2026年高二数学寒假作业三 空间向量与立体几何3（天津适用）

高二数学寒假作业 寒假作业三---空间向量与立体几何三 知识梳理 1. 利用空间向量证明平行垂直问题 2. 利用空间向量求空间距离 3. 利用空间向量求空间角 4. 利用空间向量解决存在性问题 基础巩固 1．正四棱柱中，为中点，为下底面正方形的中心．求：    (1)异面直线与所成角的余弦值； (2)直线与平面成角； (3)点到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】点到平面距离的向量求法、线面角的向量求法、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成角即可； （2）用向量法求线面角即可； （3）用向量法求点面距即可. 【详解】（1）    在正四棱柱中，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 因为，，为中点，为下底面正方形的中心， 所以，，，，，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）由（1），，，， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则，， ，设直线与平面所成角为，则 ，又， ， 所以直线与平面所成角为. （3）由（2）可得，，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 2．如图,在四棱锥中,⊥平面, 点为的中点. (I) 证明：平面; (II)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ） 【知识点】线面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，取中点，可证，即可得到平面. （Ⅱ）根据（Ⅰ）所建坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，利用夹角公式解得. 【详解】（Ⅰ）证明： 取中点,易知是边长为2的正方形.依题意,可以建立以为原点,分别以,,的方向为轴,轴,轴正方向的空间直角坐标系（如图）, 可得,,,,,,. 取中点,则,即 又,可得,   又因为直线平面,所以平面. （Ⅱ）解：依题意,,, 设为平面的法向量, 则 即   不妨令,可得 因此有 . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的计算问题，关键建立空间直角坐标系，利用空间向量解决立体几何中的问题，属于中档题. 3．三棱台中，若平面，；，，，分别是，中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）求出平面的一个法向量为，再证明即可； （2）求出平面的一个法向量，再利用线面角的公式求解即可； （3）利用空间向量求出点到平面的距离为，再求出的面积即可. 【详解】（1）以点为原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，设平面的一个法向量为， ∵，， 令，∴，∵，∴， 又∵平面，所以平面. （2）∵， 设平面的一个法向量为，则， 令，设直线与平面所成角为θ， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3），平面的法向量为， 设点到平面的距离为d，， 又， ，. 4．如图，在三棱柱 中， 点D，E分别在棱． 上， M 为棱 的中点． (1)求证：平面； (2)若 平面 ①求直线 到平面的距离； ②求平面 与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②. 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）先取中点，证明是平行四边形，得出线线平行，进而应用线面平行得证； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的一个法向量，再应用距离公式计算求解； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再应用二面角余弦公式计算求解. 【详解】（1）取中点，连接， 因为分别是中点，所以， 因为所以，所以， 所以是平行四边形， 所以平面，平面， 所以平面； （2）①建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 设平面的一个法向量为：， 则，即， 令，则，所以， 直线 到平面的距离即是 到平面的距离， 又因为， 所以 到平面的距离； ②设平面的一个法向量为：， 设平面 与平面的夹角为， 则； 所以平面 与平面的夹角的余弦值为. 5．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）连接交于，连接，通过证明，可证明结论； （2）以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可求解面面角的余弦值； （3）由（2）可得，即可求解点到平面的距离. 【详解】（1）连接交于，连接， 由底面为矩形，则为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面; （2）根据题意，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由 ， 则 ， 则，，， 故平面的一个法向量为， 设为平面的法向量，则，即， 令，则，故， 所以， 根据题意，可得平面与平面夹角为锐角， 故平面与平面夹角的余弦值为； （3）由（2）可知为平面的法向量，， 所以， 所以点到平面的距离为. 6．如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面的夹角正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】求点面距离、面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）由条件先证明，，再由线线垂直推导线面垂直即得； （2）利用（1）已证的平面，将点到平面的距离转化为点到平面的距离的倍易得； （3）结合题设条件建系，写出相关点和相关向量的坐标，求出两个平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1） 如图，取的中点，连接，因，，则，， 易得，因，， 则，解得，即， 则点在以为直径的圆上，故， 又平面，平面，则， 因平面，故平面. （2）由（1）已得平面，， 则点到平面的距离是点到平面的距离的倍，即. （3） 如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 则， 由上平面，故为平面的一条法向量， 又，设平面的一条法向量为， 则，故可取. 设平面与平面的夹角为，则， 故. 平面与平面的夹角正弦值是. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于，在证得线面垂直基础上，结合图形特点，将所求点面距离进行转化，从而简化运算过程；对于空间角的计算，一般考虑建系，运用平面的法向量和空间向量的夹角公式计算即得 7．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到直线的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】点到直线距离的向量求法、线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）取的中点，证得且，得到以四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）取的中点，证得，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量，结合，即可求解； （3）由（2）中的空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，因为为的中点，所以， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）解：取的中点，连接，因为且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以， 又因为平面，平面，所以， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，则, 所以，则 可得，所以， 则点到直线的距离为. （3）解：由（2）中的空间直角坐标系，可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 8.如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，O为AC与BD的交点．    (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）连接，可证，根据线面平行的判断定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，则可用表示平面的法向量，根据距离公式可求. 【详解】（1）在正四棱柱中，连接， 由，得四边形为平行四边形，则，， 又为与的交点，为与的交点，则，， 因此四边形为平行四边形，，又平面，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，    则，设，则， 设平面的一个法向量为，而， 则，令，得，又， 由点到平面的距离为，得，解得， 所以正四棱柱的高为. 素养提升 1.在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】连接交于点O，由题意得，接着建立空间直角坐标系求出向量和平面的法向量即可根据向量法的点到平面距离公式求解. 【详解】连接交于点O， 由题意，得，， ， 如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，设， 所以，       设平面的一个法向量为，则， 所以，取， 则， 设顶点B到平面距离为d， 则， 当时， 当时，， 所以当即时点B到平面距离最大为. 故选：A. 2．如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． (1)平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在， 【知识点】面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）根据题意可得，再结合面面垂直的性质分析证明； （2）建系标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）设，利用空间向量结合线面平行可得，即可得结果. 【详解】（1）因为，为中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得 由题意可知：平面的法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）线段上是否存在一点，使平面. 设，则， 若平面，则， 可得，解得， 即，可知， 所以存在点，使平面，此时. 3.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，若异面直线与所成角等于． (1)求棱的长； (2)在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)存在，点为棱上靠近的三等分点 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、已知面面角求其他量、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）先得到线面垂直，线线垂直，建立空间直角坐标系，设，得到各点坐标，由异面直线的夹角得到方程，求出，求出棱长； （2）假设棱上存在一点，设，，表达出，求出两个平面的法向量，由平面与平面所成锐二面角的余弦值得到方程，求出，得到答案. 【详解】（1）因为底面，平面， 所以，， 又，所以两两垂直， 如图，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设， 则， 则， 异面直线、所成角为， ， 解得，棱长的大小为2； （2）假设棱上存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为， 设，，且，则， ， 设平面的一个法向量为， ，， 则， 取，得， 平面的法向量， 平面与平面所成锐二面角的正切值为， 由得，又，解得， 平面与平面所成锐二面角的余弦值为， ， 解得或（舍， 在棱上存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为， 且点为棱上靠近的三等分点． 4.在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，，分别是，，，的中点，平面． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）建系，通过向量垂直即可得证； （2）求得平面法向量，由面面夹角的公式即可求解； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 因为是正方形，，是，的中点， 所以， 因为平面， ，平面， 所以，， 所以如图以为原点，，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，， ，， ， ∴ ∴ 【小问2详解】 设平面与平面夹角， 设平面的一个法向量为， ，， 则，即，令，得，， ∴， 设平面的一个法向量为， ，， 则，即，令，得，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴平面与平面夹角. 【小问3详解】 由题可知， 设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍）， ∴， 即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学寒假作业 寒假作业三--空间向量与立体几何三 g 知识梳理 1.利用空间向量证明平行垂直问题 2.利用空间向量求空间距离 3.利用空间向量求空间角 4.利用空间向量解决存在性问题 宫 基础巩固 1.正四棱柱ABCD-A,B,CD,中，AB=4,AA,=8,E为CC中点，Q为下底面正方形 的中心.求： D B (I)异面直线AB与EO所成角的余弦值； (2)直线AO与平面ABE成角 (3)点Q到平面ABE的距离. D 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD// BC,BC=4,PA=AD=CD=2,点E为PC的中点 (①证明：DE/1平面PAB; (Ⅲ求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 第1页，共3页 3.三棱台ABC-A,B,C,中，若AA,⊥平面ABC,AB⊥AC;AB=AC=AA,=2, A,C=1,M,N分别是BC,BA中点. B (1)求证：BB,I1平面C,MA; A (2)求直线AC,与平面C,MN所成角的正弦值； M B (3)求三棱锥A-CMA的体积. 4.如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，点D,E分别在棱.AA、CC,上， B CE=AD=2AD,M为棱AB,的中点. A (I)求证：CM11平面B,ED; (2)若CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC,=3. D ①求直线C,M到平面B,ED的距离； ②求平面B,ED与平面ABC的夹角的余弦值， 第1页，共3页 高二数学寒假作业 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD, D PD=DC=2AD=2,E是PC的中点，点F在棱PB上且 (I)求证：PA1/平面EDB; D (2)求平面EDB与平面PDC夹角的余弦值； B (3)求点F到平面EDB的距离. 6.如图所示，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC,SC=3,AC⊥BC, S CE=2EB=2,AC= 2,CD=ED. (I)求证：DE⊥平面SCD; (2)求点B到平面SCD的距离； >B (3)求平面ASD与平面CSD的夹角正弦值， D 第1页，共3页 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,BC=4 P ,PA=AD=CD=2,点E为PC的中点 (I)证明：DE/I平面PAB; .E.D (2)求点B到直线ED的距离； B (3)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 8.如图，已知ABCD-A,B,C,D,是底面边长为2的正四棱柱，O为AC与B,D的交点，O为 AC与BD的交点， D B D B--- (1)证明：CO/1平面AB,D; 第1页，共3页 高二数学寒假作业 (②)若点G到平面AB,D,的距离为2 求正四棱柱ABCD-AB,C,D,的高 g 素养提升 1.在下图所示直四棱柱ABCD-AB,C,D,中，底面ABCD为菱形，AB=1,∠DAB=元 AA,=2,动点P在体对角线BD上，则顶点B到平面APC距离的最大值为() D A 6 P D A. B. 2 2 C. 2 D.√2 2.如图，在四棱锥A-BCDE中，AB=AC=CD=2BE=4,BEIICD,CD⊥CB, AB⊥AC,平面ABC⊥平面BCDE,O为BC中点. (I)A0⊥平面BCDE; (2)求平面ABC与平面ADE夹角的余弦值； (3)线段AC上是否存在一点Q,使O0‖平面ADE？如果不存在，请说明理由；如 果存在，求是的值。 >D 第1页，共3页 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD,BC⊥AB,AD∥BC, AB=AD=2,BC=4,若异面直线PA与CD所成角等于60°. A (1)求棱PB的长： (②)在棱PA上是否存在一点E,使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为5？若 存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由， 4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是等边三角形，E, F,M,O分别是PC,PD,BC,AD的中点，PO⊥平面ABCD D B (1)求证：EF⊥PA; (2)求平面PDC与平面EFM夹角的大小； 第1页，共3页 高二数学寒假作业 (3》在线段PA上是否存在点N,使得直线MN与平面EFM所成角的正弦值为3V5? 14 若存在，求线段PN的长，若不存在，说明理由. 第1页，共3页