第四单元：比例（知识清单）数学人教版六年级下册

人教版六年级数学下册第四单元：比例（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：比例的意义和基本性质 1、比例的意义 （1）定义：表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）核心条件：两个比的比值相等，才能组成比例。 （3）比和比例的联系和区别 2、比例的各部分名称 组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 3、比例的基本性质 比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 4、判断两个比能否组成比例的方法 （1）求出比值，看它们的比值是否相等； （2）根据比例的基本性质求“积”，看两个外项的积是否等于两个内项的积。 5、解比例 （1）定义：求比例中的未知项，叫做解比例。 （2）解比例的依据：比例的基本性质。 （3）解比例的方法：利用比例的基本性质将比例转化为外项之积与内项之积相等的等式，再通过解方程求出未知项的值。 【易错点】 （1）混淆“比”和“比例”：认为“两个数的比就是比例”，忽略比例是“两个相等比的等式”。 （2）找错内项和外项：在分数形式的比例中，误将分子和分子当作内项，实际交叉相乘的两项分别为外项和内项。 知识点02：正比例 1、相关联的量：两种量中，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量叫做相关联的量。 2、正比例 （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 （2）字母表达式：如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为。 （3）关键特征：比值一定，变化方向相同（一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小）。 （4）正比例的图象：如果把成正比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，形成一条射线；反之，该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 知识点03：反比例 1、定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2、字母表达式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy＝k。 3、关键特征：乘积一定，变化方向相反（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）。 4、反比例的图象：反比例关系也可以用图象来表示，如果把成反比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，会形成一条光滑的曲线；反之，该曲线上的每一个点对应的就是反比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 【易错点】 （1）忽略“相关联的量”前提：两种量无关联（如人的身高和体重），却判断成比例。 （2）混淆“比值一定”和“乘积一定”：如认为“长方形的周长一定，长和宽成反比例”，实际周长一定时，长+宽的和一定，比值和乘积都不固定，不成比例。 （3）漏判“定值”：如“正方形的边长和面积”，比值（面积÷边长=边长）不是定值，不成正比例。 知识点04：比例尺 1、比例尺的意义 （1）定义：一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 （2）公式表达：用公式表示为图上距离：实际距离＝比例尺，或 ＝比例尺 2、比例尺的分类 （1）按照表现形式分，比例尺有数值比例尺和线段比例尺两种，两种比例尺可以互相转化。 把线段比例尺改写成数值比例尺时，一定要统一单位。 ①数值比例尺：用数字比表示； ②线段比例尺：在图上画一条线段，并注明线段上的长度代表的实际距离。 （2）按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。 ①缩小比例尺：比例尺的前项为1（用于绘制地图、建筑平面图）； ②放大比例尺：比例尺的后项为1（用于绘制精密零件图纸）。 3、比例尺的实际应用 （1）已知图上距离和实际距离，求比例尺：先统一单位，然后根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”列式，并化简为比的前项或后项是“1”的形式。 （2）已知图上距离和比例尺，求实际距离：可以根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，用解比例的方法求出，也可以把比例尺看作一个比值，用“图上距离÷比例尺＝实际距离”直接计算。 （3）已知实际距离和比例尺求图上距离：可以用解比例的方法计算，也可以根据“图上距离＝实际距离×比例尺”直接计算。 4、应用比例尺画图 （1）先确定比例尺； （2）根据比例尺求出图上距离； （3）根据图上距离画出相应的平面图； （4）标明平面图的名称和比例尺。 【易错点】 （1）比例尺是一个比，没有单位。 （2）计算时单位必须统一。 （3）线段比例尺需先转化为数值比例尺，再进行计算。 知识点05：比例的应用 1、图形的放大与缩小 （1）图形按一定的比放大或缩小后，只是图形的大小发生了变化，图形原有的形状没变化。 （2）把图形按比放大或缩小，就是把图形的每一条边都按比放大或缩小。 2、用正、反比例知识解决问题的解题步骤： （1）根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例关系。 （2）找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例方程。 （3）解比例。 （4）检验并写出答语。 考点1：比例的意义和基本性质 【典型例题1】在比例10∶35＝6∶21中，如果将第二个比的前项加上30，第一个比的后项和第二个比的后项不变，那么第一个比的前项应加上（     ）才能使该比例成立。 A．60 B．50 C．40 D．30 【答案】B 【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，先求出第二个比的前项加上30，两个内项的积，用第二个比的前项增加30后两个内项的积除以21，求出另一个外项应该是几，减去原来的这个外项即可。 【详解】（6＋30）×35 ＝36×35 ＝1260 1260÷21－10 ＝60－10 ＝50 第一个比的前项应加上50才能使该比例成立。 故答案为：B 【典型例题2】能与3∶8组成比例的是（     ）。 A．8∶3 B．0.2∶0.5 C．15∶40 D．6∶11 【答案】C 【分析】求出题干中比的比值，再分别求出选项中比的比值，选出与题干中比的比值相等的选项即可。 【详解】3∶8＝3÷8＝0.375 A．8∶3＝8÷3＝，0.375≠，所以8∶3不能与3∶8组成比例； B．0.2∶0.5＝0.2÷0.5＝0.4，0.4≠0.375，所以0.2∶0.5不能与3∶8组成比例； C．15∶40＝15÷40＝0.375，0.375＝0.375，所以15∶40能与3∶8组成比例； D．6∶11＝6÷11＝，≠0.375，所以6∶11不能与3∶8组成比例。 故答案为：C 【练习】在a∶b＝c∶d中，b扩大到原来的5倍，要使比例成立，下列正确的是（     ）。 A．c也扩大到原来的5倍 B．d扩大到原来的5倍 C．a缩小到原来的 D．a和c同时缩小到原来的 【答案】B 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质，分别计算出变化后两个外项、两个内项的积，看它们的积是否相等，若相等，则比例成立；若不相等，则比例不成立。 【详解】由a∶b＝c∶d可知，ad＝bc； A．b扩大到原来的5倍，c也扩大到原来的5倍，则两个内项的积是ad，两个外项的积5b×5c＝25bc，ad≠25bc，比例不成立，原题说法错误； B．b扩大到原来的5倍，d扩大到原来的5倍，则两个外项的积是a×5d＝5ad，两个内项的积是5b×c＝5bc，5ad＝5bc，比例成立，原题说法正确； C．b扩大到原来的5倍，a缩小到原来的，则两个外项的积是ad，两个内项的积是5bc，ad≠5bc，比例不成立，原题说法错误； D．b扩大到原来的5倍，a和c同时缩小到原来的，则两个外项的积是ad，两个内项的积是5b×c＝bc，ad≠bc，比例不成立，原题说法错误。 故答案为：B 考点2：解比例 【典型例题】若x∶4＝0.5∶2，则x的值是（     ）。 A．1 B．0.5 C．0.25 【答案】A 【分析】根据比例的基本性质：内项积＝外项积，积原式变为：2x＝4×0.5，再根据等式的性质2解方程求出x的值即可。 【详解】x∶4＝0.5∶2 解：2x＝4×0.5 2x＝2 2x÷2＝2÷2 x＝1 若x∶4＝0.5∶2，则x的值是1。 故答案为：A 【练习】解比例。 2.8∶x＝0.2∶1.4         x∶30＝61∶65          【答案】；； 【分析】解答这道题需明确比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。利用比例的基本性质解比例即可。 （1）两个外项分别是2.8和1.4；两个内项分别是和0.2，转化为，再根据等式的基本性质，两边同时除以0.2。 （2）两个外项分别是和65，两个内项分别是30和61，转化为，再根据等式的基本性质，两边同时除以65。 （3）两个外项分别是35和，两个内项分别是4.2和6，转化为，再根据等式的基本性质，两边同时除以35。 【详解】根据分析： （1） 解：0.2x=2.8×1.4 0.2x=3.92 x=3.92÷0.2 x=19.6 （2） 解： 65x=1830 x=1830÷65 x （3） 解：35x=4.2×6 35x=25.2 x=25.2÷35 x=0.72 考点3：正比例的意义和应用 【典型例题1】下面几组相关联的量中，成正比例关系的是（     ）。 A．圆的面积和它的半径 B．被减数一定，减数和差 C．订阅《小学生数学报》的份数和总钱数 D．三角形的面积一定，它的底和高 【答案】C 【分析】正比例：两种相关联的量对应的两个数的比值一定；反比例：两种相关联的量对应的两个数的乘积一定。 【详解】A．圆的面积公式：，即与成正比，所以圆的面积和它的半径不成正比例关系； B．减数＋差＝被减数（一定），减数与差的和为定值，属于加法关系，所以不成正比例； C．（一定），所以订阅《小学生数学报》的份数和总钱数成正比例关系； D．三角形面积公式：，当一定时，底×高＝，属于反比例关系，所以不成正比例关系。 故答案为：C 【典型例题2】小红的身高是1.2米，她直直的站立在操场上，测得她的影子长是2米。如果在同一时间、同一地点，测得一根直立在操场上的竹竿的影子长是3米，这根竹竿的高是多少米？（用比例解） 【答案】1.8米 【分析】在同一时间、同一地点，物体的高度和它的影子的长度的比值是一定的，即物体高度与影子长度成正比例关系。设这根竹竿的高是x米，可以根据这个正比例关系来列比例：1.2∶2＝x∶3，解出比例，即可求出竹竿的高度。 【详解】解：设这根竹竿的高是x米。 1.2∶2＝x∶3 2x＝1.2×3 2x＝3.6 2x÷2＝3.6÷2 x＝1.8 答：这根竹竿的高是1.8米。 【练习】一艘轮船从甲港开往乙港，前2小时行驶了60千米。照这样的速度，从甲港到乙港还需要13小时，甲乙两港相距多远？（用比例解答） 【答案】450千米 【分析】根据题意可知，轮船行驶的速度一定，行驶的路程与时间成正比例，设13小时行驶x千米，列比例：60∶2＝x∶13，解比例，求出13小时行驶的路程，再加上2小时行驶的路程，即可求出甲乙两港的距离。 【详解】解：设13小时行驶x千米。 60∶2＝x∶13 2x＝60×13 2x＝780 x＝780÷2 x＝390 390＋60＝450（千米） 答：甲乙两港相距450千米。 考点4：正比例的图象问题 【典型例题】下图反映了某种花布购买的米数和应付钱数的关系。 （1）由图可见，购买的米数和应付的钱数成（ ）比例关系。 （2）从图中可知，32元可买（ ）米布；买5米布应付（ ）元。 【答案】（1）正 （2） 8 20 【分析】（1）由图可见，应付的钱数随着购买的米数增加而增加，并且符合总价÷长度＝4，也就是应付的钱数与购买的米数的比值一定，符合正比例的定义，即购买的米数和应付的钱数成正比例关系。 （2）从图像的纵坐标找到32元对应的位置，然后向横坐标作垂线，发现对应的横坐标数值，即可求出32元可买多少米布；在横坐标找到5米对应的位置，再向纵坐标做垂线，找到对应的纵坐标数值，即可求出买5米布应付多少元。 【详解】（1）应付钱数÷购买布数＝花布单价，比如由图可知：当购买米数是2米时，总价8元，单价为8÷2＝4（元/米）；当购买米数是4米时，总价是16元，单价为16÷4＝4（元/米），单价始终保持不变，所以购买的米数和应付的钱数成正比例关系。 （2）从图像的纵坐标找到32元对应的位置，然后向横坐标作垂线，发现对应的横坐标数值8，所以32元可买8米布；在横坐标找到5米对应的位置，再向纵坐标做垂线，发现对应的纵坐标数值是20，所以买5米布应付20元。 【练习】如图是一汽车从甲地开往乙地的行驶情况，由图可知，汽车行驶的路程与所用时间成（ ）比例，汽车行驶的速度是（ ）千米/时。如果需要提前1小时到达乙地，速度应提高（ ）千米/时。 【答案】 正 50 12.5 【分析】根据汽车行驶的路程与所用时间图像是一条直线，可以确定这两种量成正比例关系，然后用某一点的对应的路程除以对应的时间，求出速度；最后用250千米除以4，求出汽车提前1小时到达乙地的速度，再减去原来的速度即可。 【详解】由图可知，汽车行驶的路程与所用时间图像是一条直线，可以确定这两种量成正比例关系； 50÷1＝50（千米/时） 250÷（5－1）－50 ＝62.5－50 ＝12.5（千米/时） 则汽车行驶的速度是50千米/时。如果需要提前1小时到达乙地，速度应提高12.5千米/时。 考点5：反比例的意义和应用 【典型例题1】如图，把质量相同的钩码，挂在杠杆的支撑点的两边，杠杆保持平衡，若把杠杆左、右两边的钩码各减少一个，则杠杆左端会（ ）。（填：上升、下降或不动） 【答案】下降 【分析】初始时，杠杆左边有5个钩码，距离中点有3格；右边有3个钩码，距离中点有5格。因为杠杆平衡，所以5×3＝3×5。即钩码与格数成反比例关系。当左、右两边各减少1个钩码后，左边变为5－1＝4个钩码，距离中点仍为3格，此时左边的数值为4×3＝12；右边变为3－1＝2个钩码，距离中点仍为5格，右边的数值为2×5＝10。因为12＞10，即左边的“力×力臂”乘积更大，所以杠杆左端会下降。 【详解】杠杆左边有5个钩码，距离中点有3格；右边有3个钩码，距离中点有5格。 5－1＝4（个） 4×3＝12 3－1＝2（个） 2×5＝10 12＞10 所以杠杆左端会下降。 【典型例题2】王老师一家春节开车回老家过年，平均每小时行100千米，3.4小时到达。回来时原路返回，平均每小时约行85千米，回程需要几小时？（用比例解答） 【答案】4小时 【分析】根据题意，去时和回程的路程相同，速度和时间成反比例关系。设回程需要x小时，可列比例式：85x＝100×3.4，解比例方程即可。 【详解】解：设回程需要x小时。 85x＝100×3.4 85x＝340 x＝340÷85 x＝4 答：回程需要4小时。 【练习】x和y是两种相关联的量，如果，x和y成（ ）比例；如果4x－3y＝0，x和y成（ ）比例。 【答案】 反 正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】如果，那么xy＝，x和y的积一定，那么x与y成反比例。 如果4x－3y＝0，所以4x＝3y，x∶y＝，两个量比值一定，所以x和y成正比例。 所以如果，x和y成反比例；如果4x－3y＝0，x和y成正比例。 考点6：比例尺的分类和改写 【典型例题】是（ ）比例尺，它表示地图上（ ）的距离相当于地面上实际距离（ ），改写成数值比例尺是（ ）。 【答案】线段；1cm；5km；1∶500000 【分析】比例尺分线段比例尺和数值比例尺两类；图上距离：实际距离＝比例尺，根据这样的关系解答。 【详解】5km＝500000cm 是线段比例尺，它表示地图上1cm的距离相当于地面上实际距离5km，改写成数值比例尺是1：500000。 【练习】把线段比例尺改写成数值比例尺是（     ）。 A．1∶20 B．1∶2000000 C．1∶60 D．1∶6000000 【答案】B 【分析】由图可知，图上距离1厘米表示实际距离20千米，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”即可将线段比例尺转化成数值比例尺。1千米＝1000米＝100000厘米，根据进率统一单位。 【详解】根据线段比例尺可知，1厘米表示20千米。 1厘米∶20千米 ＝1厘米∶2000000厘米 ＝1∶2000000 线段比例尺改写成数值比例尺是1：2000000。 故答案为：B 考点7：比例尺的实际应用 【典型例题1】港珠澳大桥是世界上最长的一座跨海大桥。在一幅比例尺是1∶250000的图纸上，量得桥全长是22厘米。一辆汽车以每小时80千米的速度通过此桥，需要多长时间？ 【答案】小时 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算并把单位转化为千米，即可求出大桥的实际距离，再根据，由此解答即可。 【详解】22÷＝5500000（厘米）＝55（千米） 55÷80＝（时） 答：需要小时。 【典型例题2】把一块长400m，宽200m的长方形蔬菜大棚画在一张16开（18.4cm×26cm）的长方形纸上，选择比例尺（     ）合适。 A．1∶800 B．1∶30000 C．1∶2000 【答案】C 【分析】图上距离＝实际距离×比例尺，据此分别求出长方形蔬菜大棚的长和宽的图上距离，再选出合适的比例尺。 【详解】400m＝40000cm    200m＝20000cm A．40000×＝50（cm），20000×＝25（cm），超过了纸张（18.4cm×26cm）的大小，这个比例尺不合适。 B．40000×＝（cm），20000×＝（cm），画出来太小，这个比例尺不合适。 C．40000×＝20（cm），20000×＝10（cm），画出来大小合适，则这个比例尺合适。 故答案为：Ｃ 【练习】在比例尺1∶30000的图纸上量得甲、乙两地相距18厘米，那么在另一张比例尺是1∶40000的图纸上，这两地间的图上距离应是多少厘米？ 【答案】13.5厘米 【分析】在比例尺1∶30000的图纸上量得甲、乙两地相距18厘米，图上1厘米表示实际距离30000厘米，即300米，甲、乙两地的实际距离即为18个300米，也就是300×18＝5400米；在另一张比例尺是1∶40000的图纸上，图上1厘米表示实际距离40000厘米，即400米，最后看实际距离5400米里有几个400米，就对应图上距离几厘米。 【详解】30000厘米＝300米 40000厘米＝400米 300×18÷400 ＝5400÷400 ＝13.5（厘米） 答：这两地间的图上距离应是13.5厘米。 考点8：应用比例尺画图 【典型例题】请你根据题目要求设计主题公园。 三国水浒景区的正东方400m处是明清宫苑景区，西偏北40°方向150m处是旧上海景区。图中所要用到的比例尺是，请在图中右下角指定位置用数值比例尺形式表示出来。再在图中画出各景区的位置。 【答案】见详解 【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米距离表示实际距离200m，先把单位统一为cm，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，列比可得数值比例尺。分别用400和150除以200，得出400m和150m的图上距离，确定以三国水浒景区为观测点，根据上北下南，左西右东确实方向和角度，以及图上距离，据此画图。 【详解】1cm∶200m＝1cm∶20000cm＝1∶20000 400÷200＝2（cm） 150÷200＝0.75（cm） 据分析作图如下： 【练习】赵亮家在公园正东方向，距离公园400米；赵丽家在公园北偏东30°方向距离是300米；赵琴家在赵丽家正西方向200米处。在下图中画出他们三家和公园的位置平面图（比例尺是1∶10000）。 【答案】见详解 【分析】先把平面图的比例尺1∶10000改写成线段比例尺，即图上1厘米相当于实际距离100米；以图上的“上北下南，左西右东”确定方向。 在公园正东方向上画400÷100＝4厘米长的线段，即是赵亮家； 在公园北偏东30°方向上画300÷100＝3厘米长的线段，即是赵丽家； 在赵丽家正西方向上画200÷100＝2厘米长的线段，即是赵琴家。 【详解】10000厘米＝100米 400÷100＝4（厘米） 300÷100＝3（厘米） 200÷100＝2（厘米） 如图： 考点9：用比例解决问题 【典型例题1】某地推出了无人汽车运送物资服务。已知“无人车”一趟可运送0.6吨物资，一辆“无人小巴”一趟可运送1.4吨物资。现有一批物资，如果用“无人车”运送，需要运63趟；如果改用“无人小巴”运送，需要运几趟？ 【答案】27趟 【分析】设如果改用“无人小巴”运送，需要运x趟，根据每趟运送吨数×运送趟数＝总吨数（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设如果改用“无人小巴”运送，需要运x趟。 1.4x＝0.6×63 1.4x＝37.8 1.4x÷1.4＝37.8÷1.4 x＝27 答：如果改用“无人小巴”运送，需要运27趟。 【典型例题2】如果把一个三角形按3∶1放大，那么下面说法正确的是（     ）。 A．放大后的图形的内角与原图形的内角比是3∶1 B．放大后的图形的边长与原图形的边长比是3∶1 C．放大后的图形的面积与原图形的面积比是3∶1 D．放大后的图形的周长与原图形的周长比是9∶1 【答案】B 【分析】图形放大前后，图形的形状不变，所以 三角形放大后的内角与原图形相同，即内角比是1：1；把三角形按3：1放大，就是把三角形的各条边的长都放大到原来的3倍，所以 放大后的图形与原图形的边长比和周长比都是3：1，而面积比是。 【详解】 A.三角形的内角和始终是180°，放大图形不会改变内角的大小，所以内角比是1：1，该选项错误； B.按3：1放大，就是指各边的长度变为原来的3倍，因此放大后的边长与原图形边长比是3：1，该选项正确； C.三角形面积比是边长比的平方，即，不是3：1，该选项错误； D.周长是各边长度之和，放大后的周长与原周长比等于边长比，即3：1，不是9：1，该选项错误。 故答案为；B 【练习】前进村用收割机收稻谷，前3天收割了267公顷，照这样计算，一周（7天）可以收割多少公顷？（用比例解） 【答案】623公顷 【分析】每天收割的公顷数是固定的，收割公顷数和天数成正比例关系，即收割公顷数÷天数＝每天收割公顷数（一定）。设7天收割x公顷，据此列出比例式：。根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，将比例式转化为方程3x＝267×7，再计算求出x的值。 【详解】解：设7天收割x公顷。 = 3x＝267×7 3x＝1869 3x÷3＝1869÷3 x＝623 答：一周（7天）可以收割623公顷。 一、选择题 1．下面（     ）组中的两个比可以组成比例。 A．15∶5和12∶4 B．和 C．2.4∶1.8和16∶10 【答案】A 【分析】表示两个比相等的式子，叫做比例。据此分别求出各选项中两个比的比值，若比值相等，即可组成比例。 【详解】A．15∶5＝15÷5＝3，12∶4＝12÷4＝3 比值相等，可以组成比例：15∶5＝12∶4。该选项符合题意。 B．， 比值不相等，不可以组成比例。该选项不符合题意。 C．2.4∶1.8＝2.4÷1.8＝，16∶10＝16÷10＝1.6 比值不相等，不可以组成比例。该选项不符合题意。 故答案为：A 2．在下面的两种相关联的量，成比例的是（     ）。 A．买同样的乒乓球的个数和钱数 B．一个人的年龄和身高 C．长方形的宽一定，周长和长 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此解答。 【详解】A．买同样的乒乓球，说明乒乓球的单价一定，即总价（钱数）÷数量（个数）＝单价（一定），买同样的乒乓球的个数和钱数成正比例。该选项符合题意。 B．因为一个人的年龄和身高的比值或乘积不一定，所以一个人的年龄和身高不成比例。该选项不符合题意。 C．因为长方形的周长÷2－长＝宽（一定），周长的一半和长的差一定，所以周长和长不成比例。该选项不符合题意。 故答案为：A 3．男生人数的等于女生人数的，则男、女生人数的比是（     ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】比例的性质：两内项之积等于两外项之积。根据题意，写出等积式，男生×＝女生×，再根据比例的性质，直接写出男生和女生的人数比，从而化简求出最简比。 【详解】因为男生×＝女生×，那么， 男生∶女生＝∶＝（×20）∶（×20）＝5∶4 所以，男生、女生的人数比是5∶4。 故答案为：B 4．在一个比例尺是10∶1的图纸上，量得一个零件的长是4厘米，这个零件实际长（     ）。 A．4米 B．40厘米 C．4毫米 【答案】C 【分析】由“比例尺＝图上距离∶实际距离”可知，实际距离＝图上距离÷比例尺，据此求出这个零件的实际长度，即可求得。 【详解】4÷10＝0.4（厘米） 0.4厘米＝4毫米 所以，这个零件实际长4毫米。 故答案为：C 5．一个长方形按4∶1放大后，得到的图形与原图形比较，正确的是（     ）。 A．面积不变 B．面积缩小到原来的 C．面积扩大到原来的16倍 【答案】C 【分析】把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。假设长方形的长4厘米，宽3厘米，根据长方形面积＝长×宽，分别计算放大前后的面积，用放大后的面积÷放大前的面积，即可确定面积的变化情况。 【详解】假设长方形的长4厘米，宽3厘米。 4×4＝16（厘米） 3×4＝12（厘米） （16×12）÷（4×3） ＝192÷12 ＝16 一个长方形按4∶1放大后，得到的图形与原图形比较，正确的是面积扩大到原来的16倍。 故答案为：C 二、填空题 6．选择填写“成正、成反或不成”。 （1）三角形的高一定，它的底和面积（ ）比例； （2）圆的面积一定，它的半径和圆周率（ ）比例； （3）平行四边形的面积一定，它的底和高（ ）比例； （4）同学的年龄一定，他们的身高和体重（ ）比例。 【答案】（1）成正 （2）不成 （3）成反 （4）不成 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系；除此之外不成比例关系。 【详解】（1）三角形的面积÷底＝高÷2，三角形的高一定，它的底和面积成正比例； （2）圆周率是个固定值，圆的面积一定，它的半径和圆周率不成比例； （3）底×高＝平行四边形的面积，平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例； （4）同学的年龄一定，他们的身高和体重不成比例。 7．若2，x，6，12四个数可以组成比例，那么x最大是（ ），最小是（ ）。 【答案】 36 1 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积。先求出已知三个数中那两个数积最大和积最小，进而求出x的最大值和最小值。 【详解】最大积：6×12＝72 72÷2＝36 最小积：2×6＝12 12÷12＝1 若2，x，6，12四个数可以组成比例，那么x最大是36，最小是1。 8．在比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是（ ）。 【答案】/0.4 【分析】如果两个数的乘积为1，我们就说这两个数互为倒数，则两个外项的乘积为1，在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，则两个内项的乘积为1，所求内项＝1÷已知内项，据此解答。 【详解】分析可知，两个内项的乘积为1。 1÷ ＝1÷ ＝1× ＝ 所以，另一个内项是。 9．工作总量一定时，工作效率和工作时间成（ ）比例；如果x＝6y，（x、y≠0），则x与y成（ ）比例。 【答案】 反 正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此解答即可。 【详解】因为工作效率×工作时间＝工作总量（一定），工作总量一定时，工作效率和工作时间的乘积一定，所以工作效率和工作时间成反比例。 如果x＝6y，（x、y≠0），则x÷y＝6，x与y的商一定，所以x与y成正比例。 10．若7x＝8y（x和y都大于0），则x∶y等于（ ∶ ），若，则m×（ ）＝n×（ ）。 【答案】 8 7 8 7 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此用比例的逆运算进行解答。 【详解】7x＝8y x∶y＝8∶7 ＝ m×6＝n×7 若7x＝8y（x和y都大于0），则x∶y等于8∶7，若＝，则m×6＝n×7。 11．若a－b＝0，（a、b均不为0），a与b成（ ）比例关系；煤的数量一定，使用天数与平均每天的用煤量成（ ）比例关系。 【答案】 正 反 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【详解】（1）由a－b＝0可得：a＝b，a∶b＝1（一定），比值一定，则a与b成正比例关系； （2）平均每天的用煤量×使用天数＝煤的数量（一定），乘积一定，则使用天数与平均每天的用煤量成反比例关系。 填空如下： 若a－b＝0，（a、b均不为0），a与b成（正）比例关系；煤的数量一定，使用天数与平均每天的用煤量成（反）比例关系。 12．一个图形的周长是12cm，面积是8cm2，将这个图形按1∶2缩小后，它的周长是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 【答案】 6 2 【分析】图形按1∶2缩小，各边均缩小到原来的。我们所学过的周长是几条边之和，所以，图形按1∶2缩小，边长之和（周长）也是原来的；我们所学过的面积包括底×高，长×宽和底×高÷2，所以，图形按1∶2缩小，面积缩小到原来的（×）即，据此解答。 【详解】由分析可知： 图形按1∶2缩小， 周长：12×＝6（cm） 面积：8××＝2（cm2） 一个图形的周长是12cm，面积是8cm2，将这个图形按1∶2缩小后，它的周长是6cm，面积是2cm2。 13．一幅地图上的线段比例尺是，将它改写成数值比例尺是（ ）；如果两地间的实际距离是600米，那么在这幅地图上要画（ ）厘米。 【答案】 1∶5000/ 12 【分析】由题可知，线段比例尺表示图上1厘米相当于实际距离50米；根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，将它改写成数值比例尺； 已知两地间的实际距离是600米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出两地的图上距离。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【详解】1厘米∶50米 ＝1厘米∶5000厘米 ＝1∶5000 600米＝60000厘米 60000×＝12（厘米） 线段比例尺改写成数值比例尺是1∶5000；如果两地间的实际距离是600米，那么在这幅地图上要画12厘米。 14．一幅地图的比例尺是1∶5000000，图上距离8厘米的距离表示实际（ ）千米的距离，如果实际距离是150千米，在这幅图上应画（ ）厘米。 【答案】 400 3 【分析】根据比例尺的意义可知：比例尺1∶5000000表示实际距离是图上距离的5000000倍。已知图上距离8厘米，用图上距离×5000000求出实际距离，再根据1千米＝100000厘米，将结果换算成千米即可。先将实际距离是150千米换算成厘米，再用实际距离÷5000000即可求出图上距离。 【详解】8×5000000＝40000000（厘米） 40000000厘米＝400千米 150千米＝15000000厘米 15000000÷5000000＝3（厘米） 图上距离8厘米的距离表示实际400千米的距离，如果实际距离是150千米，在这幅图上应画3厘米。 15．在一幅比例尺是的地图上，量得甲乙两地的距离为3.04厘米，那么这两地的实际距离是（ ）千米；如果汽车每小时行驶80千米，从甲地到乙地需要（ ）小时。 【答案】 608 7.6 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，进行换算；再根据路程÷速度＝时间，列式计算即可。 【详解】3.04÷＝3.04×20000000＝60800000（厘米）＝608（千米） 608÷80＝7.6（小时） 这两地的实际距离是608千米；从甲地到乙地需要7.6小时。 16．某小区1号楼的实际高度为35m，与模型高度的比是50∶1，模型的高度是（ ）cm。 【答案】70 【分析】根据实际高度与模型高度的比，可知实际高度是模型高度的50倍，我们可以用实际高度除以50得到模型高度，最后注意单位换算。 【详解】35÷50＝0.7（m） 0.7×100＝70（cm） 所以模型的高度是70cm。 17．李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯（ ）米。 【答案】/ 【分析】已知参加比赛的三个人的速度是一定的，所以在相同的时间内，三个人所跑的路程比也是一定的。设当杨洋跑到终点时，张雯还差x米到达终点，根据题意可知，当李伟到达终点时，杨洋和张雯所跑的路程比是（100－10）∶（100－15）；当杨洋到达终点时，杨洋跑的路程是100米，张雯跑的路程是（100－x）米，此时杨洋和张雯所跑的路程比是100∶（100－x）。根据路程比相等列出方程解方程即可。 【详解】解∶设当杨洋跑到终点时会领先张雯x米。 100∶（100－x）＝（100－10）∶（100－15） 100∶（100－x）＝90∶85 90×（100－x）＝100×85 90×（100－x）＝8500 90×（100－x）÷90＝8500÷90 100－x＝ x＝100－ x＝ 当杨洋跑到终点时会领先张雯米。 三、判断题 18．如果、互为倒数，那么与成反比例关系。（ ） 【答案】√ 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，两个相关联的量的乘积是一个定值则这两个量成反比例，据此解答即可。 【详解】、互为倒数，mn＝1，则m和n成反比例。 故答案为：√ 19．如果（x、y均不为0），那么。（ ） 【答案】× 【分析】先根据等式的性质2，把等式两边同时乘5，再根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，根据比例的基本性质的逆运算，进行解答。 【详解】x＝y 3x＝5y x∶y＝5∶3 如果x＝y（x、y均不为0），那么x∶y＝5∶3。 原题干说法错误。 故答案为：× 20．若火车行驶的路程不变，则它的行驶速度和所用时间成反比例。（ ） 【答案】√ 【分析】两种相关联的量，一个量变化另一个量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。 【详解】速度×时间＝路程，若火车行驶的路程不变，则它的行驶速度和所用时间成反比例，说法正确。 故答案为：√ 21．把一个足球场的平面图画在纸上，比例尺的前项为1，后项越大，画出的图越小。（ ） 【答案】√ 【分析】比例尺的前项代表图上的距离，后项代表实际的距离。比例尺的前项为1，后项越大，表示图上单位长度代表的实际距离越大，因此画出的图越小，可以举例说明，再进行判断。 【详解】例如足球场的实际长为100米，比例尺分别为1∶10与1∶100， 100米＝10000厘米 10000×＝1000（厘米） 10000×＝100（厘米） 所以选用1∶100画出的图比选1∶10的小，本题说法正确。 故答案为：√ 22．在比例3∶12＝4∶16中，3和16是比例的外项，12和4是比例的内项。（ ） 【答案】√ 【分析】在比例中，等号最外边的两个数是比例的外项，与等号相连的两个数是比例的内项，据此填空。 【详解】由分析可得：在比例3∶12＝4∶16中，3和16是比例的外项，12和4是比例的内项，原题说法正确。 故答案为：√ 23．一个圆柱的高不变，底面半径按照放大，则体积扩大到原来的6倍。（ ） 【答案】× 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，设圆柱的高为h，圆柱原来的半径为r，则放大后的半径是3r，把相应数值代入公式计算出现在圆柱的体积，与原来的体积比较，即可得出结论，据此判断。 【详解】原来圆柱的体积＝πr2h 现在圆柱的体积＝π（3r）2h＝9πr2h 现在圆柱的体积∶原来圆柱的体积 ＝9πr2h∶πr2h ＝9∶1 因此一个圆柱的高不变，底面半径按照3∶1放大，则体积扩大到原来的9倍，原题干的说法是错误的。 故答案为：× 四、计算题 24．解比例。                            【答案】；x＝8；x＝22.5 【分析】（1）先根据比例的基本性质，将原式转化为，即，再根据等式的性质2，将方程两边同时除以即可； （2）先根据比例的基本性质，将原式转化为9x＝18×9，即9x＝162，再根据等式的性质2，将方程两边同时除以9即可； （3）先根据比例的基本性质，将原式转化为0.2x＝18×，即0.2x＝4.5，再根据等式的性质2，将方程两边同时除以0.2即可。 【详解】（1） 解： （2） 解：9x＝18×4 9x＝72 9x÷9＝72÷9 x＝8 （3） 解：0.2x＝18× 0.2x＝4.5 0.2x÷0.2＝4.5÷0.2 x＝22.5 五、作图题 25．（1）画出长方形ABCD绕点B逆时针旋转90°后的图形。 （2）将长方形ABCD按2∶1放大后画在合适的位置。 （3）观察并思考，放大后的长方形与原长方形周长的比是（     ），面积的比是（     ）。 【答案】（1）图见详解 （2）图见详解 （3）2∶1；4∶1 【分析】（1）根据旋转的特征，将长方形ABCD绕点B逆时针旋转90°，点B位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 （2）将长方形ABCD按2∶1放大，则原来长方形的长、宽分别乘2，据此画出放大后的长方形。 （3）根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，分别求出原来和放大后长方形的周长、面积，再根据比的意义，求出放大后的长方形与原长方形周长的比、面积的比，并化简比。 【详解】（1）画出长方形ABCD绕点B逆时针旋转90°后的图形，如下图。 （2）放大后长方形的长：3×2＝6 放大后长方形的宽：2×2＝4 画一个长为6、宽为4的长方形，如下图。 （3）原来长方形的周长： （3＋2）×2 ＝5×2 ＝10 放大后长方形的周长： （6＋4）×2 ＝10×2 ＝20 原来长方形的面积：3×2＝6 放大后长方形的面积：6×4＝24 20∶10＝（20÷10）∶（10÷10）＝2∶1 24∶6＝（24÷6）∶（6÷6）＝4∶1 放大后的长方形与原长方形周长的比是2∶1，面积的比是4∶1。 26．操作。 （1）以O点为中心，按3∶1的比画出放大后的图形。 （2）放大前与放大后两个圆的面积比是（     ）。 （3）放大前与放大后两个圆的周长比是（     ）。 【答案】（1）见详解；（2）1∶9；（3）1∶3 【分析】（1）图中圆的半径是1格，根据图形放大与缩小的意义，按3∶1放大后的圆的半径是3格，据此画图即可； （2）根据圆的面积公式S＝πr2分别求放大前、后圆的面积，再根据比的意义写出比，然后再化简； （3）根据圆的周长公式C＝πd分别求放大前、后圆的周长，再根据比的意义写出比，然后再化简。 【详解】（1）半径占1格，放大后占3格。如下图： （2）（3.14×12）∶（3.14×32） ＝3.14×1∶（3.14×9） ＝1∶9 所以放大前与放大后两个圆的面积比是1∶9。 （3）[3.14×（1×2）]∶[3.14×（3×2）] ＝[3.14×2]∶[3.14×6] ＝2∶6 ＝（2÷2）∶（6÷2） ＝1∶3 所以放大前与放大后两个圆的周长比是1∶3。 27．百鸟林在孔雀园正东方向，距孔雀园450米；海豚馆在孔雀园正南方向，距孔雀园600米；虎山在孔雀园正西方向，距孔雀园900米。在下图中画出百鸟林、海豚馆和虎山的位置平面图（比例尺1∶30000）。 【答案】见详解 【分析】根据比例尺1∶30000可知：实际距离是图上距离的30000倍，先根据1米＝100厘米，将实际距离换算成厘米，再用实际距离÷30000，分别求出图上距离。地图上是上北下南，左西右东，结合方向距离，以孔雀园为观测点，确定各点的位置，并画出图上距离。据此解答。 【详解】450米＝45000厘米，45000÷30000＝1.5（厘米） 600米＝60000厘米，60000÷30000＝2（厘米） 900米＝90000厘米，90000÷30000＝3（厘米） 如图： 六、解答题 28．深圳世界之窗的埃菲尔铁塔模型的高度与当时原塔高度的比是1∶3，模型高度是108米。埃菲尔铁塔当时的实际高度是多少米？（用比例知识解） 【答案】324米 【分析】用比例解决问题只要比例两边的比统一即可，设埃菲尔铁塔当时的实际高度是x米，根据埃菲尔铁塔模型的高度∶当时原塔高度＝1∶3，列出比例解答即可。 【详解】解：设埃菲尔铁塔当时的实际高度是x米。 108∶x＝1∶3 x＝108×3 x＝324 答：埃菲尔铁塔当时的实际高度是324米。 29．某办公用品厂把一批纸张装订成作业本，如果每本30页，可以装订500本。如果每本25页，可以多装订多少本？（用比例知识解答） 【答案】100本 【分析】分析题目，设如果每本25页，可以装订x本，根据每本的页数×装订的本数＝总页数（一定）列出比例方程25x＝30×500，进一步解出比例方程即可得到如果每本25页，可以装订的本数，最后减去500即可解答。 【详解】解：设如果每本25页，可以装订x本。 25x＝30×500 25x＝15000 25x÷25＝15000÷25 x＝600 600－500＝100（本） 答：如果每本25页，可以多装订100本。 30．笑笑的爸爸下周准备到西安出差，下面是一幅比例尺为1∶30000000的地图（局部）。笑笑的爸爸12：55坐高铁从北京出发，每小时行驶216千米。 （1）他到达西安时看到的景象可能是（         ）。（填“落日余晖”或“繁星满天”） （2）请通过计算说明。 【答案】（1）落日余晖；（2）见详解 【分析】（1）根据题意，笑笑的爸爸12：55坐高铁从北京出发，估计傍晚时到达西安，据此得出看到的景象。 （2）从图中可知，在一幅比例尺为1∶30000000的地图上，北京到西安的图上距离是3.6厘米，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1千米＝100000厘米”，求出北京到西安的实际距离。 已知高铁的速度是每小时行驶216千米，根据“时间＝路程÷速度”求出从北京到西安所需的时间，再加上出发时刻，即可求出到达西安的时刻，据此得出他到达西安时看到的景象。 【详解】（1）他到达西安时看到的景象可能是（落日余晖）。 （2）3.6÷ ＝3.6×30000000 ＝108000000（厘米） 108000000厘米＝1080千米 1080÷216＝5（小时） 12时55分＋5小时＝17时55分 17：55即下午5：55，所以他到达西安时看到的景象可能是落日余晖。 31．一间房子要用方砖铺地，用面积是9平方分米的方砖，需用96块，如果改用面积是4平方分米的方砖，需用多少块？（用比例知识解） 【答案】216块 【分析】设需要x块，根据方砖面积×块数＝房子面积（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设需用x块。 4x＝9×96 4x÷4＝864÷4 x＝216 答：需用216块。 32．在交通日益发达的今天，货物运输的方式也多种多样，我国自行研制的“运－8”飞机运载量大，性能优越。下表是某架“运－8”飞机的运输时间和飞行距离情况。 运输时间/时 1 2 3 4 5 6 飞行距离/千米 600 1200 1800 2400 3000 3600 （1）“运－8”飞机的运输时间和飞行距离成（     ）比例。 （2）根据上表，把运输时间和飞行距离所对应的点在图中描出来，并连线。 （3）“运－8”飞机连续飞行时间最长可达10小时30分，达到世界领先水平。如果飞机早上6时从基地出发，中途不休息，最远能飞多少千米？（速度不变） 【答案】（1）正；（2）见详解；（3）6300千米 【分析】（1）判断两个相关联的量成什么比例，就要看这两个量是比值一定还是乘积一定，当比值一定时，这两个相关联的量成正比例，当乘积一定时，这两个相关联的量成反比例。据此解答。 （2）由图可知，横轴表示时间，一格代表1小时，纵轴表示飞行距离，一格代表600千米，根据表格中的数据先描点，再连线即可。 （3）由题可知，“运－8”飞机1小时可飞行600千米，连续飞行时间最长可达10小时30分，根据公式：路程＝速度×时间，即可求出最远可以飞行多少千米。 【详解】（1）由题可得：（千米/时）， 飞行距离和运输时间的比值一定，所以“运－8”飞机的运输时间和飞行距离成正比例。 （2）如图所示： （3）10时30分＝10.5时 600×10.5＝6300（千米） 答：最远能飞6300千米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版六年级数学下册第四单元：比例（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：比例的意义和基本性质 1、比例的意义 （1）定义：表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）核心条件：两个比的比值相等，才能组成比例。 （3）比和比例的联系和区别 2、比例的各部分名称 组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 3、比例的基本性质 比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 4、判断两个比能否组成比例的方法 （1）求出比值，看它们的比值是否相等； （2）根据比例的基本性质求“积”，看两个外项的积是否等于两个内项的积。 5、解比例 （1）定义：求比例中的未知项，叫做解比例。 （2）解比例的依据：比例的基本性质。 （3）解比例的方法：利用比例的基本性质将比例转化为外项之积与内项之积相等的等式，再通过解方程求出未知项的值。 【易错点】 （1）混淆“比”和“比例”：认为“两个数的比就是比例”，忽略比例是“两个相等比的等式”。 （2）找错内项和外项：在分数形式的比例中，误将分子和分子当作内项，实际交叉相乘的两项分别为外项和内项。 知识点02：正比例 1、相关联的量：两种量中，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量叫做相关联的量。 2、正比例 （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 （2）字母表达式：如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为。 （3）关键特征：比值一定，变化方向相同（一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小）。 （4）正比例的图象：如果把成正比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，形成一条射线；反之，该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 知识点03：反比例 1、定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2、字母表达式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy＝k。 3、关键特征：乘积一定，变化方向相反（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）。 4、反比例的图象：反比例关系也可以用图象来表示，如果把成反比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，会形成一条光滑的曲线；反之，该曲线上的每一个点对应的就是反比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 【易错点】 （1）忽略“相关联的量”前提：两种量无关联（如人的身高和体重），却判断成比例。 （2）混淆“比值一定”和“乘积一定”：如认为“长方形的周长一定，长和宽成反比例”，实际周长一定时，长+宽的和一定，比值和乘积都不固定，不成比例。 （3）漏判“定值”：如“正方形的边长和面积”，比值（面积÷边长=边长）不是定值，不成正比例。 知识点04：比例尺 1、比例尺的意义 （1）定义：一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 （2）公式表达：用公式表示为图上距离：实际距离＝比例尺，或 ＝比例尺 2、比例尺的分类 （1）按照表现形式分，比例尺有数值比例尺和线段比例尺两种，两种比例尺可以互相转化。 把线段比例尺改写成数值比例尺时，一定要统一单位。 ①数值比例尺：用数字比表示； ②线段比例尺：在图上画一条线段，并注明线段上的长度代表的实际距离。 （2）按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。 ①缩小比例尺：比例尺的前项为1（用于绘制地图、建筑平面图）； ②放大比例尺：比例尺的后项为1（用于绘制精密零件图纸）。 3、比例尺的实际应用 （1）已知图上距离和实际距离，求比例尺：先统一单位，然后根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”列式，并化简为比的前项或后项是“1”的形式。 （2）已知图上距离和比例尺，求实际距离：可以根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，用解比例的方法求出，也可以把比例尺看作一个比值，用“图上距离÷比例尺＝实际距离”直接计算。 （3）已知实际距离和比例尺求图上距离：可以用解比例的方法计算，也可以根据“图上距离＝实际距离×比例尺”直接计算。 4、应用比例尺画图 （1）先确定比例尺； （2）根据比例尺求出图上距离； （3）根据图上距离画出相应的平面图； （4）标明平面图的名称和比例尺。 【易错点】 （1）比例尺是一个比，没有单位。 （2）计算时单位必须统一。 （3）线段比例尺需先转化为数值比例尺，再进行计算。 知识点05：比例的应用 1、图形的放大与缩小 （1）图形按一定的比放大或缩小后，只是图形的大小发生了变化，图形原有的形状没变化。 （2）把图形按比放大或缩小，就是把图形的每一条边都按比放大或缩小。 2、用正、反比例知识解决问题的解题步骤： （1）根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例关系。 （2）找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例方程。 （3）解比例。 （4）检验并写出答语。 考点1：比例的意义和基本性质 【典型例题1】在比例10∶35＝6∶21中，如果将第二个比的前项加上30，第一个比的后项和第二个比的后项不变，那么第一个比的前项应加上（     ）才能使该比例成立。 A．60 B．50 C．40 D．30 【典型例题2】能与3∶8组成比例的是（     ）。 A．8∶3 B．0.2∶0.5 C．15∶40 D．6∶11 【练习】在a∶b＝c∶d中，b扩大到原来的5倍，要使比例成立，下列正确的是（     ）。 A．c也扩大到原来的5倍 B．d扩大到原来的5倍 C．a缩小到原来的 D．a和c同时缩小到原来的 考点2：解比例 【典型例题】若x∶4＝0.5∶2，则x的值是（     ）。 A．1 B．0.5 C．0.25 【练习】解比例。 2.8∶x＝0.2∶1.4         x∶30＝61∶65          考点3：正比例的意义和应用 【典型例题1】下面几组相关联的量中，成正比例关系的是（     ）。 A．圆的面积和它的半径 B．被减数一定，减数和差 C．订阅《小学生数学报》的份数和总钱数 D．三角形的面积一定，它的底和高 【典型例题2】小红的身高是1.2米，她直直的站立在操场上，测得她的影子长是2米。如果在同一时间、同一地点，测得一根直立在操场上的竹竿的影子长是3米，这根竹竿的高是多少米？（用比例解） 【练习】一艘轮船从甲港开往乙港，前2小时行驶了60千米。照这样的速度，从甲港到乙港还需要13小时，甲乙两港相距多远？（用比例解答） 考点4：正比例的图象问题 【典型例题】下图反映了某种花布购买的米数和应付钱数的关系。 （1）由图可见，购买的米数和应付的钱数成（ ）比例关系。 （2）从图中可知，32元可买（ ）米布；买5米布应付（ ）元。 【练习】如图是一汽车从甲地开往乙地的行驶情况，由图可知，汽车行驶的路程与所用时间成（ ）比例，汽车行驶的速度是（ ）千米/时。如果需要提前1小时到达乙地，速度应提高（ ）千米/时。 考点5：反比例的意义和应用 【典型例题1】如图，把质量相同的钩码，挂在杠杆的支撑点的两边，杠杆保持平衡，若把杠杆左、右两边的钩码各减少一个，则杠杆左端会（ ）。（填：上升、下降或不动） 【典型例题2】王老师一家春节开车回老家过年，平均每小时行100千米，3.4小时到达。回来时原路返回，平均每小时约行85千米，回程需要几小时？（用比例解答） 【练习】x和y是两种相关联的量，如果，x和y成（ ）比例；如果4x－3y＝0，x和y成（ ）比例。 考点6：比例尺的分类和改写 【典型例题】是（ ）比例尺，它表示地图上（ ）的距离相当于地面上实际距离（ ），改写成数值比例尺是（ ）。 【练习】把线段比例尺改写成数值比例尺是（     ）。 A．1∶20 B．1∶2000000 C．1∶60 D．1∶6000000 考点7：比例尺的实际应用 【典型例题1】港珠澳大桥是世界上最长的一座跨海大桥。在一幅比例尺是1∶250000的图纸上，量得桥全长是22厘米。一辆汽车以每小时80千米的速度通过此桥，需要多长时间？ 【典型例题2】把一块长400m，宽200m的长方形蔬菜大棚画在一张16开（18.4cm×26cm）的长方形纸上，选择比例尺（     ）合适。 A．1∶800 B．1∶30000 C．1∶2000 【练习】在比例尺1∶30000的图纸上量得甲、乙两地相距18厘米，那么在另一张比例尺是1∶40000的图纸上，这两地间的图上距离应是多少厘米？ 考点8：应用比例尺画图 【典型例题】请你根据题目要求设计主题公园。 三国水浒景区的正东方400m处是明清宫苑景区，西偏北40°方向150m处是旧上海景区。图中所要用到的比例尺是，请在图中右下角指定位置用数值比例尺形式表示出来。再在图中画出各景区的位置。 【练习】赵亮家在公园正东方向，距离公园400米；赵丽家在公园北偏东30°方向距离是300米；赵琴家在赵丽家正西方向200米处。在下图中画出他们三家和公园的位置平面图（比例尺是1∶10000）。 考点9：用比例解决问题 【典型例题1】某地推出了无人汽车运送物资服务。已知“无人车”一趟可运送0.6吨物资，一辆“无人小巴”一趟可运送1.4吨物资。现有一批物资，如果用“无人车”运送，需要运63趟；如果改用“无人小巴”运送，需要运几趟？ 【典型例题2】如果把一个三角形按3∶1放大，那么下面说法正确的是（     ）。 A．放大后的图形的内角与原图形的内角比是3∶1 B．放大后的图形的边长与原图形的边长比是3∶1 C．放大后的图形的面积与原图形的面积比是3∶1 D．放大后的图形的周长与原图形的周长比是9∶1 【练习】前进村用收割机收稻谷，前3天收割了267公顷，照这样计算，一周（7天）可以收割多少公顷？（用比例解） 一、选择题 1．下面（     ）组中的两个比可以组成比例。 A．15∶5和12∶4 B．和 C．2.4∶1.8和16∶10 2．在下面的两种相关联的量，成比例的是（     ）。 A．买同样的乒乓球的个数和钱数 B．一个人的年龄和身高 C．长方形的宽一定，周长和长 3．男生人数的等于女生人数的，则男、女生人数的比是（     ）。 A． B． C． 4．在一个比例尺是10∶1的图纸上，量得一个零件的长是4厘米，这个零件实际长（     ）。 A．4米 B．40厘米 C．4毫米 5．一个长方形按4∶1放大后，得到的图形与原图形比较，正确的是（     ）。 A．面积不变 B．面积缩小到原来的 C．面积扩大到原来的16倍 二、填空题 6．选择填写“成正、成反或不成”。 （1）三角形的高一定，它的底和面积（ ）比例； （2）圆的面积一定，它的半径和圆周率（ ）比例； （3）平行四边形的面积一定，它的底和高（ ）比例； （4）同学的年龄一定，他们的身高和体重（ ）比例。 7．若2，x，6，12四个数可以组成比例，那么x最大是（ ），最小是（ ）。 8．在比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是（ ）。 9．工作总量一定时，工作效率和工作时间成（ ）比例；如果x＝6y，（x、y≠0），则x与y成（ ）比例。 10．若7x＝8y（x和y都大于0），则x∶y等于（ ∶ ），若，则m×（ ）＝n×（ ）。 11．若a－b＝0，（a、b均不为0），a与b成（ ）比例关系；煤的数量一定，使用天数与平均每天的用煤量成（ ）比例关系。 12．一个图形的周长是12cm，面积是8cm2，将这个图形按1∶2缩小后，它的周长是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 13．一幅地图上的线段比例尺是，将它改写成数值比例尺是（ ）；如果两地间的实际距离是600米，那么在这幅地图上要画（ ）厘米。 14．一幅地图的比例尺是1∶5000000，图上距离8厘米的距离表示实际（ ）千米的距离，如果实际距离是150千米，在这幅图上应画（ ）厘米。 15．在一幅比例尺是的地图上，量得甲乙两地的距离为3.04厘米，那么这两地的实际距离是（ ）千米；如果汽车每小时行驶80千米，从甲地到乙地需要（ ）小时。 16．某小区1号楼的实际高度为35m，与模型高度的比是50∶1，模型的高度是（ ）cm。 17．李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯（ ）米。 三、判断题 18．如果、互为倒数，那么与成反比例关系。（ ） 19．如果（x、y均不为0），那么。（ ） 20．若火车行驶的路程不变，则它的行驶速度和所用时间成反比例。（ ） 21．把一个足球场的平面图画在纸上，比例尺的前项为1，后项越大，画出的图越小。（ ） 22．在比例3∶12＝4∶16中，3和16是比例的外项，12和4是比例的内项。（ ） 23．一个圆柱的高不变，底面半径按照放大，则体积扩大到原来的6倍。（ ） 四、计算题 24．解比例。                            五、作图题 25．（1）画出长方形ABCD绕点B逆时针旋转90°后的图形。 （2）将长方形ABCD按2∶1放大后画在合适的位置。 （3）观察并思考，放大后的长方形与原长方形周长的比是（     ），面积的比是（     ）。 26．操作。 （1）以O点为中心，按3∶1的比画出放大后的图形。 （2）放大前与放大后两个圆的面积比是（     ）。 （3）放大前与放大后两个圆的周长比是（     ）。 27．百鸟林在孔雀园正东方向，距孔雀园450米；海豚馆在孔雀园正南方向，距孔雀园600米；虎山在孔雀园正西方向，距孔雀园900米。在下图中画出百鸟林、海豚馆和虎山的位置平面图（比例尺1∶30000）。 六、解答题 28．深圳世界之窗的埃菲尔铁塔模型的高度与当时原塔高度的比是1∶3，模型高度是108米。埃菲尔铁塔当时的实际高度是多少米？（用比例知识解） 29．某办公用品厂把一批纸张装订成作业本，如果每本30页，可以装订500本。如果每本25页，可以多装订多少本？（用比例知识解答） 30．笑笑的爸爸下周准备到西安出差，下面是一幅比例尺为1∶30000000的地图（局部）。笑笑的爸爸12：55坐高铁从北京出发，每小时行驶216千米。 （1）他到达西安时看到的景象可能是（         ）。（填“落日余晖”或“繁星满天”） （2）请通过计算说明。 31．一间房子要用方砖铺地，用面积是9平方分米的方砖，需用96块，如果改用面积是4平方分米的方砖，需用多少块？（用比例知识解） 32．在交通日益发达的今天，货物运输的方式也多种多样，我国自行研制的“运－8”飞机运载量大，性能优越。下表是某架“运－8”飞机的运输时间和飞行距离情况。 运输时间/时 1 2 3 4 5 6 飞行距离/千米 600 1200 1800 2400 3000 3600 （1）“运－8”飞机的运输时间和飞行距离成（     ）比例。 （2）根据上表，把运输时间和飞行距离所对应的点在图中描出来，并连线。 （3）“运－8”飞机连续飞行时间最长可达10小时30分，达到世界领先水平。如果飞机早上6时从基地出发，中途不休息，最远能飞多少千米？（速度不变） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $