第22章函数学案 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第22章函数 第1-2课时：22.1函数的概念 一、教学目标 (一)知识与技能：了解变量、常量的概念，在具体问题情境中，能识别变量与常量. (二)过程与方法：经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点，逐步感知变量间的关系. (三)情感态度与价值观：经历函数概念的形成过程，体会变化与对应的数学思想，感悟事物之间相互联系并不断运动、变化、发展的哲学思想. 二、教学重点、难点 重点：掌握在简单的过程中辨别常量和变量的方法. 难点：体会变化与对应的数学思想，感悟事物之间相互联系. 三、教学过程 万物皆变 “万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化…… 问题1 汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为 s km，行驶时间为 t h. 1.请同学们根据题意填写下表： t/h 1 2 3 4 5 s/km 2.在以上这个过程中， 变化的量是：_______________；不变化的量是：_____________. 3.试用含 t 的式子表示 s ：________. 这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程___随行驶时间___的变化过程. 问题2 电影票售价为10元/张.第一场售出票150张票，第二场售出票205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入y 元. 1.第一场票房收入=_________________； 第二场票房收入=_________________； 第三场票房收入=_________________. 2.在以上这个过程中，变化的量是：________________________；不变化的量是：__________. 3.试用含 x 的式子表示 y ：________. 这个问题反映了票房收入____随售票张数____的变化过程. 问题3 你见过水中涟漪吗，如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径 r 分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积 S 分别为多少？ 1.圆的面积公式：_______. 当r=10cm时，S=____________； 当r=20cm时，S=____________； 当r=30cm时，S=____________. 2.在以上这个过程中， 变化的量是：______________________；不变化的量是：___________. 这个问题反映了圆的面积____随圆的半径____的变化过程. 问题4 用10m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长 x 分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，它的邻边长 y 分别为多少？ 1.请同学们根据题意填写下表： x/m 3 3.5 4 4.5 y/m 2.在以上这个过程中， 变化的量是：__________________；不变化的量是：_________. 3.试用含 x 的式子表示 y ：_______. 这个问题反映了矩形的一邻边长___随另一边长___的变化过程. 归纳 1.小结：在上面的问题反映了不同事物的变化过程，其中有些些量(例如时间 t，路程 s；售出票数 x，票房收入 y；圆的面积 S，半径 r…)的值按照某种规律变化；有些量的值始终不变(例如汽车的速度60km/h，电影票的单价10元/张，圆周率π…). 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量. 2.剖析：s = 60t，y =10x，S=πr2. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量. 练习 指出下列问题的变量和常量： (1)某市的自来水价为4元/t.现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为 x t，月应交水费为 y 元. 解：变量是用水量x和应交水费y，常量是水价4元/t. (2)某地手机通话费为0.2元/min.李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为 t min，话费卡中的余额为 w 元. 解：变量是通话时间 t 和话费余额 w，常量是话费0.2元/min和存入话费30元. (3)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为 r，圆周长为 C，圆周率(圆周长与直径之比)为π. 解：变量是圆的半径r和圆的周长C，常量是圆周率π. (4)把10本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放)，第一个抽屉放入 x 本，第二个抽屉放入 y 本. 解：变量是第一个抽屉放入的本数 x 和第二个抽屉放入的本数 y，常量是10本书. 忆一忆 甲、乙两地相距 s 千米，某人行驶全程所用的时间t(小时)与他的速度 v(千米/时)满足 vt = s，在这个变化过程中，下列判断中错误的是( ) A. s 是变量 B. t 是变量 C. v 是变量 D. s 是常量 问题1 在上一节课课本P71的问题(1)～(4)中，是否都存在两个变量？请你写出能表示同一个问题中的两个变量之间对应关系的式子. 问题(1)～(4)中都存在两个变量，表示两个变量之间的关系式分别为：s = 60t，y =10x，S=πr2，y=5-x. 问题2在上面的4个问题中，是哪一个量随哪一个量的变化而变化？当一个变量取定一个值时，另一个变量的值是唯一确定的吗？两个变量之间的对应关系有什么共同特征？ 上面4个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应. 思考 (1)如图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标 x表示时间，纵坐标 y 表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量.在心电图中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应值吗？ (2)下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以分别记作两个变量 x 与 y，对于表中每一个确定的年份 x，都对应着一个确定的人口数 y 吗？ 思考中的(1)(2)都满足 y 随 x 的变化而变化，且当 x取定一个值时，y 都有唯一确定的值与其对应. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值. 在P71的问题(1)～(4)及前面思考(1)(2)的两个变量中，哪些是自变量，哪些是自变量的函数. 当 t =1时，函数值 s =60； 当 t =2时，函数值 s =120；…… (1)在心电图中，时间 x 是自变量，心脏部位的生物电流 y 是 x 的函数. (2)在人口数统计表中，年份 x 是自变量，人口数 y 是x 的函数. 当 x =1984时，函数值 y =10.34； 当 x =1989时，函数值 y =11.06；…… 例1 汽车油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y(单位:L)随行驶路程 x(单位:km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km. (1)写出表示 y 与 x 的函数关系的式子. (2)指出自变量 x 的取值范围. (3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少油？ 解：(1)行驶路程 x 是自变量，油箱中的油量 y 是 x的函数，它们的关系为y =50-0.1 x 0.1 x表示什么意思？ (2)仅从式子 y =50-0.1x 看，x 可以取任意实数.但是考虑到 x 代表的实际意义为行驶路程，因此 x 不能取负数.行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量50，即 0.1x≤50 因此，自变量 x 的取值范围是 0≤x≤500 (3)汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数 y =50-0.1x 在 x =200时的函数值. 将 x =200代入 y =50-0.1x，得 y=50-0.1×200=30 汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油. 像 y =50-0.1 x 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用的方法.这种式子叫做函数的解析式. 练习 1.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式. (1)改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变. (2)每分向一水池注水0.1m3，注水量y(单位：m3)随注水时间x(单位：min)的变化而变化. (3)秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面 积y(单位：m2)随这个村人数n的变化而变化. (4)水池中有水10L，此后每小时漏水0.05L，水池中的水量V(单位：L)随时间t(单位：h)的变化而变化. 解：(1)x是自变量，S是x的函数，S=x2.(2) x是自变量，y是x的函数，y=0.1x. (3) n是自变量，y是n的函数，y=.(4) t是自变量，V是t的函数，V=10-0.05t. 2.梯形的上底长2cm，高3cm，下底长x cm大于上底长但不超过5cm.写出梯形面积S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围. 解：面积S关于x的函数解析式为，整理得 ，自变量x的取值范围是 2＜x≤5. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1、在圆的周长公式C=中，常量是________，变量是____________。 ( B H C A )2、如图，ABC的边长不变，BC边上的高AH的长为x在变化，若BC的长为8，则△ABC的面积y与x之间的关系式为___________________，其中常量是_____________，变量是________________________。 3、小明用40元钱购买5元/件的某种商品，则他剩余的钱y(元)与购买这种商品的件数x（件）之间的关系式为______________________，其中常量是_________________________，变量是____________________。 4、能力提升 (1)、小华在400米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(秒)与他跑步的速度v(米/秒)关系式为_________________________，其中_______________是常量，_____________________是变量。 (2)、在匀速运动中，若用S表示路程，v表示速度，t表示时间，那么对于S=vt,下列说法正确的是（ ） A、S、v、t三个都是变量、 B、S与v是变量，t是常量， C、v、t是变量，S是常量， D、S与t是变量，v是常量。 5、写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量。 (1)、甲乙两地相距1000千米，一人骑自行车以15千米/小时的速度从甲地前往乙地，用行驶时间t(小时)表示自行车离乙地的距离S(千米) (2)、用20cm的铁丝围成长方形，用长方形的长x(cm)表示面积S(cm)。 （3）底边长为10的三角形的面积y与高x之间的关系式； （4）某种弹簧原长20厘米，每挂重物1千克，伸长0.2厘米，挂上重物后的长度y(厘米)与所挂上的重物x(千克)之间的关系式； （5）某种饮水机盛满20升水，打开阀门每分钟可流出0.2升水，饮水机中剩余水量y(升)与放水时间x(分)之间的关系式。 （6）已知定活两便储蓄的月利率是0.0675%，国家规定，取款时，利息部分要交纳20%的利息税，如果某人存入2万元，取款时实际领到的金额y(元)与存入月数x的函数关系式. （7）拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果每小时用油4升，求油箱中剩余油量（升）与工作时间（时）之间的函数关系； 6、一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离S（米）由下面式子出： S=10t+2t，假如滑到坡底的时间为8s，试问坡长为多少米？其中式子中的变量、常量各是什么？ 7．如图6－2所示，长方形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上，AD=20cm，当B、C在平行线上运动时，长方形的面积发生了变化． （1）在这个变化过程中，自变量、常量各是什么？ （2）如果长方形的长AB为x（cm），长方形的面积可以表示为_____． （3）当长AB从25cm变到40cm时，长方形的面积从_____变到_____． 第3-4课时：函数的表示 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.学会用列表、描点、连线画函数图象； 2.提高识图能力分析函数图象信息能力. (二)过程与方法：学会观察、分析函数图象信息，体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解诀问题能力. (三)情感态度与价值观：学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣. 二、教学重点、难点 重点：1.函数图象的画法；2.观察分析图象信息. 难点：能够结合实际情境，从函数图象中获取信息并处理信息. 三、教学过程 创设情境 你坐过摩天轮吗？你坐在摩天轮上时，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 下图反应旋转时间t(分)与摩天轮上一点的高度h(米)之间的关系. 有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映. 即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观. 例如，正方形的面积S与边长x的函数解析式为S=x2.根据问题的实际意义，可知自变量x的取值范围是x＞0.我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系. 计算并填写下表： 自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否确定 了一个点(x，S)呢？ 在直角从标系中，画出上面表格中各对数值所对应的点，然后连 接这些点. 所得曲线上每一个点代表x的值与S的值的一种对应，例 如点(2，4)表示当x=2时，S=4. 表示x与S的对应关系的点有无数个.但是实际上我们只能描出其 中有限个点，同时想象出其他点的位置. 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 如左图的曲线即函数S=x2 (x＞0)的图象. 思考 下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温 T 如何随时间 t 的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息？ 可以认为，气温 T 是时间 t 的函数， 上图是这个函数的图象. 例2 如图(1)所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家.图(2)反映了这个过程中，小明离家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系. 根据图象回答下列问题： (1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ (2)小明吃早餐用了多少时间？ (3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？ (4)小明读报用了多少时间？ (5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 解：(1)由纵坐标看出，食堂离小明家0.6km；由横坐标看出，小明到食堂用了8min. (2)由横坐标看出，25-8=17，小明吃早餐用了17min. (3)由纵坐标看出，0.8-0.6=0.2，食堂离图书馆0.2km；由横坐标看出，28-25=3，小明从食堂到图书馆用了3min. (4)由横坐标看出，58-28=30，小明读报用了30min. (5)由纵坐标看出，图书馆离小明家0.8km；由横坐标看出，68-58=10，小明从图书馆回家用了10min，由此算出平均速度是0.08km/min. 例3 在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数.画出这些函数的图象： (1) y=x+0.5 (1)解：Ⅰ.列表： Ⅱ.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点. Ⅲ.连线：把这些点用平滑曲线连接起来，就得到y=x+0.5的图象，它是一条直线. 从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y=x+0.5随之增大. (2) y=(x＞0) 解：Ⅰ.列表： Ⅱ.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点. Ⅲ.连线：把这些点用平滑曲线连接起来，就得到y=(x＞0)的图象，它是一条曲线. 从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y=(x＞0)随之减小. 归纳 描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 练习 1.(1)画出函数y=2x-1的图象； (2)判断A(-2.5，-4)，B(1，3)，C(2.5，4)是否在函数y=2x-1的图象上. 解：(1)函数y=2x-1的图象如右图所示. (2)∵ 2×(-2.5)-1≠-4 2×1-1≠3 2×2.5-1＝4 ∴ 点A，B不在函数y=2x-1的图象上， 点C在函数y=2x-1的图象上. 2.如图是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象. (1)这一天内，上海与北京何时气温相同？ (2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪段时间比北京气温低？ 3.(1)画出函数y=x2的图象. (2)从图象中观察，当x＜0时，y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小？当x＞0时呢？ 解：(1)画函数y=x2的图象.(列表、描点、连线) Ⅰ.列表 Ⅱ.在直角坐标系中描点. Ⅲ.用平滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象. (2)当x＜0时，y随着x的增大而减小；当x＞0时， y随着x的增大而增大. 忆一忆 通过前面的学习，我们都可以用什么方法表示一些函数？ 写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都可以表示具体的函数.这三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法. y=2x-1 思考 三种表示函数的方法各有什么优缺点？它们之间有什么联系？ 例4 一个水库的水位在最近5h内持续上涨，下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y 表示水位高度. (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？ (2)水位高度 y 是否为时间 t 的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象.这个函数能表示水位的变化规律吗？ (3)据估计这种上涨规律还会持续2h，预测再过2h水位高度将为多少米. 解：(1)如图，描出上表中数据对应的点.可以看出，这6个点在一条直线上.再结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3m.由此猜想，如果画出这5h内其他时刻(如t =2.5h等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度匀速上升的. (2)由于水位在最近5h内持续上涨，对于时间 t 的每一个确定的值，水位高度 y 都有唯一的值与其对应，所以 y 是 t 的函数.开始时水位高度为3m，以后每小时水位上升0.3m.函数y=0.3t+3 (0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数，它表示经过 t h水位上升0.3t m，即水位y为(0.3t+3)m，其图象是右图中点A(0，3)和点B(5，4.5)之间的线段AB. 如果在这5h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3m/h，那么函数y=0.3t+3 (0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律.即使在这5h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3是确定的，因此这个函数可以近似地表示水位的变化规律. (3)如果水位的变化规律不变，则可利用函数 y=0.3t +3 预测，再过2h，即 t =5+2=7(h) 时，水位高度 y =0.3×7+3=5.1(m).或把右图中的函数图象(线段AB)向右延伸到 t =7所对应的位置，也能看出这时的水位高度约为5.1m. 由例4可以看出，函数的不同表示法之间可以转化. 练习 1.用列表法与解析式法表示n边形的内角和m(单位：度)关于边数n的函数. 解：列表为： 解析式为：m=180(n-2) (n≥3的整数) 2.用解析式法与图象法表示等边三角形的周长 l 关于边长 a 的函数. 解：解析式为：l = 3a (a＞0) 图象：如右图所示. 3.一条小船沿直线向码头匀速前进.在0min，2min，4min， 6min时，测得小船与码头的距离分别为200m，150m，100m， 50m.小船与码头的距离 s 是时间 t 的函数吗？如果是，写 出函数解析式，并画出函数图象.如果船速不变，多长时间 后小船到达码头？ 解：小船与码头的距离 s 是时间 t 的函数，函数解析式为： s =200-25 t (0≤t≤8) 其图象是下图中点A(0，200)和点B(8，0)之间的线段AB. 如果船速不变，当s =0时，200-25 t =0，解得 t =8，即 经过8min后小船到达码头. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1.一枝蜡烛长20cm,若点燃后每小时燃烧5cm,则燃烧剩余的长度h(cm)与燃烧时间t(时)之间的函数关系的图象大致为(如图所示) ( ) 2、一辆客车从甲站开放乙站,中途曾停车休息了一段时间,如果用横轴表示时间t,纵轴表示客车行驶的路程s,如图所示,下列四个图象能较好地反映s与t之间的函数关系的是( ) 二、填空题: 1.已知函数y=kx的图象经过点A(-2,2),则k=_________. 2.已知函数y=mx+n的图象经过点A(-1,3),B(1,-1),那么m=_____,n=_____. 3.函数y= 中,自变量x的取值范围是________. 4.若点P(a,-) 在函数y=-x的图象上,则a=_______. 5. 如图所示的是某地区某一天的气温随时间变化的图象, 请根据图象填空:_____时,气温最低,最低气温为_______℃,当天最高气温为_______℃,这一天的温差为℃_____,从______时至________时,气温低于0℃,从______时至_____时, 气温随时间的推移而上升. 6.当x2时，函数ykx2和y2xk的函数值相等，则k 。 三、基础训练: 如图所示的是某水库的水位高度随月份变化的图象,请根据图象回答下列问题: (1)5月份、10月份的水位各是多少米? (2)最高水位和最低水位各是多少米?在几月份? (3)水位是100米时,是几月份? 四、提高训练: 1. 求下列函数自变量x的取值范围 ① y=3x+1 ② ③ ④ ⑤ 2.已知等腰三角形的顶角为x°,底角为y°. (1)请写出y与x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围; (2)画出这个函数的图象. 五、中考题 1.如图所示的是某图书出租店图书的租金y(元)与出租的天数x(天)之间的函数图象,两天后,每过一天累计租金增加______元. 2. 若函数y2x 4中，x的取值范围是1 x 3，则求函数值y的范围。 3.一个蓄水池有15m3的水，用每分钟0.5m3的水泵抽水。  （1）求蓄水池水的余量Q（m3）与抽水时间t（分）之间的函数关系式；  （2）求自变量t的取值范围；  （3）抽水20分钟后蓄水池中还有多少水？ 4. 弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg) 有如下关系：  x/kg 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 12 12.5 13  13.5 14 14.5 15 (1) 请写出弹簧总长y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式，并画出图象。  (2) 照此规律当挂重10kg时，弹簧总长是多少？ 5、周末小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里，他离家的距离s（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示，根据这个图像回答下列问题。 ①小李到达离家最远的地方是什么时候？ ②小李何时第一次休息？ ③10时到13时，小李骑了多少千米？ ④返回时，小李的平均车速是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $