的坐标. 解：∵将点 A(－4，2)先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到点 C，∴C(－2，－1)， 设直线 l 的解析式为 y＝kx＋b，∵直线 l 过点 A，C， 令 x＝0，则 y＝－4，∴B(0，－4). 5.如图，已知直线 l：y＝kx＋b 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两 点，且 OA＝2OB＝8，x 轴上一点 C 的坐标为(6，0)，P 是直线 l 上一点. (1)求直线 l 的函数解析式； (2)连接 OP 和 CP，当点 P 的横坐标为 2 时，△COP 的面积 为________. 解：(1)∵OA＝2OB＝8，∴A(8，0)，B(0，4)， ∵y＝kx＋b 的图象过点 A，B， (2)9 用待定系数法求解一次函数解析式，可先通过平行关系或垂 直关系求出 k 的值. 一次函数与方程(组)、不等式的关系 6.(2025 北京模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝ kx＋b(k≠0)的图象由函数 y＝x 的图象平移得到，且经过点(1，2). (1)求这个一次函数的解析式； (2)当 x＜1 时，对于 x 的每一个值，函数 y＝mx(m≠0)的值小 于一次函数 y＝kx＋b 的值，直接写出 m 的取值范围. 解：(1)∵一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象由直线 y＝x 平移得 到，∴k＝1， 将点(1，2)代入 y＝x＋b， 得 1＋b＝2，解得 b＝1， ∴一次函数的解析式为 y＝x＋1. (2)把点(1，2)代入 y＝mx，求得 m＝2， ∵当 x＜1 时，对于 x 的每一个值，函数 y＝mx(m≠0)的值小 于一次函数 y＝x＋1 的值， ∴1≤m≤2. 7.已知一次函数 y＝ax＋2 的图象与 x 轴的交点坐标为(3，0)， 则一元一次方程 ax＋2＝0 的解为( ) A A.x＝3 B.x＝0 C.x＝2 D.x＝a 8.(2025 宁夏)如图，直线 l1：y＝k1x＋b1 与直线 l2：y＝k2x＋b2 9.如图，正比例函数 y＝－3x 与一次函数 y＝kx＋4 的图象交 于点 P(a，3)，则不等式 kx＋4＞－3x 的解集为( ) B A.x＜－1 B.x＞－1 C.x＞－2 D.x＞0 一次函数的应用 10.(跨学科融合) “中国石化”推出促销活动，一张加油卡的 面值是 1 000 元，打九折出售.使用这张加油卡加油，每升油的单 价降低 0.3 元.假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完. (1)打折后实际花了________元钱购买加油卡. (2)降价后每升油的单价为 y 元/升，原价为 x 元/升，求 y 关于 x 的函数解析式(不用写出 x 的范围). (3)若油的原价是 7.3 元/升，优惠后油的单价比原价便宜多少 元？ 解：(1)900 (2)由题意知 y＝0.9(x－0.3)＝0.9x－0.27， ∴y 关于 x 的函数解析式为 y＝0.9x－0.27. (3)当 x＝7.3 时，y＝0.9×7.3－0.27＝6.3， ∵7.3－6.3＝1， ∴优惠后油的单价比原价便宜 1 元. 11.(2025 宿迁)甲、乙两人从同一地点 M 出发沿同一路线匀速 步行前往 N 处参加活动.甲比乙早出发 6 min，两人途中均未休息， 先到达 N 处的人在原地休息等待，直到另一人到达 N 处.两人之间 的路程 y(单位：m)与甲行走的时间 t(单位：min)的函数图象如图 所示. (1)乙步行的速度为______m/min，MN 之 间的路程为______m. (2)当 18≤t≤50 时，求 y 关于 t 的函数表 达式. (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为 450 m？ 解：(1)90 3 960 (2)由题图可知，点 C 的纵坐标为 3 960－60×50＝960， ∴C(50，960)， 当 18≤t≤50 时，设 y＝kt＋b，将 B(18，0)，C(50，960)代入， ∴y＝30t－540(18≤t≤50). (3)当 18≤t≤50 时，令 y＝30t－540＝450， 即 30t＝990，解得 t＝33； 当 t＞50 时，60t＝3 960－450， 即 60t＝3 510，解得 t＝58.5. 综上，当甲出发 33 min 或 58.5 min 时，两人之间的路程为 450 m. 12.(2024 广东)已知不等式 kx＋b＜0 的解集是 x＜2，则一次函 数 y＝kx＋b 的图象大致是( ) B A B C D 13.(2020 广州)一次函数 y ＝－3x ＋1 的图象过点(x1 ，y1) ， ) (x1＋1，y2)，(x1＋2，y3)，则( A.y1＜y2＜y3 C.y2＜y1＜y3 B.y3＜y2＜y1 D.y3＜y1＜y2 B 14.(2025 广东)在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定 功率运行，其电池剩余的能量 y(单位：W·h)与 骑行里程 x(单位：km)之间的关系如图.当电池 剩余能量小于 100 W·h 时，摩托车将自动报警. 根据图象，下列结论正确的是( ) C A.电池能量最多可充 400 W·h B.摩托车每行驶 10 km 消耗能量 300 W·h C.一次性充满电后，摩托车最多行驶 25 km D.摩托车充满电后，行驶 18 km 将自动报警 $第11讲 反比例函数 广东省卷近年中考数学命题分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021 反比例函数的 图象和性质 题 9，3 分 题 21 求反比例函数的 解析式 反比例函数与 一次函数的交点 题 21(1)， 4 分 反比例函数与 几何知识的结合 题 23，6 分 题 23，14 分 反比例函数的实际应用 题 13，3 分 的图象上，则 k＝( A.1 ) B.2 C.3 D.4 常数，且 k＞0，则点 M 一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B A 3.(2025 徐州)若点 A(6，y1)，B(5，y2)都在函数 y＝ －2 x 的图象 上，则 y1______y2.(填“＞”“＝”或“＜”) ＞ B 4.已知蓄电池两端电压 U 为定值，电流 I 与 R 成反比例函数 关系.当 I＝4 A 时，R＝10 Ω，则当 I＝5 A 时，R 的值为( ) A.6 Ω B.8 Ω C.10 Ω D.12 Ω 5.在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx＋1 和反比例函 (1)求一次函数的解析式； 1.反比例函数的定义 k≠0)的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数. 回练课本 1.下列式子表示 y 是 x 的反比例函数的是________(填序号). ①③ 2.反比例函数的图象和性质 于坐标原点成中心对称，两个分支在第一、三象限或第二、四象 限. 函数 图象 所在象限 性质 (k≠0，k 为常数) k＞0 一、三象限 (x，y同号) 在每个象限内，y随x增大而减小 k＜0 二、四象限 (x，y异号) 在每个象限内，y随x增大而增大 回练课本 2.(1)下列函数中，其图象位于第一、三象限的有___________ (填序号)； 在其图象所在象限内，y 的值随 x 的增大而增大的有________ (填序号)； ①②③ ④ y1<y2 3.反比例函数的解析式的确定 求反比例函数的解析式跟求一次函数的解析式一样，也是待 定系数法. 回练课本 的解析式为____________. y＝－ 6 x 1.关于反比例函数 y＝ ，下列结论正确的是( 反比例函数的图象和性质 ) A.图象位于第二、四象限 B.图象与坐标轴有公共点 C.图象所在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 D.图象经过点(a，a＋2)，则 a＝1 C 2(答案不唯一) 确定反比例函数的解析式 3 (1)求反比例函数的解析式； (2)求△ABC 的面积. 解：(1)∵点 B 是直线与反比例函数的交点， ∴点 B 的坐标满足一次函数解析式. 频率 f/MHz 10 15 50 波长λ/m 30 20 6 反比例函数的应用 5.(跨学科融合)笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电 磁波的波长λ(单位：m)会随着电磁波的频率 f(单位：MHz)的变化 而变化.已知波长λ与频率 f 是反比例函数关系，下表是它们的部分 对应值. (1)求波长λ关于频率 f 的函数解析式； (2)当 f＝75 MHz 时，求此电磁波的波长λ. 反比例函数与一次函数、几何图形的综合运用 6.(2025 常州)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝ －2)，且与 y 轴交于点 C. (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接 OA，求△OAC 的面积. (1)求直线 AB 和反比例函数的表达式； (2)求△ABC 的面积. (2)由一次函数表达式可知 C(0，4)，B(8，0)，A(2，3)，设点 P(0，x)， 解得 x＝－2，∴点 P 的坐标为(0，－2). 函数综合问题常与面积相结合进行考查，解决此类问题需根 据函数解析式设出点的坐标，再根据面积公式对点的坐标进一步 求解. D 10.(2023 广州)已知正比例函数 y1＝ax 的图象经过点(1，－1)， ) ax＋b 的图象一定不经过( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 C 11.(2023 广东)某蓄电池的电压为 48 V，使用此蓄电池时，电 时，I 的值为________A. 4 $第三章 函 数 第9讲 平面直角坐标系和函数的概念 广东省卷近年中考数学命题分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021 点的坐标特征 题 6，3 分 函数概念 题 10，3 分 函数图象的实 际应用 题 8，3 分 2022 新课标 重要变化 ①结合实例，(删除)了解函数的概念和三种(删除)表示 法，能举出函数的实例. ②理解函数值的意义.(新增) 1.(2025 成都)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(－2，a2＋1)所 ) B 在的象限是( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 2.如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐 标系，已知“車”所在位置的坐标为(－2，2)，则“炮”所在位置 的坐标为( ) A A.(3，1) B.(1，3) C.(4，1) D.(3，2) 3.在平面直角坐标系中，若点 P 的坐标为(2，1)，则点 P 关于 y 轴对称的点的坐标为( ) C (2，2) A A.(－2，－1) B.(2，－1) C.(－2，1) D.(2，1) 4.在平面直角坐标系中，点(－1，2)向右平移 3 个单位长度得 到的点的坐标是________. 5.(2025 内江)在函数 y＝中，自变量 x 的取值范围是( ) A.x≥2 B.x≤2 C.x＞2 D.x＜2 6.(跨学科融合)如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水 槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高 度，则下列能反映弹簧测力计的读数 y(单位：N)与铁块被提起的 时间 x(单位：s)之间的函数关系的大致图象是( ) A A B C D 1.平面直角坐标系 一一对应 (1)对应关系：坐标平面内的点与有序实数对是__________的. (2)坐标轴上的点：x 轴、y 轴上的点不属于任何象限. 回练课本 1.写出图中点 A，B，C，D，E，F 的坐标. A(－2，－2) C(5，－4) E(2，5) B(－5，4) D(0，－3) F(－3，0) 2.点的坐标特征 (－x，－y) (1)各象限内点的坐标特征：①点 P(x，y)在第一象限，即 x>0， y>0；②点 P(x，y)在第二象限，即___________；③点 P(x，y)在第 三象限，即 x<0，y<0；④点 P(x，y)在第四象限，即___________. (2)坐标轴上点的特征：①x 轴上点的纵坐标为 0；②y 轴上点 的横坐标为______；③原点的坐标为________. (3)对称点的坐标特征：①点 P(x，y)关于 x 轴的对称点为 P1(x， －y)；②点 P(x，y)关于 y 轴的对称点为 P2___________； ③点 P(x，y)关于原点的对称点为 P3____________. x＜0，y＞0 x＞0，y＜0 0 (0，0) (－x，y) (x－a，y) (x，y－b) |x| (4)点的平移特征：已知点 P(x，y)，①向右平移 a 个单位长度 得点 P1(x＋a，y)；②向左平移 a 个单位长度得点 P2___________； ③向上平移 b 个单位长度得点 P3(x，y＋b)；④向下平移 b 个单位 长度得点 P4__________. (5)点到坐标轴的距离：①点 P(x，y)到 x 轴的距离为|y|；②点 P(x，y)到 y 轴的距离为_______；③点 M1(x1，0)，M2(x2，0)之间 的距离为|x1－x2|；④点 M1(0，y1)，M2(0，y2)之间的距离为|y1－y2|. 回练课本 2.(1)点(－2，3)所在的象限是第________象限；点(0，－4)是 ________上的点； 二 y 轴 (4，－5) (2)点(4，5)关于 x 轴对称的点的坐标为__________，关于 y 轴对称的点的坐标为__________ ，关于原点对称的点的坐标为 __________； (－4，5) (－4，－5) (1，1) (3)将点(3，－2)向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位 长度，得到的点的坐标为________； (4)在平面直角坐标系中，点 A(－2，3)到 x 轴的距离为______， 到 y 轴的距离为________. 3 2 3.函数的有关概念 (1)变量与常量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的 量为变量，数值始终不变的量为常量. (2)函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变 量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与 其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. (3)表示方法：解析式法、列表法、图象法. (4)自变量的取值范围：考虑问题的实际意义和使解析式有 意义. 全体实数 分母不为 0 的实数 ①解析式是整式时，自变量的取值范围是________________； ②解析式是分式时，自变量的取值范围是________________； ③解析式是二次根式时，自变量的取值范围是_____________ _________________. 大于等于 0 的实数 (5)函数值：对于一个函数，如果当 x＝a 时，y＝b，那么 b 叫 做当自变量的值为 a 时的函数值. 使被开方数 中自变量 x 的取值范围是__________； 回练课本 3.(1)函数 y＝x＋1 中自变量 x 的取值范围是____________； 函数 y＝ 1 x＋1 函数 y＝ 中自变量 x 的取值范围是__________； (2) 用解析式表示等边三角形的周长 l 关于边长 a 的函数为 ____________； 全体实数 x≠－1 x≥1 l＝3a (3)写出当 x＝5 时对应的函数值： ①y＝3x－5：________； 10 2 4.函数的图象 (1)函数图象的概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量 与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内 由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. (2)画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线. 回练课本 4.画出函数 y＝0.5x 的图象. 平面直角坐标系内点的特征 1.在平面直角坐标系中，点 P(－1，m2＋1)位于( ) B 1 A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 2.已知 a 为正整数，点 P(4，2－a)在第一象限中，则 a＝____. 坐标的对称点及点的变化规律 3.(2025 青海一模)某中学的圆形花园中间有两条互相垂直的 小路，在 A，B 两处栽种了两棵小树，且两棵小树关于小路对称. 在如图所示的平面直角坐标系内，若点 B 的坐标为(6，3)，则点 A 的坐标为( ) D A.(3，6) B.(3，－6) C.(－6，－3) D.(－6，3) 4.在平面直角坐标系中，将点(m，n)先向右平移 2 个单位长度， ) D 再向上平移 1 个单位长度，最后所得点的坐标是( A.(m－2，n－1) B.(m－2，n＋1) C.(m＋2，n－1) D.(m＋2，n＋1) 5.如图，在平面直角坐标系中，△ABO 的三个顶点坐标分别 为 A(6，3)，B(6，0)，O(0，0)，若将△ABO向左平移 3 个单位长 度得到△CDE，则点 A 的对应点 C 的坐标是________. (3，3) 6.(2025 云南)函数 y＝ 函数自变量的取值范围 1 x－1 的自变量 x 的取值范围为( ) A.x≠4 B.x≠3 C.x≠2 D.x≠1 判断函数的取值范围要求函数的各个部分都有意义，故应取 所有部分取值范围的公共部分. D x≥－2且x≠1 函数图象的实际应用 8.一条小船沿直线从 A 码头向 B 码头匀速前进，到达 B 码头 后，停留一段时间，然后原路匀速返回 A 码头，在整个过程中， 这条小船与 B 码头的距离 S(单位：m)与所用时间 t(单位：min)之 间的关系如图所示，则这条小船从 A 码头到 B 码头的速度和从 B ) D 码头返回 A 码头的速度分别为( A.15 m/min，25 m/min B.25 m/min，15 m/min C.25 m/min，30 m/min D.30 m/min，25 m/min 9.(跨学科融合)如图，取一根长 100 cm 的匀质木杆，用细绳 绑在木杆的中点 O 并将其吊起来，在中点 O 的左侧距离中点 25 cm(L1＝25 cm)处挂一个重 9.8 N(F1＝9.8 N)的物体，在中点 O 的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中 点 O 的距离 L(单位：cm)及弹簧秤的示数 F(单位：N)满足 FL＝ F1L1，以 L 的数值为横坐标，F 的数值为纵坐标建立直角坐标系. 则 F 关于 L 的函数图象大致是( ) A B C D 答案：B 10.(2025 成都)小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时 间后又跑步到书店买书，然后步行回家(小明家、书店、体育馆依 次在同一直线上)，如图表示的是小明离家的距离与时间的关系. 下列说法正确的是( ) C A.小明家到体育馆的距离为 2 km B.小明在体育馆锻炼的时间为 45 min C.小明家到书店的距离为 1 km D.小明从书店到家步行的时间为 40 min 11.向高为 10 的容器(形状如图)中注水，注满为止，则水深 h 与注水量 v 的函数关系的大致图象是( ) D A B C D 12.(2016 广东)在平面直角坐标系中，点 P(－2，－3)所在的象 限是( ) C D A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 13.(2020 广东)在平面直角坐标系中，点(3，2)关于 x 轴对称的 点的坐标为( ) A.(－3，2) B.(－2，3) C.(2，－3) D.(3，－2) 14.(2022 广东)在平面直角坐标系中，将点(1，1)向右平移 2 个单位长度后，得到的点的坐标是( ) A C A.(3，1) B.(－1，1) C.(1，3) D.(1，－1) 15.(2022 广东)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为 r， 则圆周长 C 与 r 的关系式为 C＝2πr.下列判断正确的是( ) A.2 是变量 C.r 是变量 B.π是变量 D.C 是常量 运算能力特训——计算能力 16.在平面直角坐标系中，已知点 M(2－m，1＋2m). (1)若点 M 在 y 轴上，求点 M 的坐标； (2)若点 M 在第二、四象限的角平分线上，求点 M 的坐标. 解：(1)由题意得 2－m＝0，∴m＝2， ∴1＋2m＝1＋4＝5，∴M(0，5). (2)∵点 M 在第二、四象限的角平分线上， ∴2－m＋1＋2m＝0，∴m＝－3， ∴2－m＝2－(－3)＝5，1＋2m＝1＋2×(－3)＝－5， ∴M(5，－5). (1)已知 A(－2，3)，B(4，－5)，求 A，B 两点间的距离； (2)若一个三角形各顶点的坐标为 A(－1，3)，B(0，1)，C(2， 2)，请判断此三角形的形状，并说明理由. $第12讲 二次函数 广东省卷近年中考数学命题分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021 二次函数的 图象和性质 题 8，3 分 题 10，题 23(3) 题 10，题 12， 题 22，题 25 二次函数图象 的平移 题 12，4 分 二次函数的 解析式 (待定系数) 题 15，3 分 题 23(3)，2 分 题 23(1)，4 分 命题点 2025 2024 2023 2022 2021 二次函数图象的顶点坐标、对称轴 题 10，1 分 题 23(2)，2 分 二次函数与一元二次方程、不等式 (二次函数图象与x轴的交点坐标) 题 15，3 分 题 25(1)，5 分 二次函数的 最值 题 23(2)，6 分 题 10，3 分 题 22(2)，4 分 2022新课标 重要变化 ①能用描点法(删除)画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质. ②知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系.(新增) ③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题.(新增) ④知道二次函数和一元二次方程之间的关系.(新增) ⑤*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.(删除) B 1.二次函数 y＝－(x＋1)2＋2 图象的顶点所在的象限是( ) A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 2.如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为 x＝－2，下 列结论正确的是( ) C ＜ A.a＜0 B.c＞0 C.当 x＜－2 时，y 随 x 的增大而减小 D.当 x＞－2 时，y 随 x 的增大而减小 3.已知点 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)在抛物线 y＝x2 －3 上，且 0＜ x1＜x2，则 y1________y2.(填“＜”“＞”或“＝”) 4.将抛物线 y＝x2 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个 单位长度，得到的抛物线的表达式是( ) A.y＝(x－3)2＋4 C.y＝(x－3)2－4 B.y＝(x＋3)2＋4 D.y＝(x＋3)2－4 5.已知抛物线 y＝ax2＋2x(a≠0)的图象经过点 A(1，3)，则该 抛物线的解析式为____________. A y＝x2＋2x 6.已知抛物线 y＝x2－6x＋m 与 x 轴有且只有一个交点，则 m＝ ________. 9 7.(2025 徐州)二次函数 y＝x2＋x＋1 的最小值为________. 8 1.二次函数的定义 y＝ax2＋bx＋c 形如__________________(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫 做 x 的二次函数. 回练课本 1.若关于 x 的函数 y＝(a－2)x2－x 是二次函数，则 a 的取值范 围是________. a≠2 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 图象 a＞0 a＜0 2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质 回练课本 2.(1)已知函数 y＝2(x＋1)2＋1. 上 直线 x＝－1 ①抛物线的开口向________； ②抛物线的对称轴为______________； ③抛物线的顶点坐标为________； (－1，1) －1 ④当 x＝________时，函数有最______值，最值为_______； ⑤当 x________时，y 随 x 的增大而增大； ⑥当 x________时，y 随 x 的增大而减小. 小 1 ＞－1 ＜－1 (2)已知函数 y＝－2x2＋x－4. ①抛物线的开口向________； ②抛物线的对称轴为__________； ③当 x________时，y 随 x 的增大而增大； ④当 x________时，y 随 x 的增大而减小. 下 3.抛物线 y＝a(x－h)2＋k 与 y＝ax2 的关系 (1)二者的形状相同，位置不同，y＝a(x－h)2＋k 是由 y＝ax2 通过平移得来的，平移后的顶点坐标为________. (2)y ＝ax2 的图象 的图象 y ＝a(x －h)2 y＝a(x－h)2＋k 的图象. (h，k) 右 左 上 下 回练课本 3.已知二次函数 y＝2x2. (1) 把它的图象向左平移 1 个单位长度，就得到抛物线 y ＝ ______________； 2(x＋1)2 2x2－1 2(x－1)2＋3 (2) 把它的图象向下平移 1 个单位长度，就得到抛物线 y ＝ ______________； (3)把它的图象先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单 位长度，就得到抛物线 y＝_________________. 4.二次函数的解析式的确定 要确定二次函数的解析式，就是要确定解析式中的待定系数 (常数)： (1)当已知抛物线上一点或两点时，通常将函数的解析式设为 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(通常 a，b，c 中有一至两个是已知 的)； (2)当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函 数的解析式设为顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0). 回练课本 4.(1)已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)，(－1，－3)， 则这个二次函数的解析式为______________； (2)已知二次函数图象的顶点坐标是(－1，1)，且经过点(1， －3)，则这个二次函数的解析式为__________________. y＝2x2－5 y＝－(x＋1)2＋1 Δ＝b2－4ac ax2＋bx＋c＝0的根 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点 Δ＞0 两个不相等的实数根 两个交点 Δ＝0 ____________________ __________ Δ＜0 ____________________ __________ 5.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的交点有三种情况：有 两个交点、有一个交点、没有交点.当图象与 x 轴有交点时，令 y ＝0，解方程 ax2＋bx＋c＝0 就可求出图象与 x 轴交点的横坐标. 无实数根 两个相等的实数根 一个交点 无交点 回练课本 5.(1)二次函数 y＝x2＋x－2 的图象与 x 轴有______个公共点； (2)二次函数 y＝x2－6x＋9 的图象与 x 轴有______个公共点； (3)二次函数 y＝x2－4x 的图象与 x 轴的交点坐标为_________ 和__________. 两 一 (0，0) (4，0) 6.二次函数与不等式的关系 x＞x2 或 x＜x1 x1＜x＜x2 设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴交于(x1，0)，(x2，0)两点， 其中 x1＜x2，则不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为_______________， 不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集为______________. 回练课本 6.已知函数 y＝x2－2x－3. x1＝3，x2＝－1 (1)方程 x2－2x－3＝0 的解是__________________； (2)当 x 满足________________时，函数值大于 0； (3)当 x 满足________________时，函数值小于 0. x＞3 或 x＜－1 －1＜x＜3 二次函数的图象和性质 1.(2025 陕西)在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2－2ax＋ a－3(a≠0)的图象与 x 轴有两个交点，且这两个交点分别位于 y 轴 ) D 两侧，则下列关于该函数的结论正确的是( A.图象的开口向下 B.当 x＞0 时，y 的值随 x 值的增大而增大 C.函数的最小值小于－3 D.当 x＝2 时，y＜0 2.已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点 P(a，b) ) D 所在的象限是( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 二次函数图象的平移 3.在平面直角坐标系中，将二次函数 y＝(x＋1)2＋3 的图象先 向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，所得抛物线 ) 对应的函数表达式为( A.y＝(x＋3)2＋2 C.y＝(x－1)2＋4 B.y＝(x－1)2＋2 D.y＝(x＋3)2＋4 B 二次函数的解析式 4.如图，已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象经过点 A(1，－2) 和 B(0，－5). (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当 y≤－2 时，请根据图象直接写出 x 的取值范围. 解：(1)把 A(1，－2)和 B(0，－5)代入 y＝x2＋bx＋c， ∴二次函数的表达式为 y＝x2＋2x－5. ∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6，∴顶点坐标为(－1，－6). (2)∵点 A(1，－2)关于对称轴 x＝－1 的对称点为(－3，－2)， ∴当 y≤－2 时，x 的取值范围是－3≤x≤1. 求解二次函数的解析式，若已知图象的顶点坐标，可采用顶 点式；若已知图象与 x 轴的交点坐标，可采用交点式；若已知任 意三点坐标，可采用一般式. 5.(2025 甘肃一模)在平面直角坐标系中，点(1，m)和(3，n)都 在二次函数 y＝ax2＋bx(a≠0，a，b 是常数)的图象上. (1)若 m＝n＝－6，求该二次函数的解析式； (2)若 a＝－1，b＝2，直接写出该抛物线的对称轴. 解：(1)由题意，得 a＋b＝m，9a＋3b＝n. 又∵m＝n＝－6，解得 a＝2，b＝－8， ∴二次函数的解析式为 y＝2x2－8x. (2)对称轴是直线 x＝1. 二次函数与一元二次方程、不等式的关系(抛物线与 x 轴的交点) －2＜x＜3 x＝3 x1＝－2，x2＝3 6.如图，在平面直角坐标系中，直线 y1＝mx＋n 与抛物线 y2 ＝ax2＋bx－3 相交于点 A(－2，5)，B(3，0)，则 y1＞y2 的解集为 _________，方程 ax2＋bx－3＝0 的正数解为_______，方程 ax2＋ bx－3＝mx＋n 的解为______________. 7.(2025 浙江三模)在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝ x2＋bx＋c(b，c 为常数)图象的对称轴为直线 x＝2，且过点(0，1). (1)求该二次函数的表达式； (2)若将该函数图象向上平移 m 个单位长度后，所得图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值. 解：(1)∵对称轴为直线 x＝2， ∵二次函数的图象经过点(0，1)，∴c＝1， ∴二次函数的表达式为 y＝x2－4x＋1. (2)设平移后的二次函数表达式为 y＝x2－4x＋1＋m， ∵平移后的图象与 x 轴只有一个交点， ∴Δ＝b2－4ac＝16－4(1＋m)＝0， 解得 m＝3. 求二次函数的最值 8.(2025 黑龙江模拟)二次函数 y ＝－x2 ＋2x －1 的最大值为 ________. 0 9.已知二次函数 y＝－x2＋bx＋c. (1) 当 b ＝4 ，c ＝3 时，①求该函数图象的顶点坐标；②当 －1≤x≤3 时，求 y 的取值范围. (2)若当 x≤0 时，y 的最大值为 2；当 x＞0 时，y 的最大值为 3，则二次函数的表达式为______________. 解：(1)①∵b＝4，c＝3， ∴y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7， ∴顶点坐标为(2，7). ②∵－1≤x≤3 且顶点坐标为(2，7)， ∴当 x＝2 时，y 有最大值 7， ∵2－(－1)＞3－2， ∴当 x＝－1 时，y 有最小值为－(－1)2＋4×(－1)＋3＝－2， ∴当－1≤x≤3 时，y的取值范围为－2≤y≤7. (2)y＝－x2＋2x＋2 10.(2025 广东)已知二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象经过点(c， 0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____________ ______________. (写出一个即可) 11.(2024 广东)若点(0 ，y1) ，(1 ，y2) ，(2 ，y3) 都在二次函数 ) A y＝x2 的图象上，则( A.y3＞y2＞y1 C.y1＞y3＞y2 B.y2＞y1＞y3 D.y3＞y1＞y2 (答案不唯一) y＝－x2＋1 12.(2024广东)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是 x＝1， 有下列结论：①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a＋c＜0；④5a＋b＋ 2c＞0.其中正确的有( ) B A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 当( )时，y1，y2 均随着 x 的增大而减小. A.x＜－1 C.0＜x＜2 B.－1＜x＜0 D.x＞1 D $第13讲 二次函数的综合运用 广东省卷近年中考数学命题分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021 二次函数的 综合运用 题 18， 7 分 题 20， 9 分 题 10，3 分 题 23(3)，5 分 题 23， 12 分 题 25， 10 分 1.如图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时， 拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 3 m，水面宽 6 m.如图(2)所示，建立 平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( 图(1) ) 图(2) A 2.(2025 连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线 y＝ a(x－3)2＋2.5 运行，其中 x 是铅球离初始位置的水平距离，y 是铅 球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度 OA 为 1.6 m，则铅球 掷出的水平距离 OB 为________m. 8 3.如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴相交于点 A(1，0)，点 B(3，0)，与 y 轴相交于点 C，点 D 在抛物线上，当 CD∥x 轴时， CD＝________. 4 4.(跨学科融合)为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队 在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余 质量 y(单位：g)随时间 x(单位：min)变化的数据(0≤x≤20)，并分 别绘制在平面直角坐标系中，如图. 选择适当的函数模型分别模拟两种场景下 y 随 x 变化的函数关系， 并求出相应的函数表达式； (2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为 3 g.在 上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？ 解：(1)场景 A：y＝－0.04x2＋bx＋c， 场景 B：y＝ax＋21(a≠0). 把(10，16)，(20，3)代入 y＝－0.04x2＋bx＋c，得 ∴场景 A 的函数表达式为 y＝－0.04x2－0.1x＋21. 把(5，16)代入 y＝ax＋21，得 5a＋21＝16，解得 a＝－1， ∴场景 B 的函数表达式为 y＝－x＋21. (2)当 y＝3 时，场景 A 中，x＝20； 场景 B 中，3＝－x＋21，解得 x＝18. 20>18. 答：该化学试剂在场景 A 下发挥作用的时间更长. 二次函数的应用 1.如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边 AD是墙，且 AD 的长不能超过 26 m，其余的三边 AB，BC，CD 用篱笆，且这三边 的总长为 40 m，有下列结论：①AB 的长可以为 6 m；②AB 的长 有两个不同的值满足菜园 ABCD 的面积为 192 m2；③菜园 ABCD 面积的最大值为 200 m2.其中正确结论的个数是( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2025 大庆)为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博 物馆新推出 A，B 两种文创纪念品.已知 2 个 A 纪念品和 3 个 B 纪念 品的成本和是 155 元；4 个 A 纪念品和 1 个 B 纪念品的成本和是 135 元.一套纪念品由一个 A 纪念品和一个 B 纪念品组成.规定：每套纪 念品的售价不低于 65 元且不高于 72 元(每套售价为整数).如果每套 纪念品的售价为 72 元，那么每天可销售 80 套.经调查发现，每套纪 念品的售价每降价 1 元，其销售量相应增加 10 套.设每天的利润为 W(单位：元)，每套纪念品的售价为 a 元(65≤a≤72 且 a 为整数). (1)分别求出每个 A 纪念品和每个 B 纪念品的成本； (2)求当 a 为何值时，每天的利润 W 最大. 解：(1)由题意，设每个 A 纪念品的成本为 x 元，每个 B 纪念 品的成本为 y 元， 答：每个 A 纪念品的成本为 25 元，每个 B 纪念品的成本为 35 元. (2)由题意，得每套纪念品的成本为 25＋35＝60(元)，售价为 a 元， ∴每套纪念品的利润为 (a－60)元. ∵每套售价为 72 元时每天销量 80 套，每降价 1 元销量增加 10 套， ∴每天的销量为 80＋10(72－a)＝(800－10a)套. ∴每天的利润 W＝(a－60)(800－10a) ＝－10a2＋1 400a－48 000＝－10(a－70)2＋1 000. ∵－10<0，∴w 随 a 的增大而先增大再减小， ∵65≤a≤72 且 a 为整数， ∴当 a＝70 时，每天的利润 W 最大. 与二次函数相关的综合题 3.抛物线 y＝x2＋bx＋c 与 x 轴相交于 A(－1，0)，B 两点，与 y 轴相交于点 C(0，－3). (1)求 b，c 的值； (2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC 的面积与△ABC 的面 积相等，求直线 AP 的解析式. 解：(1)由点 C 的坐标知 c＝－3， 则抛物线的解析式为 y＝x2＋bx－3， 将点 A 的坐标代入上式得 0＝1－b－3，解得 b＝－2. (2)由(1)得抛物线的解析式为 y＝x2－2x－3. 令 y＝0，则 x2－2x－3＝0，得 x1＝－1，x2＝3. ∴B 点的坐标为(3，0).∵S△PBC＝S△ABC，∴AP∥BC. ∵B(3，0)，C(0，－3)，∴直线 BC 的解析式为 y＝x－3， ∵AP∥BC，∴可设直线 AP 的解析式为 y＝x＋m. ∵A(－1，0)在直线 AP 上，∴0＝－1＋m. ∴m＝1.∴直线 AP 的解析式为 y＝x＋1. 4.(跨学科融合)一名运动员在 10 m 高的跳台进行跳水，身体 (看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面 OB 的 高度 y(单位：m)与离起跳点 A 的水平距离 x(单位：m)之间的函数 关系如图所示，运动员离起跳点 A 的水平距离为 1 m 时达到最高 点，当运动员离起跳点 A 的水平距离为 3 m时离水面的距离为 7 m. (1)y 关于 x 的函数解析式为____________； (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离 OB 的长. 5.(2025 广东)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长 1.7 km，主 塔高 0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度 0.178 5 km，主缆最 低处距离桥面 0.001 5 km，桥面距离海平面约 0.09 km.请在示意图 中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式. 解：如图，建立平面直角坐标系， 即 A(0.85，0.18)， 6.(2023 广东)如图，抛物线 y＝ax2＋c 经过正方形 OABC 的三 个顶点 A，B，C，点 B 在 y 轴上，则 ac 的值为( ) B A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 7.(2024 广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工 程”，2023 年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销 欧美.某果商以每吨 2 万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按 每吨 5 万元出售，平均每天可售出 100 吨.市场调查反映：如果每 吨降价 1 万元，每天销售量相应增加 50 吨.该果商如何定价才能使 每天的利润或销售收入最大？并求出其最大值.(题中“元”为人 民币单位) 解：设该果商按每吨 x 万元定价，每天的利润为 w 万元，每 天的销售收入为 y 万元， w＝(x－2)[100＋50(5－x)]＝－50(x－4.5)2＋312.5， y＝x[100＋50(5－x)]＝－50(x－3.5)2＋612.5， ∵－50＜0，∴w 和 y 随 x 的增大先增大再减小. ∴当 x＝4.5 时，w 有最大值，最大值为 312.5 万元. ∴当 x＝3.5 时，y 有最大值，最大值为 612.5 万元. 答：该果商定价为每吨 4.5 万元时，才能使每天的利润最大， 其最大值为 312.5 万元；该果商定价为每吨 3.5 万元时，才能使每 天的销售收入最大，其最大值为 612.5 万元. $