精品解析：内蒙古自治区巴盟杭锦后旗2025-2026学年人教版九年级上学期数学期末测试卷

2025－2026学年杭锦后旗九年级第一学期期末测试 数学 一、选择题（本题共24分，每小题3分，第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．） 1. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 如图，在中，点D，E分别是边和的中点，则与的面积之比为（ ） A 1∶4 B. 1∶3 C. 1∶2 D. 1∶1 【答案】A 【解析】 【分析】根据面积比等于相似比平方，即可求出△ADE与△ABC的比． 【详解】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，且DE=BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴； 故选：A； 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是△ABC的中位线，判断△ADE∽△ABC，要求同学们掌握相似三角形的面积比等于相似比平方． 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则cosA的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求得AB的长，然后利用余弦的定义即可求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴， 则cosA=． 故选：A． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 5. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 10 C. 12 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 利用方程根的定义，得到，然后整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， ∴ ． 故选B． 6. 一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据扇形的面积公式进行计算． 【详解】解：设这个扇形的半径是． 根据扇形面积公式，得， 解得（负值舍去）． 故选：B． 7. 当温度不变时，气球内气体气压（单位：）是气体体积（单位：）的函数，下表记录了一组实验数据： （单位：） 1 1.5 2 2.5 3 （单位：） 96 64 48 38.4 32 与的函数关系可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得：，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，即， ∴与的函数关系可能是． 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够观察表格并发现两个变量的乘积为常数96，难度不大． 8. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（　　） A B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知，利用图象判断即可． 【详解】解：如图，当时， 当时，； A、，本选项不符合题意； B、当时，，本选项不符合题意； C、当时，与可能相等，可能不等，本选项不符合题意； D、当时，，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆知识的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题（共4小题．每小题3分，共12分） 9. 在数学课上，教师设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复．下表是由试验得到的一组统计数据；从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为___________．（结果精确到） 摸球的次数 100 200 400 1000 1600 3000 摸到白球的次数 62 118 246 611 968 1776 摸到白球的频率 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，仔细观察表格是解决本题的关键． 由表格可得，在大量重复试验中，摸到白球的频率稳定于附近，据此求解即可． 【详解】解：∵摸到白球的频率稳定在附近， ∴从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为． 故答案为：． 10. 已知是一元二次方程的两根，则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：由方程 ，得 ，， 则 ． 故答案为 6． 11. 如图，因地形原因，湖泊两端的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（三点在同一竖直平面内），则湖泊两端的距离为___________（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，平行线的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值及其相关解直角三角形是解题的关键．过点作于点，则，求出，，利用，得出，，相加即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 点在二次函数的图象上．若，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式，通过代入二次函数解析式，比较点A和点B的纵坐标大小，消去常数项c，解不等式求解m的取值范围． 【详解】解：由在二次函数图象上， 得． 由，得． 化简得， 解得． 故答案为． 三、解答题（共6小题．共64分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 13. 解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），  （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）移项后根据因式分解法求解即可． （2）整理后根据配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，  或 ， 解得， ； 【小问2详解】 解： 解得． 14. 不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为________； （2）从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键． (1)利用公式计算即可． (2) 不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可． 【小问1详解】 一共有4种等可能性，摸出的球是黄球有2种等可能性， 故摸出的球是黄球的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的等可能性有4种． 故摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是． 15. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个矩形活动区．设矩形活动区的宽． （1）边的长为___________，矩形的面积为___________（均用含的代数式表示）； （2）矩形活动区的面积最大是多少？ 【答案】（1）：， （2） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，解题的关键是求出面积的函数解析式． （1）根据围栏的长是，宽可表示出边的长；根据矩形的面积公式可表示出矩形的面积； （2）设矩形活动区的面积为，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵宽， ∴边的长为， ∴矩形的面积为 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设矩形活动区的面积为， 则， ∵利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个矩形活动区， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，S取得最大值72． ∴矩形活动区的面积最大是． 16. 已知，如图，在△ADC中，∠ADC＝90°，以DC为直径作半圆⊙O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，∠BED＝2∠C． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若BF＝FC，，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径是3． 【解析】 【分析】（1）欲证BF是圆O的切线，只需证明OF⊥BF； （2）根据角与角间的数量关系推知△AEF的等边三角形．所以易求AD=2．则通过解直角△ADC来求直径CD的长度． 【详解】（1）证明：连接OF． ∵∠OFB=180°﹣∠B﹣∠BOF=180°﹣∠B﹣2∠C=180°﹣∠B﹣∠BED=90°， ∴OF⊥BF， ∴BF是⊙O的切线； （2）解：∵BF=FC， ∴∠B=∠FCB， ∵∠BED=2∠C， ∴∠BDE+∠B=3∠C=90°， ∴∠B=∠C=30°， ∴∠AFE=60°，∠BED=60°， ∴△AEF是等边三角形， 则EF=AE=． ∴AD=2． 又∵∠C=30°， ∴CD=6， ∴⊙O的半径是3． 【点睛】此题主要考查圆的切线的判定以及解直角三角形，熟练掌握，即可解题. 17. 如图，抛物线与轴交于点．与直线交于点．点在轴上．点为线段上一点． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，请在图中画出点，作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）四边形是平行四边形，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查求二次函数表达式，平行四边形的判定； （1）将代入求出b即可； （2）作交抛物线于点，垂足为H，连接，，，．由点在上，可知，，得，，当时，，得，然后证明，即可得解． 【小问1详解】 解：∵经过， ∴， 解得， ∴ 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下， 作交抛物线于点，垂足为H，连接，，，． ∵点在上， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是 平行四边形． 18. 在中，以线段斜边作等腰．使得，；连接，再以为直角边作等腰，使得，． （1）如图1，当时，表示线段，之间的数量关系与位置关系； （2）如图2，以线段，为边构造，连接．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1），； （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据等边对等角得到，可知B、D、C在一条直线上，进而可知线段，之间的数量关系与位置关系； （2）连接，延长到G，根据平行四边形的性质得到，即，证明，得到，，即，，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴B、D、C在一条直线上， ∵， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，连接，延长到G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， 即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年杭锦后旗九年级第一学期期末测试 数学 一、选择题（本题共24分，每小题3分，第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．） 1. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，点D，E分别是边和的中点，则与的面积之比为（ ） A. 1∶4 B. 1∶3 C. 1∶2 D. 1∶1 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则cosA的值为（　　） A. B. C. D. 5. 已知是方程一个根，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 10 C. 12 D. 22 6. 一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（ ） A B. C. D. 7. 当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的函数，下表记录了一组实验数据： （单位：） 1 1.5 2 2.5 3 （单位：） 96 64 48 38.4 32 与的函数关系可能是（ ） A. B. C. D. 8. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（　　） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（共4小题．每小题3分，共12分） 9. 在数学课上，教师设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复．下表是由试验得到的一组统计数据；从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为___________．（结果精确到） 摸球的次数 100 200 400 1000 1600 3000 摸到白球的次数 62 118 246 611 968 1776 摸到白球的频率 10. 已知是一元二次方程的两根，则的值为___________． 11. 如图，因地形原因，湖泊两端的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（三点在同一竖直平面内），则湖泊两端的距离为___________（结果保留根号）． 12. 点在二次函数的图象上．若，则的取值范围是___________． 三、解答题（共6小题．共64分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 13. 解下列一元二次方程： （1） （2） 14. 不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为________； （2）从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率． 15. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长围栏围成一个矩形活动区．设矩形活动区的宽． （1）边的长为___________，矩形的面积为___________（均用含的代数式表示）； （2）矩形活动区的面积最大是多少？ 16. 已知，如图，在△ADC中，∠ADC＝90°，以DC为直径作半圆⊙O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，∠BED＝2∠C． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若BF＝FC，，求⊙O的半径． 17. 如图，抛物线与轴交于点．与直线交于点．点在轴上．点为线段上一点． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，请在图中画出点，作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 18. 在中，以线段斜边作等腰．使得，；连接，再以为直角边作等腰，使得，． （1）如图1，当时，表示线段，之间的数量关系与位置关系； （2）如图2，以线段，为边构造，连接．用等式表示线段，之间数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $