2026年广东中考数学一轮复习课件：第二章 方程与不等式

第二章 方程与不等式 第5讲 一次方程(组)及应用 广东省卷近年中考数学命题分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021 解一元一次方程 一元一次方程的应用 解二元一次方程组 题 16(2)，2 分 题 23(1)，2 分 题 11，4 分 二元一次方程组的应用 题 19，9 分 2022新课标 重要变化 ①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程(改动)；理解方程解的意义(新增). ②掌握代入(删除)消元法和加减消元法(删除)，能解二元一次方程组. 1.若代数式 x＋2 的值为 7，则 x 等于( ) C A.9 B.－9 C.5 D.－5 2.(传统文化)(2025 连云港)《九章算术》中有一个问题：“今 有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起， 问何日相逢？”(凫：野鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海 同时起飞，经过多少天能够相遇？”)如果设经过 x 天能够相遇， ) 根据题意，得( A 3.下列四组数中，不是二元一次方程 2x＋y＝4 的解的是( ) D 解：①＋②，得 5x＝15，解得 x＝3， 将 x＝3 代入①，得 3×3＋y＝8，解得 y＝－1， 类别 材料 彩色纸/张 细木条/捆 手工艺品 A 5 3 手工艺品 B 2 1 5.(2025 浙江)手工社团的同学制作两种手工艺品 A 和 B，需要 用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表. 如果一共用了 17 张彩色纸和 10 捆细木条，问他们制作的两 种手工艺品各有多少个？设手工艺品 A 有 x 个，手工艺品 B 有 y 个，则 x 和 y 满足的方程组是( ) C 1.一元一次方程的有关概念 (1)只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1 的整式方程， 叫做一元一次方程.其一般形式是 ax＋b＝0(a，b 为常数，且 a≠0). (2)使方程中等号左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方 程的解.方程的解又叫做方程的根. 回练课本 不是 是 1.判断方程的解：(填“是”或“不是”) (1)x＝2________方程 3x＋(10－x)＝20 的解； (2)x＝2________方程 4x＋6＝7x 的解. 2.一元一次方程的解法 (1)解法的依据是等式的基本性质. 性质①：若 a＝b，则 a±m＝b±m； 性质②：若 a＝b，则 am＝bm； (2)解法的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项； ④合并同类项；⑤未知数的系数化为 1. 回练课本 2.解下列方程： (1)4x－2＝3－x； (1)x＝1 (2)x＝8 3.二元一次方程组 (2)二元一次方程组的解法： 基本思想：消元思想，二元 一元. ①用代入法解二元一次方程组的一般步骤： a.从方程组中任选一个方程，将方程中的一个未知数用含有另 一个未知数的代数式表示出来； b.将这个代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到只含 有一个未知数的一元一次方程； c.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； d.将所求得的未知数的值代入原方程组的任一方程中，求出另 一个未知数的值，从而得到方程组的解. ②用加减法解二元一次方程组的一般步骤： a.方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数不互为相反 数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使它们中同一个未 知数的系数相等或互为相反数； b.把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到 一个一元一次方程； c.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； d.将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出 另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 回练课本 3.解下列方程组： 4.一次方程(组)的应用 (1)解应用题的步骤：①审清题意；②找等量关系；③设未知 数；④列方程(组)；⑤解方程(组)；⑥验根；⑦作答. (2)应用题的常见类型： ①工作(或工程)问题：工作量＝工作效率×工作时间； ②利息问题：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利 息； ③行程问题：路程＝速度×时间；其中，相遇问题：s甲＋s乙 ＝s总； 追及问题：(同地异时)前者走的路程＝追者走的路程； (异地同时)前者走的路程＋两地间的距离＝追者走的路程； ④航行问题：v顺＝v静＋v水；v逆＝v静－v水； 利润 ⑤利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝ 进价 ×100%； ⑥数字问题：两位数＝10×十位数字＋个位数字； 三位数＝100×百位数字＋10×十位数字＋个位数字； ⑦增长率问题：增长后的量＝基础量×(1＋增长率). 回练课本 4. 一支部队第一天行军 4 h ，第二天行军 5 h ，两天共行军 98 km，且第一天比第二天少走 2 km.第一天和第二天行军的平均 速度分别是多少？ 解：设第一天和第二天行军的平均速度分别是 x km/h，y km/h. 答：第一天和第二天行军的平均速度分别是 12 km/h，10 km/h. 一元一次方程及其应用 1.若关于 x 的一元一次方程 2x＋m＝5 的解为 x＝1，则 m 的值 为( ) A A.3 B.－3 C.7 D.－7 2.(2025 西安三模)太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩 戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激.一个太阳镜由两个镜片和一 个镜架组成.某工厂现共有 36 名工人，平均每人每天生产 70 个镜 架或 100 个镜片.应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片 恰好配套？ 解：设分配 x 名工人生产镜架，则有(36－x)人生产镜片， 由题意得 70x＝ 100(36－x) 2 ，解得 x＝15， ∴36－15＝21(人). 答：分配 15 名工人生产镜架，21 名工人生产镜片. 二元一次方程组及其应用 解：①×2＋②，得 5x＝25，解得 x＝5， 将 x＝5 代入①，得 5－2y＝1，解得 y＝2， 解二元一次方程组的方法选择：①当方程组中某一个未知数 的系数是1 或者－1时，选用代入消元法；②当方程组中同一个未 知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法；③当两个方 程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法. A.0 B.1 C.2 D.3 B 5.如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由 10 块形状大小相同的 长方形墙砖砌成. (1)求一块长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积. 解：(1)设一块长方形墙砖的长为 x m，宽为 y m. 答：一块长方形墙砖的长为 1.2 m，宽为 0.3 m. (2)2×1.2×1.5＝3.6(m2). 答：电视背景墙的面积为 3.6 m2. 6.(2025 吉林)吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的 发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、 乙两种商品的售价分别为每盒 25 元和 20 元.某游客购买了甲、乙 两种商品共10 盒，花费 230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品 的盒数. 解：设游客购买甲种商品 x 盒，购买乙种商品 y 盒， 答：游客购买甲种商品 6 盒，购买乙种商品 4 盒. 7.(2022 深圳)张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和 下等草.他卖五捆上等草的根数减去 11 根，就等于七捆下等草的根 数；卖七捆上等草的根数减去 25 根，就等于五捆下等草的根数.设上 等草一捆为 x 根，下等草一捆为 y 根，则下列方程组正确的是( ) C 8.(2022 广东)《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生 要凑钱购买 1 本.若每人出 8 元，则多了 3 元；若每人出 7 元，则 少了 4 元.问学生人数和该书单价各是多少？ 解：设学生有 x 人，该书单价为 y 元， 答：学生有 7 人，该书单价为 53 元. 运算能力特训——计算能力 一次方程(组)的实际应用 9.中国陶瓷闻名世界，某陶瓷厂生产某种茶具，其茶具生产车 间共有 25 名工人生产茶壶和茶杯. (1)该种茶具由 1 个茶壶和 6 个茶杯配成一套.已知一名工人一 天可以生产 3 个茶壶或 7 个茶杯，要使一天生产的茶壶和茶杯正 好配套，应分别安排多少名工人生产茶壶和茶杯？ 解：设应安排 x 名工人生产茶壶，则安排(25－x)名工人生产 茶杯， 根据题意，得 6×3x＝7(25－x)，解得 x＝7， ∴25－x＝25－7＝18(名). 答：应安排 7 名工人生产茶壶，18 名工人生产茶杯. (2)该陶瓷厂将生产完成的一批茶具用甲、乙两车运输到某市 场进行销售，甲车比乙车先出发 0.5 h，乙车出发 1 h 后，甲车在 乙车前方 15 km 处，假设运输过程中两车均匀速行驶，且乙车的 速度比甲车快 10 km/h，求两车的速度. 解：设甲车的速度为 a km/h，则乙车的速度为(a＋10)km/h， 根据题意，得 1.5a－1×(a＋10)＝15，解得 a＝50， ∴a＋10＝60(km/h). 答：甲车的速度为 50 km/h，乙车的速度为 60 km/h. (3)某批次的茶具在销售时，若 2 个茶壶的售价与 5 个茶杯的 售价相同，3 个茶壶的售价比 7 个茶杯的售价多 3 元，求茶壶与茶 杯每个的售价各为多少元. 解：设每个茶壶的售价为 m 元，每个茶杯的售价为 n 元， 答：每个茶壶的售价为 15 元，每个茶杯的售价为 6 元. (4)茶具销售分为套装销售和散装销售，套装销售即 1 个茶壶 与 6 个茶杯一起出售，套装售价为 45 元，已知茶壶和茶杯每个的 成本为 12 元和 3 元.国庆期间，厂家对套装销售进行打折促销，且 保证最终利润率为 20%，求厂家是按售价的几折进行销售. 解：设厂家是按售价的 y 折进行销售， 解得 y＝8. 答：厂家是按售价的八折进行销售. $第7讲 一元二次方程及应用 广东省卷近年中考数学命题分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021 一元二次方程的解 题 14，3 分 题 14，4 分 解一元二次方程 一元二次方程 根的判别式 题 13，3 分 题 13，3 分 一元二次方 程的应用 题 7，3 分 2022新课标 重要变化 了解一元二次方程的根与系数的关系.(删除“*”，改为必学) 1.方程 x2＝1 的根是( ) C A A.x＝1 B.x＝－1 C.x＝±1 D.x＝±2 ) 2.关于 x 的一元二次方程 x2＋mx－8＝0 的根的情况是( A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 3.若关于 x 的一元二次方程 x2＋3x－a＝0 有两个不相等的实 数根，则 a 的取值范围是________. D 4.(2025 湖北)一元二次方程 x2－4x＋3＝0 的两个实数根为 x1， ) x2，下列结论正确的是( A.x1＋x2＝－4 C.x1x2＝4 B.x1＋x2＝3 D.x1x2＝3 5.解方程：x2－6x＋5＝0. 解：移项，得 x2－6x＝－5， 方程两边都加上 9，得 x2－6x＋9＝－5＋9， 即(x－3)2＝4，则 x－3＝±2，所以 x1＝5，x2＝1. 6.(传统文化)(2025 辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘 除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步， 问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为 864 平方步， 只知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形 的宽为 x 步，根据题意可列方程为( ) A A.x(60－x)＝864 C.x(60＋x)＝864 B.x(x－60)＝864 D.2[x＋(x＋60)]＝864 1.一元二次方程 (1)概念：只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且 二次项系数不为 0 的整式方程，叫做一元二次方程. (2)一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中 ax2 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项，a 是二次项的系数， b 是一次项的系数，注意 a≠0. a≠－1 1 －1 －5 回练课本 1.(1)若(a＋1)x2－4x－1＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 a 满 足________； (2)方程 x2－x＝5 的二次项的系数是________，一次项的系数 是________，常数项是_________. 2.一元二次方程的解法 (1)基本思路：降次. (2)方法： ①直接开平方法：(x＋m)2＝n(n≥0)的根是_______________； ②配方法：将 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)化成__________________ 的形式，当____________时，用直接开平方法求解； ③公式法：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为 x＝__________ ___________________________； b2－4ac≥0 回练课本 2.解下列方程： (1)x2＋2x＝0； (2)x2＋x－12＝0. (1)x1＝0，x2＝－2 (2)x1＝3，x2＝－4 ④因式分解法：将方程右边化为 0，左边化为两个一次因式的 积，令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一 次方程就得到原方程的解. 3.一元二次方程根的判别式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是 b2－4ac. (1)当 b2－4ac＞0 时，方程有_______________的实数根； (2)当 b2－4ac＝0 时，方程有____________的实数根； (3)当 b2－4ac＜0 时，方程______________. 回练课本 3. 有下列方程：①x2 －4x －7 ＝0 ；②2x2 － x ＋1 ＝0； ③x2－8x＋17＝0.其中有两个不相等的实数根的是__________，无 实数根的是__________.(填序号) ① ③ 两个不相等 两个相等 无实数根 4.一元二次方程的根与系数的关系 回练课本 4.已知方程 x2－6x－15＝0 的两个根分别为 x1，x2，则： (1)x1＋x2＝__________； (2)x1·x2＝__________. 6 －15 5.一元二次方程的应用 解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程，最 后还要注意检验求出的未知数的值是否符合实际意义. 回练课本 5.两个数的和为 8，积为 9.75，求这两个数.若设其中一个数为 x，则列方程得__________________. x(8－x)＝9.75 一元二次方程的解及其解法 1.若 x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2＋mx－6＝0 的一个根， 则 m＝________. 2.用配方法解方程 x2－4x－1＝0 时，配方后正确的是( ) B.(x＋2)2＝17 D.(x－2)2＝17 A.(x＋2)2＝3 C.(x－2)2＝5 3.方程 x2＝2x 的解是( ) A.x＝0 B.x＝2 C.x＝0 或 x＝2 D.x＝ 5 C C 4.(2025 齐齐哈尔)解方程：x2－7x＝－12. 解：整理得 x2－7x＋12＝0， 因式分解得(x－4)(x－3)＝0， ∴x－4＝0 或 x－3＝0， 解得 x1＝4，x2＝3. 解一元二次方程一般优先考虑直接开平方法，其次因式分解 法，最后公式法或配方法.若题目要求用特定方法，则按要求解题. 一元二次方程根的判别式 5.已知关于 x 的方程 x2－(2k－2)x＋k2－1＝0 有两个实数根， A.－1 B.1 C.－1－2k D.2k－3 6.(2025 广东)不解方程，判断一元二次方程 2x2＋x－1＝0 的 根的情况是________________________. A 有两个不相等的实数根 7.已知关于 x 的一元二次方程 kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0 有两个 不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围； (2)当 k＝1 时，用配方法解方程. 一元二次方程根与系数的关系 9.(代数推理)(2025 南充)设 x1，x2 是关于 x 的方程(x－1)(x－2) ＝m2 的两根. (1)当 x1＝－1 时，求 x2 及 m 的值； (2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0. (2)方程(x－1)(x－2)＝m2可化简为x2－3x＋2－m2＝0. ∵Δ＝9－4(2－m2)＝4m2＋1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根. ∴x1＋x2＝3，x1·x2＝2－m2. ∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1 ＝2－m2－3＋1＝－m2. ∵m2≥0，∴－m2≤0，即(x1－1)(x2－1)≤0. 一元二次方程的应用 10.电动自行车已成为市民日常出行的常用工具.据某市某品 牌电动自行车经销商 1 至 3 月份统计，该品牌电动自行车 1 月份 销售 150 辆，3 月份销售 216 辆. (1)求该品牌电动自行车销售量的月均增长率； (2)假设每月的增长率相同，预计 4 月份的销量会达到 300 辆 吗？ 解：(1)设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 x， 由题意得 150(1＋x)2＝216， 解得 x1＝－2.2(不合题意，舍去)，x2＝0.2＝20%， 答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 20%. (2)4 月份的销量为 216×(1＋20%)＝259.2(辆)， ∵259.2＜300，∴预计 4 月份的销量不会达到 300 辆. 11.(2025 广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术 制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年 5 月产值达到 2 500 万元，预计 7 月产值将增至 9 100 万元.设该公司 6，7 两个 月产值的月均增长率为 x，可列出的方程为( ) A A.2 500(1＋x)2＝9 100 B.2 500(1－x)2＝9 100 C.2 500(1－2x)2＝9 100 D.2 500(1＋2x)2＝9 100 12.为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园 ABCD(如图)，生态园一面靠墙(墙足够长)，另外三面用 18 m 的篱 笆围成.生态园的面积能否为 40 m2？如果能，请求出 AB 的长；如 果不能，请说明理由. 13.(2022 广东)若 x ＝1 是方程 x2 －2x ＋a ＝0 的根，则 a ＝ ________. 14.(2024 广东)若关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋c＝0 有两个 相等的实数根，则 c＝________. 15.(2019 广东)已知 x1，x2是一元二次方程 x2－2x＝0 的两个实 数根，下列结论错误的是( ) 1 1 D 16.(2021 广东)若一元二次方程 x2＋bx＋c＝0(b，c 为常数)的 两根 x1，x2 满足－3＜x1＜－1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程 为____________________. x2－2＝0(答案不唯一) 运算能力特训——计算能力 18.解方程：3x2＋4x－1＝0.(用配方法) 19.某社区利用一块矩形空地 ABCD 建了一个小型停车场，其 布局如图所示.已知 AD＝52 m，AB＝28 m，阴影部分设计为停车 位，要铺花砖，其余部分均为宽度为 x 米的道路.已知铺花砖的面 积为 640 m2. (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位50个，据调查分析， 当每个车位的月租金为 200 元时，可全部租 出；若每个车位的月租金每上涨 5 元，就会 少租出 1 个车位.当每个车位的月租金上涨多 少元时，停车场的月租金收入为 10 125 元？ 解；(1)根据道路的宽为 x 米，根据题意得， (52－2x)(28－2x)＝640， 解得 x1＝34(舍去)，x2＝6. 答：道路的宽为 6 米. (2)设月租金上涨 a 元，∵停车场月租金收入为 10 125 元， 答：每个车位的月租金上涨 25 元时，停车场的月租金收入为 10 125 元. 教材难题生长——思维能力 20.(北师9上P33 问题解决改编)(运算能力、几何直观、应用 意识)(数学文化)从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿 都进不去，横着比门框宽 4 尺，竖着比门框高 2 尺，另一个醉汉 教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好 进去了.求竹竿的长. 解：设竹竿的长为 x 尺，由题意得 (x－4)2＋(x－2)2＝x2，即 x2－12x＋20＝0， 解得 x1＝2(不符题意，舍去)，x2＝10. 答：竹竿的长为 10 尺. 21.(人教9上P18 阅读与思考、P22 拓广探索改编)(运算能力、 几何直观、应用意识)人们把 这个数叫做黄金分割数.五角星 是常见的图案，如图，在正五角星中存在黄金分割数，有 BF2＝ FG·BG，已知 BG＝2，则 FG＝________. $第6讲 分式方程 广东省卷近年中考数学命题分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021 解分式方程 题 16，7 分 题 9，3 分 分式方程的 应用 题 17，7 分 题 22(1)，4 分 1.方程 ＝1 的解是( 2 x＋3 ) B A.x＝1 B.x＝－1 C.x＝5 D.x＝－5 2.解方程： ＝5＋ 3 x－1 3x 1－x . 解：原方程两边同乘(x－1)，去分母，得 3＝5(x－1)－3x， 去括号，得 3＝5x－5－3x， 移项，合并同类项，得－2x＝－8， 系数化为 1，得 x＝4， 检验：将 x＝4 代入(x－1)中，得 4－1＝3≠0， 故原分式方程的解为 x＝4. 解：原方程两边同时乘(x＋1)(x－1)， 得 3(x－1)－(x＋1)＝0， 去括号，得 3x－3－x－1＝0， 解得 x＝2， 检验：把 x＝2 代入(x＋1)(x－1)≠0， ∴分式方程的解为 x＝2. A 5.(2025 深圳)某社区植树 60 棵，实际种植人数是原计划人数 的 2 倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了 3 棵.若设原计划人 数为 x 人，则下列方程正确的是( ) A 1.分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 回练课本 不是 是 2.分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程. (2)常用方法：①去分母法；②换元法. (3)去分母法的步骤：①去分母，将分式方程转化为整式方程； ②解所得的整式方程；③检验作答. (4)换元法的步骤：①设辅助未知数；②得到关于辅助未知数 的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代回原式 中，求出原来未知数的值；④检验作答. (5)解分式方程，在把分式方程转化为整式方程时，有时可能 产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根)，所以解分 式方程时要验根. 回练课本 2.解下列方程： (1)x＝3 (2)无解 3.分式方程的应用 (1)解分式方程应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列 出分式方程，最后要验根. (2)温馨提示：双验根，既要检验是否为分式方程的增根(增根 舍去)，又要检验是否符合实际意义. 回练课本 3.一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江 顺流航行 90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用时间 相等.若设江水的流速为 v km/h，则可列出方程为________________. 分式方程的解与解法 C x＝1 解：原方程去分母得 3x＝2x＋2， 解得 x＝2, 检验：当 x＝2 时，x(x＋1)≠0， 故原方程的解为 x＝2. 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.方法是 方程两边都乘最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有 时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根， 因此解分式方程时必须检验. 分式方程无解 4.(2025 凉山州)若关于 x 的分式方程 x＋m x－2 ＋ 1 2－x ＝3 无解，则 m＝________. －1 分式方程的应用 5.某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动.纪念馆距学校 72 千米，一部分学生乘坐大型客车先行，出发 12 分钟后，另一部 分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达.已知小型客车的速度是 大型客车速度的 1.2 倍，求大型客车的速度. 经检验，x＝60 是原方程的根. 答：大型客车的速度是 60 千米/时. 6.水碧万物生，岳阳龙虾好.小龙虾产业已经成为岳阳乡村振 兴的“闪亮名片”.已知翠翠家去年龙虾的总产量是 4 800 kg，今 年龙虾的总产量是 6 000 kg，且去年与今年的养殖面积相同，平均 亩产量去年比今年少 60 kg，求今年龙虾的平均亩产量. 解：设今年龙虾的平均亩产量为 x kg， 经检验，x＝300 是所列方程的解，且符合题意. 答：今年龙虾的平均亩产量为 300 kg. 处理(x＋10)GB 数据，由题意得 ，解得 x＝20， 7.(2025 大庆)某公司开发了两款 AI 模型，分别为模型 A 和模 型 B.由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据.已知模型 B 比模型 A 每小时多处理 10 GB 数据，模型 B 处理 300 GB 数据 的时间与模型 A 处理 200 GB 数据的时间相同，求模型 A 每小时 能处理多少 GB 数据？(备注：GB 为数据的存储单位) 解：设模型 A 每小时能处理 x GB 数据，则模型 B 每小时能 经检验，x＝20 是原方程的解，且符合题意. 答：模型 A 每小时能处理 20 GB 数据. ＝ 300 x＋10 200 x A.x＝－3 C.x＝3 B.x＝－9 D.x＝9 D 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断 小李的解答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程. 解：小李的解法中，第一步是去分母. 去分母的依据是等式的基本性质. 小李的解答过程第一步不正确.正确的解答过程如下： 整理得 1－x＝－1－2x＋4，移项、合并同类项，得 x＝2. 检验：当 x＝2 时，x－2＝0， ∴原分式方程无解. 运算能力特训——计算能力 去分母得 x2－4x＋4－16＝x2－4＋4x＋8， 移项、合并同类项得 8x＝－16，解得 x＝－2， 经检验，x＋2＝0，分式方程无解，则不存在实数 x 使得两代 数式相等. $第8讲 不等式与不等式组 广东省卷近年中考数学命题分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021 不等式的性质 解一元一次不等式 解一元一次不等式组 题 12，3 分 题 8，3 分 题 16，8 分 题 18，6 分 一元一次不等式的应用 题 14，3 分 ＜ 1.如果 a＞b，那么下列运算正确的是( ) D x＞2 A.a－3＜b－3 B.a＋3＜b＋3 C.3a＜3b D. a b －3 －3 2.不等式 4x－8＞0 的解集为________. A C B D C 解：解不等式①，得 x≥－4， 解不等式②，得 x＜5， ∴不等式组的解集为－4≤x＜5. 5.(2025 资阳)某社团计划开展手工制作活动，制作需使用 A， B 两款材料包.购买 3 份 A 款材料包和 2 份 B 款材料包需 84 元， 购买 2 份 A 款材料包和 3 份 B 款材料包需 86 元. (1)问购买一份 A 款材料包和一份 B 款材料包各需多少元？ (2)该社团打算购买 A，B 两款材料包共 50 份，总费用不超过 830 元，则至少购买 A 款材料包多少份？ 解：(1)设购买一份 A 款材料包需 x 元，购买一份 B 款材料包 需 y 元， 答：购买一份 A 款材料包需 16 元，购买一份 B 款材料包需 18 元. (2)设购买 A 款材料包 m 份，则购买 B 款材料包(50－m)份， 由题意得 16m＋18(50－m)≤830，解得 m≥35， ∴m 的最小值为 35. 答：至少购买 A 款材料包 35 份. 1.不等式的基本性质 (1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不 变. (2)不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不 变. (3)不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改 变. 回练课本 1.设 a＞b，用“＜”或“＞”填空： (1)a＋2________b＋2； (2)－4a________－4b； ＞ ＜ ＞ 2.解不等式 求不等式解集的过程称为解不等式. x＜1 回练课本 2.利用不等式的性质解不等式 3x＜2x＋1，得________. 3.解一元一次不等式的一般步骤 (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的 系数化为 1. 在(1)至(5)步的变形中，一定要注意不等号的方向是否需要改 变. 回练课本 3.解不等式：2(1＋x)＜3，并在数轴上表示解集. 4.一元一次不等式组 (1)一元一次不等式组的定义：一般地，关于同一个未知数的 几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. (2)一元一次不等式组的解集：组成一元一次不等式组的各个 不等式的解集的公共部分，称为这个一元一次不等式组的解集. (3)解一元一次不等式组：先求出各个不等式的解集，再确定 其公共部分，即为原不等式组的解集. (4)借助数轴，熟练掌握以下四种基本不等式组的解集.(其中 a<b) x≤a a≤x≤b 回练课本 5.列一元一次不等式(组)解应用题 列不等式(组)解应用题的基本步骤和列方程解应用题的步骤 相类似，即： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题目 中的不等关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”“小于”“不 小于”“不大于”“不少于”“不低于”“不多于”“至多”“超 过”“至少”“不足”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题目中的不等关系，列出不等式(组)； (4)解：解出所列不等式(组)的解集； (5)答：写出答案，并检验答案是否符合题意. 回练课本 5.小明准备用 26 元买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠 2 元， 一盒方便面 3 元，他买了 5 盒方便面，他最多还能买多少根火腿 肠？ 解：设他还能买 x 根火腿肠，根据题意，得 2x＋3×5≤26，解得 x≤5.5. ∵x 为整数，∴x 的最大值为 5. 答：他最多还能买 5 根火腿肠. 不等式的性质 1.已知 a－1＞0，则下列结论正确的是( ) A.－1＜－a＜a＜1 C.－a＜－1＜a＜1 B.－a＜－1＜1＜a D.－1＜－a＜1＜a 2.已知 a＞b，则下列各式中一定成立的是( ) A.a－b＜0 B.2a－1＜2b－1 B D 解一元一次不等式 3.不等式 x＋8＜4x－1 的解集是( ) B A.x＜3 B.x＞3 C.x＜－3 D.x＞－ 1 3 A C B D C 解：去分母，得 10－4x＜1－x， 移项，得－4x＋x＜1－10， 合并同类项，得－3x＜－9， 系数化为 1，得 x＞3. 解一元一次不等式组 上表示出来. 解：解不等式①，得 x＞－1，解不等式②，得 x≤2， ∴原不等式组的解集为－1＜x≤2， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图： 解一元一次不等式组需先解各个不等式，然后根据“同大取 大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”的口诀对解 集进行推理. －17≤P＜－7 一元一次不等式(组)的应用 8.快递运费通常按邮件质量计算，某快递公司规定：省内邮件 质量不超过 1 千克时收费 10 元；邮件质量超过 1 千克时，超过的 部分按每千克 3 元收费.若省内寄快递的费用不超过 28 元，则邮件 的质量最多为多少千克？ 解：设邮件的质量为 x 千克，根据题意得 10＋3(x－1)≤28，解得 x≤7， ∴x 的最大值为 7. 答：邮件的质量最多为 7 千克. 9.创建文明城市，构建美好家园.为提高垃圾分类意识，幸福 社区决定采购 A，B 两种型号的新型垃圾桶.若购买 3 个 A 型垃圾 桶和 4 个 B 型垃圾桶共需要 580 元，购买 6 个 A 型垃圾桶和 5 个 B 型垃圾桶共需要 860 元. (1)求两种型号垃圾桶的单价. (2)若需购买两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15 000 元，至少需购买 A 型垃圾桶多少个？ 解：(1)设 A 型垃圾桶的单价为 x 元，B 型垃圾桶的单价为 y 元， 答：A 型垃圾桶的单价为 60 元，B 型垃圾桶的单价为 100 元. (2)设购买 A 型垃圾桶 a 个，由题意得 60a＋100(200－a)≤15 000，解得 a≥125. 答：至少需购买 A 型垃圾桶 125 个. 10.(2025 内蒙古)智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋 势之一.某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行 采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态 下，该机器人的每一个机械手平均 a 秒采摘一个成熟的苹果，它 的一个机械手用 800 秒采摘苹果的个数比用 600 秒采摘苹果的个 数多 25 个. (1)求 a 的值. (2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人 共同完成.每个机器人搭载 4 个相同的机械手，那么至少需要多少 个这样的机器人同时工作 1 小时，才能使采摘的苹果个数不少于 10 000 个？ 解：(1)由题意得 25a＝800－600，解得 a＝8. 答：a 的值为 8. (2)设需要 x 个这样的机器人， 又∵x 为正整数，∴x 的最小值为 6. 答：至少需要 6 个这样的机器人同时工作 1 小时，才能使采 摘的苹果个数不少于 10 000 个. A.－1＜x＜4 B.x＜4 C.x＜3 D.3＜x＜4 12.(2024 广东)关于 x 的不等式组中，两个不等式的解集如图 所示，则这个不等式组的解集是________. D x≥3 由①得 x＞1，由②得 x＜2， ∴不等式组的解集为 1＜x＜2. 15.(2023 广东)某商品进价 4 元，标价 5 元出售，商家准备打 折销售，但其利润率不能少于 10%，则最多可打______折. 8.8 16.(2019 广东)某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮 球、足球共 60 个，已知每个篮球的价格为 70 元，每个足球的价 格为 80 元. (1)若购买这两类球的总金额为 4 600 元，求篮球、足球各买 了多少个？ (2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可 购买多少个篮球？ 解：(1)设购买篮球 x 个，购买足球 y 个， 答：购买篮球 20 个，购买足球 40 个. (2)设购买 a 个篮球，则购买(60－a)个足球. 依题意，得 70a≤80(60－a)，解得 a≤32. 答：最多可购买 32 个篮球. 运算能力特训——计算能力 17.新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解 集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”， ①② 教材难题生长——思维能力 18.(北师 8 下 P63 联系拓广改编)(运算能力、应用意识、创新 意识)观察下列式子： ①32＋42＞2×3×4； ②32＋32＝2×3×3； ③(－2)2＋42＞2×(－2)×4； ④(－5)2＋(－5)2＝2×(－5)×(－5). ＞ (1)填空：(－2)2＋(－3)2_______2×(－2)×(－3)；(填“＞” “＝”或“＜”) (2)探究：观察以上各式，它们有什么规律吗？请用含 a，b 的 式子表示你发现的规律； 解：∵(a－b)2≥0，∴a2－2ab＋b2≥0， ∴用含 a，b 的式子表示发现的规律为 a2＋b2≥2ab. 2 $