第21章 特殊的平行四边形 学案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第21章四边形 21.3特殊的平行四边形 第一课时：矩形的性质 一、教学目标 (一)知识与技能：理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理，能运用它进行有关的证明和计算. (二)过程与方法：经历从平行四边形到矩形的研究过程，体验“从一般到特殊”的研究方法，知道矩形与平行四边形的关系. (三)情感态度价值观：通过动手操作、观察比较、合作交流，激发学生的学习兴趣，体验探索与创造的快乐，感受数学的严谨性，体会数学的美. 二、教学重点、难点 重点：理解并掌握矩形的性质定理及推论，会用矩形的性质定理及推论进行推导证明. 难点：会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算. 三、教学过程 知识回顾 平行四边形的定义，及其边，角，对角线都有哪些性质呢？ 定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 两组对边分别平行；即：AD∥BC，AB∥CD 对边相等；即：AB=DC，AD=BC 对角相等；即：∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠CDA 对角线互相平分.即：AO=CO，BO=DO 矩形 现在来看一个平行四边形，当它的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会发生怎样的特殊情况.这时的图形是什么图形呢？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形. 探究 如图，在平行四边形的活动框架上，用橡皮筋做出两条对角线，改变这个平行四边形的形状.随着∠α的变化，两条对角线的长度怎样变化？当∠α变为直角时，平行四边形成为一个矩形，这时它的其它内角是什么样的角？它的两条对角线有什么关系？ 作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，另外，矩形还有以下性质： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD 你能证明矩形的这两个性质吗？ 求证：矩形的对角线相等. 已知：如图，四边形ABCD是矩形.求证：AC=BD. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵ AB=DC，BC=CB ∴ △ABC≌△DCB (SAS) ∴ AC=BD 即 矩形的对角线相等 思考 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.我们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？ BO=BD=AC 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 定理应用格式： ∵ 在Rt△ABC中，OA=OC ∴ OB=AC. 例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形对角线的长. 解：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AC与BD相等且互相平分 ∴ OA=OB 又 ∠AOB=60° ∴ △OAB是等边三角形 ∴ OA=AB=4 ∴ AC=BD=2OA=8 练习 1.一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一个交角为120°，求这个矩形的边长(结果保留小数点后两位). 解：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AC与BD相等且互相平分 ∴ OA=OB=OC= ×AC=×8=4 ∵ ∠AOD=120°，∴ ∠AOB=60° ∴ △OAB是等边三角形 ∴ AB=OA=4 又 ∠ABC=90° ∴ 在Rt△ABC中，BC===≈6.93 ∴ 矩形的边长分别是4和6.93 2.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ 解：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1、矩形的两条对角线的夹角为,较短的边长为12,则对角线长为 . 2、已知矩形ABCD，若它的宽扩大2倍，且它的长缩小四分之一，那么新矩形的面积等于原矩形ABCD面积的____________. 3、如图,矩形ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果,则 等于 ( ) A.15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、如图，过矩形ABCD的对角线上一点Ｋ，分别作矩形两边的平行线MN和PQ，那么图中矩 ( A B C D K P Q M N S 2 S 1 )形AMKP的面积S1和矩形QCNK的面积S2的大小关系是（　　） A、S1> S2 B、S1=S2 　　 C、S1<S2 　　D、不能确定 第二课时：矩形的判定 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.理解并掌握矩形的判定方法； 2.使学生能应用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力. (二)过程与方法：1从矩形性质定理的逆命题出发，提出猜想发现结论，然后给出证明进一步理解互逆命题的意义，体会矩形的性质与判定的区别与联系；2.让学生经历探索矩形判定定理的过程理解并掌握矩形的判定方法积累几何学习的经验，发展合情推理和演绎推理的能力. (三)情感态度价值观：在课堂活动中，通过观察、思考、猜想、证明，培养学生主动参与、乐于探究、勤于动手的学习习惯. 二、教学重点、难点 重点：矩形判定定理的运用. 难点：矩形判定方法的理解及应用. 三、教学过程 忆一忆 1.矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 想一想 工人师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行： (1)先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图①，使AB=CD，EF=GH； (2)摆放成如图②所示的四边形，则这时窗框的形状是___________，根据的数学道理是______________________________________； (3)将直角尺靠窗框的一个角，如图③，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，如图④，说明窗框合格，这时窗框是_____，根据的数学道理是____________ ____________________________________. 　　工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边 的长是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相 等，以确保图形是矩形. 你知道其中的道理吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 思考 我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平 行四边形是矩形吗？ 已知：四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵ 四形边ABCD是平行四边形 ∴ AB=DC，AB∥DC 又 AC=BD，BC=CB ∴ △ABC≌△DCB (SSS) ∴ ∠ABC=∠DCB ∵ AB∥DC ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=90° ∴ 四边形ABCD是矩形 矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形. 定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD ∴ 四边形ABCD是矩形 想一想 对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗？为什么？ 思考 前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形. 定理应用格式： ∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴ 四边形ABCD是矩形 例2如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°. 求∠OAB的度数. 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC=AC，OB=OD=BD 又 OA=OD ∴ AC=BD ∴ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠DAB=90° 又 ∠OAD=50° ∴ ∠OAB=40° 练习 1.八年级(3)班同学要在广场上布置一个矩形的花坛.计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？ 解：由于矩形对角线互相平分且相等，所以如果一条对角线用了38盆红花，那么还需要从花房运来38盆红花；如果一条对角线用了49盆红花，那么在对角线的交点处一盆，两边各24盆，所以还需要从花房运来48盆红花. 2.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4，求□ABCD的面积. 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AC=2AO，BD=2BO ∵ △OAB是等边三角形 ∴ AO=BO=AB=4 ∴ AC=BD=8 ∴ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠ABC=90° ∴ 在Rt△ABC中，BC=== ∴ S□ABCD=AB×BC=4×= 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行: (1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH; (2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是 形,根据的数学道理是: ; (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是 形,根据的数学道理是: . (图①) (图②) (图③) (图④) 2、如图，直线MN经过线段AC的端点A，点B、D分别在∠NAC和∠MAC的角平分线AE、AF上，BD交AC于点O，如果O是BD的中点，试找出当点O在AC的什么位置时，四边形ABCD是矩形，并说明理由. 第三课时：菱形的性质 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.理解菱形的定义，掌握菱形的特殊性质； 2.理解菱形的面积公式，会选择适当的方法计算菱形的面积. (二)过程与方法： 1.通过观察、实验、猜想、验证、推理交流等数学活动，发展学生的合情推理能力和动手操作能力及应用数学的意识与能力； 2.通过运用菱形知识解决具体问题，培养逻辑推理的能力和演绎能力. (三)情感态度价值观：在应用菱形性质的过程中培养学生独立思考的习惯，在数学学习活动中获得成功的体验，通过菱形性质的探索学习，体会它的内在美和应用美. 二、教学重点、难点 重点：掌握菱形的定义和性质及菱形面积的求法. 难点：灵活运用菱形的性质解决问题. 三、教学过程 菱形定义 我们观察平行四边形的一组邻边，如图，当这组邻边相等时，这时的平行四边形也是一个特殊的平行四边形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 折一折、剪一剪 将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开后你知道它是什么图形吗？ 从中你能得到菱形的哪些性质？ 菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴. 菱形还有以下性质： 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD AC平分∠BAD，AC平分∠BCD BD平分∠ABC，BD平分∠ADC 求证：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 已知：如图，菱形ABCD的对角线相交于O点. 求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC. 证明：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB=AD，OB=OD ∴ AC⊥BD，AC平分∠BAD (等腰三角形的三线合一) 同理，AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC. 如图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形. 由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？ S菱形ABCD=4S△ABO=4×AO×BO=×2AO×2BO=×AC×BD 例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位). 解：∵ 花坛ABCD的形状是菱形 ∴ AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30° 在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10 BO=== ∴ 花坛的两条小路长AC=2AO=20(m)、BD=2BO=≈34.64(m) 花坛的面积S菱形ABCD=AC·BD=≈346.4(m2) 练习 1.四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长. 解：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AC⊥BD，BD=2OB，AC=2AO=8 在Rt△AOB中，OB===3 ∴ BD=6 2.已知菱形的两对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积. 解：∵ 四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=6 ∴ AC⊥BD，AO=AC=4，BO=BD=3 在Rt△AOB中，OB===5 ∴ C菱形ABCD=4×5=20 S菱形ABCD=×6×8=24 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1、已知菱形周长是24cm,一个内角为60°，则面积为 cm２． 2、菱形的一个内角为120°,平分这个内角的一条对角线长为12 cm,则菱形的周长为____________. 3、菱形有_______条对称轴,对称轴之间具有___________的位置关系. 4、菱形具有而平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 一组邻边相等 D. 对角线相互平分 5、菱形ABCD中,AE⊥BC于E,若S菱形ABCD=24cm2,则AE=6cm,则菱形ABCD的边长为 (　　) A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 7 cm 6、在菱形ABCD中,AE⊥BC, AF⊥CD,且BE=EC, CF=FD,则∠AEF等于 ( ) A. 120° B. 45° C. 60° D. 150° 7、已知菱形的一条对角线与边长相等,则菱形的邻角度数分别为 ( ) A. 45°, 135° B. 60°, 120° C. 90°, 90° D. 30°, 150° 8、在菱形ABCD中,若∠ADC=120°,则BD:AC等于 ( ) A. :2 B. :3 C. 1:2 D. :1 第四课时：菱形的判定 一、教学目标 (一)知识与技能：经历菱形的判定方法的探究过程，掌握菱形的三种判定方法. (二)过程与方法：经历利用菱形的定义探究菱形其它判定方法的过程，培养学生动手实验、观察、推理的意识，发展学生的逻辑思维能力和演绎能力. (三)情感态度与价值观：在探究菱形判定方法的活动中获得成功的体验，通过运用菱形的判定和性质，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 二、教学重点、难点 重点：菱形的判定定理的探究. 难点：菱形的性质与判定的综合应用. 三、教学过程 忆一忆 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角 线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 探究 用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.转动木条，这个四边形什么时候变成菱形呢？ 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知：如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，且BD⊥AC. 求证：□ABCD是菱形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AO=CO ∵ BD⊥AC ∴ AB=BC (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等) ∴ □ABCD是菱形 思考 我们知道，菱形的四条边相等. 反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？ 求证：四条边相等四边形是菱形. 已知：如图，四边形ABCD，AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵ AB=CD，BC=AD ∴ 四边形ABCD是平行四边形 又∵ AB=BC ∴ 四边形ABCD是菱形 菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 菱形的判定定理2：四条边相等四边形是菱形. 定理1应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是菱形 定理2应用格式： ∵ AB=BC=CD=AD ∴ 四边形ABCD是菱形 例4如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证：□ABCD是菱形. 证明：∵ AB=5，AO=4，BO=3 ∴ AB2=AO2+BO2 ∴ △OAB是直角三角形 ∴ AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形 练习 2.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积. 解：四边形ABCD是菱形.理由如下： ∵ 四边形ABCD是平形四边形，AB=9，AC=12，BD= ∴ AO=AC=6，BO=BD= ∵ 62+()2=92 即 AO2+BO2=AB2 ∴ AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是菱形 ∴ S菱形ABCD=×12×= 3.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？ 解：四边形ABCD是菱形.理由如下： ∵ AB∥CD，AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形过点A分别作BC，CD边上 的高AE，AF，则AE=AF. ∵ S□ABCD=BC×AE=CD×AF ∴ BC=CD ∴ 四边形ABCD是菱形 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1、将一矩形纸片对折后再对折，如图（1）、（2），然后沿图（3）中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是（ ）. A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 ( 图1 ② 图3 图2 ① ) 2、在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为_____. 3、如图，已知□ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且EF垂直平分对角线AC，垂足为O，求证：四边形AECF是菱形。 4、 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作 DE∥AC，两线相交于点E. (1)求证：四边形AODE是菱形； (2)连接BE，交AC于点F.若BE⊥DE于点E，求∠AOD的度数. 第五课时：正方形 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.要求学生掌握正方形的概念及性质； 2.能正确运用正方形的性质进行简单的计算推理论证； 3.掌握正方形的判定条件. (二)过程与方法： 1.通过本节课培养学生观察动手探究、分析、归纳、总结等能力； 2.发展学生合情推理意识，主动探究的习惯，逐步掌握说理的基本方法. (三)情感态度与价值观：让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风，培养学生互相帮助、团结协作、相互讨论的团队精神，通过正方形图形的完美性，培养学生的美感. 二、教学重点、难点 重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系. 难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用. 三、教学过程 生活情境 正方形*自我介绍* 在四边形的大家庭中，我有四个兄弟. 老大是平行四边形，它性格温和；老二是矩形，它稳重大方，江湖上人称长方形；老三是菱形，它活泼可爱.我就是正方形老四，我集三位大哥的优点于一身，人见人爱. 正方形的四个角都是_____，四条边都_____.因此，正方形既是______，又是______，它既有______的性质，又有______的性质. 正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 实验探究 实验一：利用手中矩形纸片用最快的方法剪出一个正方形. 实验二：如何将一个活动的菱形框变成一个正方形？ 思考 1.如果四边形ABCD已经是一个矩形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？ 2.如果四边形ABCD已经是一个菱形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？ 3.如果四边形ABCD是一般的平行四边形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？ 有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 正方形有哪些性质？ 例5 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O， 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形. 证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形， 并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论一下，能列表或用框图表示出来吗？ 练习 1.(1)把一个长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ (2)如果是一个长方形木板，如何从中裁出一个最大的正方形木板呢？ 2.如图，ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，经测量知EC=30m，EB=10m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？ 解：连接AC. ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠B=90°，AB=BC 在Rt△BCE中，BC===(m) ∴ S正方形ABCD==800(m2) 在Rt△ABC中，AC==40(m) 3.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ (1)对角线互相垂直且相等的平行四边形； (2)对角线互相垂直的矩形； (3)对角线相等的菱形； (4)对角线互相垂直平分且相等的四边形. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1、正方形ABCD的对线AC、BD相交于点O，那么共得到 个等腰直角三角形. 2、把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上. (1)正方形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; (2)菱形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; (3)矩形可以由两个能够完全重合的 拼合而成. 3、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　　） A、对角线相等　B、对角线平分一组对角　　C、对角线互相平分　　D、对角线互相垂直 4、如图，已知正方形ABCD的边长为5，E为BC边上的一点，∠EBC=30°，则BE的长为 ( ) A、cm B、2cm C、5 cm D、10 cm 5、如图，正方形ABCD的边长为12 cm，在AB上有点P，且AP=5 cm，将正方形折叠，使点D与点P重合，折痕为EF，求△EAP的周长. 【拓展探究】 ( A B C D E G F )6、如图，已知四边形ABCD是正方形，延长BC到E，在CD上截取CF=CE，BF交DE于G，求证：BG⊥DE。 7、 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE. (1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由； (2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论. 8.如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF. (1)求证：∠ECF＝90°； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由； (3)在(2)的条件下，△ABC应该满足什么条件时，四边形AECF为正方形. 学科网（北京）股份有限公司 $