广东省河源市多校2026届高三上学期10月联考数学试卷

河源市多校2026届高三上学期10月联考 数学试卷 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分) 1.已知奥合4-ez写兰之0,8-p>分引则4机6的子突个氢) A.2 B.4 C.8 D.16 2.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形,它在很多特殊领域发 挥了超常的贡献值“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心,以其边长为半径 作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形(如图所示).现以边长为4的正三角形作一 个“莱洛三角形”,则此“莱洛三角形”的面积为() A.8 -8√5 B.8 -12V5 C.16 -85 D.16 -4v3 3.已知m,n为两条直线,a,B为两个平面,则下列结论中正确的是() A.若m/,nca,则mln B.若m1La,m⊥B,则a⊥B C.若m/a,m⊥B,则a⊥B D.若mc,a⊥B,则m⊥B 4.下列各组中的函数f(x)与gx)是同一个函数的是() A.f(x)=x2.g(x)=( B.f(x)=Vx2,g(x)=x cf到=+1g=x41 D.f(x)=(.g(x)=x ana+)=5 3sina-cosa 5.若 4 则sina+3cosa的值为() 1 3 3 A.11 B.11 C.11 D.7 6.过抛物线C:y=4x焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过点A作C的切线l,交x 轴于点M,过点B作直线1的平行线交x轴于点N,则FM+4FV的最小值是() A.12 B.10 C.9 D.8 7.已知f'(x)为函数fx)的导函数,当x>0时,f()-f'(x)>0恒成立,则下列不等 式一定成立的是() >得。r[4 e-r r 8.如图,在直三棱柱ABC-4B,C中,D为侧棱CC的中点: AC:A4:AB:BC=2:2:IV5,则异面直线A,B与AD所成角的余弦值为() D A…1 B √2i 3 2 A.5 B.5 C.2 D.5 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分) 9.已知a>0,b>0,且2a+b=1,则() 1,2 Aab有最大值g a+b有最小值8 B.-+ C.2a(b+1)有最大值1 D.4a2+b2有最小值2 10.已知函数f(x=sin2x+V3cos2x,则() Af(x在区间22 单调递减 7 B.f(:的图象关于直线x=2对称 C.当x∈0,5 时,fx的值域为5,2] D.的图象可由g=2sn2x的图象向左平移骨个单位长度得到 11.关于函数f=sinx2 x,下列说法正确的是() A.f(x是奇函数 Bf(x在x=0处的切线方程为y=- C树在0,可上的最小值为月 D1时在区间行2a 上单调递增 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12. 已知直线y=ax+2与三次曲线y=x-ax有三个不同交点,则实数a的取值范围 为 13.某地为发展旅游事业,在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的平均气温表 (气温单位: ),如图.根据图中提供的数据,试用y=Asin(@r+p)+b近似地拟合 出月平均气温与时间(单位:月)的函数关系式为 ,x=1,2,…,12 气温/ 30 730 15 0123456789101112时间/月 14.若函数-(r-2x+”小n各m-meN)利上枪有3个零点, 则符合条件的m的个数为 四、解答题(本题共5小题,共77分) 15.已知函数=4sim(ax+o叭4>0.a>0,< 的部分图像,如图所示 5 (1)求函数f(x的解析式: (2)将函数f(x:的图像向右平移3个单位,再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来 的)纵坐标不变,得到函数gx的图像求函数g(刘在区间0, 上的单调递增区间. 16.如图,六面体ABCD-EFGD,是直四棱柱ABCD-AB,C,D,被过点D,的平面a所截 得到的几何体,DD上底面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,DD1=4,AE=2, CG=3. D (I)求证:AC⊥D,F: (2)求平面EFGD与平面ABCD的夹角的余弦值: DP (3)在线段DG上是否存在一点P,使得APW平面EFGD,?若存在,求出DG的值:若不 存在,说明理由, 17.己知函数.f(x)=xlnx,g(x)=ae"-x2. (1)求函数f(x)的最值: (2)讨论函数g(x)在(0,+o)上极值点的个数: ③设函数=国,若在定义域内有三个不月的授值点?名'写且 满足小a(x5)41- ,求实数a的取值范围 e 18.已知函数f(x)=sinx-x Cosx(x≥0) (1)求函数f()的图象在点 处的切线方程: (2)若任意x∈(0,+o),不等式fx)≤ar恒成立,求实数a的取值范围; (3)设= ,证明: [+++]6 f(x)=ae*+x 19.已知函数 (1)若x=1是x)的极值点,求a: (2)若,分别是八x)的零点和极值点,证明下面①,②中的一个 ①当a>0时,lnx<-+1:②当a<0时,血x<2x-1 注:如果选择①,②分别解答,则按第一个解答计分. 河源市多校2026届高三上学期10月联考 数学参考答案 1.答案:C 2.答案:A 3.答案:C 4.答案:D 5.答案:B 6.答案:C 7.答案:B 8.答案:D 9.答案:ABD 10.答案:AB 11.答案:AC 12.答案: y=6sin 9 )】 +21 13.答案: 714 (答案不唯一) 14.答案:5 15.答案:(1)fx=2si 2r* T_5 _ 解析:(1)由题图得2=632, 因为7 2=2 T 所以+p=2,keZ,解符p=2a号,天eZ 又因为<2当k=1时,p行 又由f(0)=V5,得Asin=√3,A=2. 故f(x)=2sin 2x+引 (2)将f((x=2sin 2+ 的图像向右平移”个单位, 得到y=2sin 再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的),纵坐标不变, 得到gx=2sin 4x-3的图像 由2m-≤4x-s2km+元, 得-sxs+5 3 +2kez得224 2+24(k∈Z, 当=0时 24:当k=1时,24 24 因为引所以局敢g在区引的单港为引司引 16.答案:(1)证明见解析 e明 DP 1 (3)存在,DG2理由见解析 解析:(I)连接BD,直四棱柱ABCD-AB,CD,BFIDD, 则点F在平面DDB内. 因为DD,⊥平面ABCD,且ACC平面ABCD, 所以DD⊥AC, 又底面ABCD为正方形,所以AC⊥BD,又DD∩BD=D, 所以AC⊥平面DDBF,DFC平面DDBF, 故AC⊥DF: (2)因为DDL平面ABCD,DA,DCC平面ABCD,所以DD,⊥DA,DD⊥DC, 又底面ABCD为正方形,所以DA⊥DC,建立如图空间直角坐标系D-z, D 则E(2,0,2),G(0,2,3),D,(0,0,4),故DE=(2,0,-2),DG=(0,2,-1 设平面EFGD,的一个法向量为n=(x,y,z), 则 D正-0即2-2z0 .DG=0 2y0令2州=2=1于是7=22) 因为DD⊥平面ABCD,所以DD,=(0,O,4是平面ABCD的一个法向量 设平面EFGD,与平面ABCD的夹角为B, 则cos0=cos DD,元 DD 列82 DD列 3 43 2 所以平面EFGD,与平面ABCD的夹角的余弦值为 DP 1 (3)存在一点P使得AP/平面EFGD,此时DG=2理由如下: 设DP=DG(2∈[0,), 则AP=AD+DP=AD+DG=(-20,0)+(0,2,3)=(-2,21,3, 线段DG上存在一点P使得AP/平面EFGD等价于AP.n=0, 即4+2+61-0解得2=》 DP 1 所以DG21 17.答案:()最小值为。,无最大值。 (2)见解析. 解析:)函数的定义域为0,+o,f)=lnx+x-nx+1. 令网0:即ax1-0:解德日 当0日时,了0单调港减 当)时0年调递端: 因此f)在x=。处取得极小值(也是最小值), 北时-。-无做大 所以函数的最小值为。,无录大值, (2)由题意知,即讨论8(x)在(0,+o)上变号零点个数 对g(x)=ae-x2求导可得,g(x)=ae*-2x. 极值点的个数等价于g'()=0在(0,+∞)上的解的个数, 即a号在0上的解的个数令p)-芒〈0),则90=2巴 2x ex 当x∈(0,1)时,p'()>0,p(x)单调递增: 当x∈(L,+o)时,p'(x)<0,p(x)单调递减, 所以o()在=1处取得最大自,此时小-是 且当x0时,p(x 0:x +∞时,p(x) 0. 外2e 2x (x) e 当as0时,a=2 在(0,+o)上无解,此时g)在(0,+o)上无极值点: 2 2x 当0<a<会时,a= e 在(0,+0)上有2个解, 此时g()在(0,+∞)上有2个极值点: 当a=。时, 2x =e在(0,+∞)上有1个解, 但g(x)在(0,1和(1,+∞)上均大于零,故此时g(x)在(0,+0)上无极值点: 2 2x 当a>。时,a。在(0,+o)上无解,此时g)在(0,+o)上无极值点: 2 2 综上,当a≤0或a≥。时,g)无极值点:当0<a<。时,g)有2个极值点. )h()=/)+g(0)一xnr+ae-x=ae-x+lnx,其定义域为(0, 则=@91片c- x2 x>0 令)=0,解得x=1或a= er. 设w=芒(x0>,则v)-。 当x∈(0,)时,y'(x)>0,y(x)单调递增; 当x∈(L,+o)时,y'(x)<0,(x)单调递减, 所以y四在,=1处取得最大值,此时v刊= 且当x 0*时,(x) 0;当x +0时,(x) 0. 因此 (x)的大致图象如图所示, v(x) 因为(x)在定义域内有三个不同的极值点,x2,x, 且x=1为h(x)=0的一个根,