辽宁省大连市普通高中2025-2026学年高一寒假作业：专题4 动态平衡和平衡中的临界极值问题

专题4 动态平衡和平衡中的临界极值问题 一、动态平衡问题 动态平衡：物体所受的力中有些是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫作动态平衡。 分析方法 （1）列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式； （2）根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。 方法1　解析法的应用 此法常用于能快捷利用平衡条件或正交分解法列出平衡方程的情况，通过平衡态方程找出所求力的函数关系式，由角度变化推导出力的变化特点。 方法2　图解法的应用 此法常用于物体所受的三个力中， 有一个力为恒力，另一个力的大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的情况，画出物体的受力分析图，应用平衡条件及平行四边形定则把三力集中在一个三角形中，分析题目给出的信息，判断物体受力的变化（大小、方向）方式，把受力的变化对应到几何图形中结合几何知识分析。 方法3　相似三角形法 此法常用于物体受绳（杆）或其他物体的约束：物体受到三个力的作用，其中的一个力大小、方向均不变，另外两个力的方向都发生变化，而且三个力均与一个几何三角形的三边平行的情况，这时可以应用力三角形与几何三角形相似，对应边成比例建立方程求解。 二、平衡中的临界极值问题 平衡中的临界极值问题核心是找到平衡状态被打破的瞬间条件，极值多伴随临界状态出现，解题关键是抓“临界条件”、建受力模型。 核心临界条件 1．弹力临界：接触但无弹力→FN＝0；绳子拉断/刚好伸直→拉力T＝Tmax或T＝0 2．摩擦力临界：静摩擦达最大→f＝fmax＝μFN；动/静摩擦切换→fmax为界 3．运动临界：速度为0、方向改变；相对滑动即将发生→静摩擦达最大 通用解题步骤 1．确定研究对象：单个物体/整体（整体法先判外力，隔离法分析内力） 2．画受力示意图：按重力、弹力、摩擦力、其他力的顺序，标注已知/未知量 3．找临界条件：结合题意明确“刚好发生/刚好不发生”的条件，转化为物理方程 4．建坐标系列方程：正交分解（沿运动/趋势方向、垂直方向），列平衡方程ΣFx＝0、ΣFy＝0 5．求解极值/临界值：代入临界条件，解方程得结果。（可结合数学方法：二次函数、三角函数、均值不等式求极值） 典型题型与技巧 绳杆类：绳子拉力沿绳，轻杆弹力需看连接方式（铰接沿杆，固定杆任意方向）；绳刚好伸直时T＝0为临界。 斜面类：物体刚好滑下/静止→mgsinθ＝μmgcosθ（θ＝arctanμ为临界倾角）。 动态平衡极值：用矢量三角形法（合力为0，矢量首尾相连），当某力与矢量边垂直时，该力取极值。 一、动态平衡问题 （一）解析法的应用 1．质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示。用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中 A．F逐渐变大，T逐渐变大 B．F逐渐变大，T逐渐变小 C．F逐渐变小，T逐渐变大 D．F逐渐变小，T逐渐变小 解析：选A。绳OB段拉力的大小始终等于物体的重力mg，故保持不变，设OA段绳与竖直方向的夹角为θ，由受力分析可知F＝mgtan θ，T＝ ，在O点向左移动的过程中，θ角逐渐变大，故F逐渐变大，T逐渐变大。 2．如图所示，工人利用滑轮组将重物缓慢提起，下列说法正确的是 A．工人受到的重力和支持力是一对平衡力 B．工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力 C．重物缓慢提起的过程中，绳子拉力变小 D．重物缓慢提起的过程中，绳子拉力不变 解析：选B。工人受到三个力的作用，即绳的拉力、地面的支持力和自身所受重力，三力平衡，A错误；工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力，B正确；对动滑轮受力分析，由平衡条件有2T cos ＝mg，其中T为绳子拉力的大小，θ为与动滑轮相连的两段绳的夹角，m为重物与动滑轮的总质量，随着重物的上升，θ增大，则绳的拉力变大，C、D错误。 3．自卸式运输车是车厢配有自动倾卸装置的汽车，又称为翻斗车、工程车，由汽车底盘、液压举升机构、取力装置和货厢组成。如图所示，在车厢由水平位置逐渐抬起的过程中，有关货物所受车厢的支持力FN和摩擦力Ff，下列说法中正确的是 A．摩擦力Ff逐渐增大 B．摩擦力Ff先增大后减小 C．支持力FN逐渐增大 D．支持力FN先减小后不变 解析：选B。开始时货物受重力和支持力，抬起后受到向上的静摩擦力；静摩擦力等于重力沿斜面向下的分力，即Ff＝mgsin θ，随角度的增大，静摩擦力增大；当角度达到一定程度时，物体开始滑动，由静摩擦力变为滑动摩擦力，而滑动摩擦力Ff＝μmgcos θ，cos θ随角度的增加而减小，故滑动摩擦力将减小；故摩擦力是先增大后减小的，故A错误，B正确；支持力FN＝mgcos θ，cos θ随角度的增加而减小，故支持力一定是逐渐减小，故C、D错误。 4．如图甲所示，自动炒菜机的炒菜原理可简化为如图乙所示的模型，内壁光滑的半球形容器开口向上固定在水平面上，一个小球（可视为质点）放在容器的底部，竖直光滑挡板与其接触，挡板的上端刚好与圆心O重合，现让挡板绕O点缓慢转动，使小球到达P点。下列说法正确的是 A．挡板对小球的弹力不变 B．挡板对小球的弹力增大 C．内壁对小球的弹力增大 D．内壁对小球的弹力不变 解析：选B。对小球受力分析，如图所示，挡板对球的弹力为F，内壁对球的弹力为N，由题意可知，N与F始终垂直，且转动过程中α增大，由平衡可得F＝mg sin α，N＝mg cos α，则F不断增大，N不断减小。 5．如图所示，木板P下端通过光滑铰链固定于水平地面上的O点，物体A、B叠放在木板上且处于静止状态，此时物体B的上表面水平。现使木板P绕O点缓慢旋转到虚线所示位置，物体A、B仍保持静止，与原位置的情况相比 A．B对A的作用力变小 B．A对B的压力增大 C．木板对B的作用力不变 D．木板对B的摩擦力不变 解析：选C。设板与水平地面的夹角为α，木板转过的角度为β，以A为研究对象，无论木板如何转动，只要二者保持相对静止，B对A的作用力始终与A的重力平衡，保持不变，故A错误；当将P绕O点缓慢旋转到虚线所示位置，B的上表面不再水平，A的重力分解情况如图甲，开始时物体A不受B对A的摩擦力，B对A的支持力大小与重力相等；旋转后设B的上表面与水平方向之间的夹角是β，受到的B对A的支持力、摩擦力的合力仍然与A的重力大小相等，方向相反，则A受到B对A的作用力保持不变，由于支持力与摩擦力相互垂直，则N＝GA·cos β，所以A受到的支持力一定减小了，根据牛顿第三定律可知A对B的压力减小，故B错误；以A、B整体为研究对象，分析受力情况如图乙， 总重力GAB、板的支持力N2和摩擦力f2，板对B的作用力是支持力N2和摩擦力f2的合力，系统始终保持静止，由平衡条件分析可知，板对B的作用力大小与总重力大小相等，保持不变，支持力N2＝GABcos α，摩擦力f2＝GABsin α，α增大，N2减小，f2增大，故C正确，故D错误。 （二）图解法的应用 1．如图所示，轻绳下端连接一质量为m的小球，在水平外力F作用下处于静止状态，当外力F方向逆时针旋转90°过程中小球始终保持静止状态，下列说法正确的是 A．F一直增大 B．F先减小后增大 C．轻绳对小球的拉力逐渐增大 D．轻绳对小球的拉力不变 [解析：选B。力F水平时，分析小球受力如图甲所示， 因为小球静止，所以小球所受绳子拉力T与重力mg和外力F三个力的合力为零，则有外力F与轻绳对小球的拉力T的合力与小球所受重力等大反向，如图乙所示， 当外力F方向逆时针旋转90°过程中小球始终保持静止状态，说明外力F与轻绳对小球的拉力T的合力保持不变，由平行四边形定则可知F旋转过程中外力F与轻绳对小球的拉力T的变化如图丙所示， 外力F先减小，当力F旋转到与绳子方向垂直时F减到最小，之后再逆时针旋转时力F增大；而力F旋转过程中轻绳对小球的拉力T一直减小，当力F逆时针旋转90°时轻绳对小球的拉力T减小到零。 2．（多选）如图所示，用轻绳AO和轻绳BO吊着一个重物M，保持AO与水平方向的夹角θ不变。下列说法正确的是 A．当BO逆时针由水平转到竖直，轻绳BO的拉力先减小后增大 B．当BO逆时针由水平转到竖直，轻绳AO的拉力一直减小 C．若保持BO水平，增大M的重力，则AO拉力增大，BO拉力减小 D．若保持BO水平，缓慢增大θ，则AO、BO的拉力均增大 解析：选AB。对结点O受力分析，受三个拉力，如图所示，当BO逆时针由水平转到竖直时，通过作图可以发现，轻绳BO的拉力先减小后增大，轻绳AO的拉力一直减小，故A、B正确；设M的重力为G，当BO水平时，利用三角函数得FA＝，FB＝，当G增大时，两个绳子上的拉力均增大；当θ增大时，两个绳子拉力均减小，故C、D错误。 3．如图所示，光滑的轻质滑轮通过竖直杆固定于天花板上，一根不可伸长的轻绳跨过滑轮分别系着物块M和N，M静止在光滑水平地面上，N在水平拉力F作用下处于静止状态。现将F沿逆时针方向缓慢转至竖直方向，此过程中M和N始终静止不动。下列说法正确的是 A．F先增大后减小 B．绳的拉力先减小后增大 C．M对地面的压力逐渐减小 D．滑轮对杆的作用力逐渐减小 解析：选D。对N受力分析，N受重力mg、拉力F和绳的拉力T，其中重力的大小和方向均不变，绳的拉力的方向不变，三力平衡时，三个力可以构成首尾相连的矢量三角形，如图所示，力F沿逆时针方向缓慢旋转时，由图可看出，力F先减小后增大，而绳上的拉力T一直减小，则M对地面的压力逐渐增大，滑轮对杆的作用力逐渐减小。 4．如图所示，电灯悬挂于两壁之间，更换水平绳OA使连接点A向上移动而保持O点的位置不变，最后绳OA与绳OB间夹角小于90°，则A点向上移动时 A．绳OA的拉力逐渐增大 B．绳OA的拉力逐渐减小 C．绳OA的拉力先增大后减小 D．绳OA的拉力先减小后增大 解析：选D。以O点为研究对象分析受力情况，电灯处于平衡状态，根据平衡条件知：绳子OA和OB拉力的合力等于电灯的重力mg，保持不变，作出绳OA在不同位置两个拉力的合成图，如图所示，由图看出，绳OA的拉力先减小后增大，绳OB的拉力逐渐减小。 5．如图所示，两根等长的绳子AB和BC在结点B吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°。现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC拉力的变化情况是 A．增大 B．先减小后增大 C．减小 D．先增大后减小 解析：选B。以结点B为研究对象，分析受力情况，根据三力平衡条件知，绳AB的拉力TAB与绳子BC的拉力TBC的合力与重力大小相等、方向相反。作出绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向过程中多个位置力的合成图，由几何知识得，绳子BC拉力先减小后增大。 6．一盏电灯重力为G，悬于天花板上A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA偏离竖直方向的夹角为β＝30°，且此时OA与OB夹角为锐角，如图所示。现保持β角不变，缓慢调整OB方向至虚线位置，则下列说法正确的是 A．OA中的张力先减小后增大 B．OB中的张力先减小后增大 C．OA中的张力不断减小 D．OB中的张力不断减小 解析：选B。本题考察共点力动态平衡问题，可采用图解法，受力如图所示，由于开始时OA与OB夹角为锐角，故OB中的张力先减小后增大，OA的张力不断增大。 7．（多选）如图，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态。如果保持绳子A端位置不变，将B端分别移动到不同的位置。下列判断正确的是 A．B端竖直向上移到B1位置时，绳子张力不变 B．B端竖直向上移到B1位置时，绳子张力变大 C．B端在杆上位置不动，将杆水平移动到虚线位置时，绳子张力变小 D．B端在杆上位置不动，将杆水平移动到虚线位置时，绳子张力不变 解析：选AC。设绳子间的夹角为2α，绳子的总长度为L，两杆之间的距离为s，如图甲所示，由几何关系得L1sin α＋L2sin α＝s，解得sin α＝，对挂钩受力分析如图乙所示，根据平衡条件得2Fcos α＝mg，解得F＝，B端竖直向上移到B1位置时，s、L都不变，则α不变，绳子张力不变，A正确，B错误；B端在杆上位置不动，将杆水平移动到虚线位置时，s减小，L不变，α减小，F减小，C正确，D错误。 8．（多选）如图所示，将一个质量为m的铅球放在倾角为θ的斜面上，并用垂直于斜面的挡板挡住，铅球处于静止状态。不计一切摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是 A．挡板对铅球的支持力大小为mg sin θ B．铅球对挡板的压力就是重力沿斜面向下的分量 C．铅球对斜面的压力大小为mg cos θ D．现将挡板缓慢旋转至水平的过程中，铅球仍保持静止，则铅球对斜面的压力逐渐减小直至为零 解析：选ACD。对铅球，沿斜面方向平衡可知，挡板对铅球的支持力大小F1＝mg sin θ，铅球对挡板的压力和重力沿斜面向下的分量不是一个力，因为受力物体不一样，故A正确，B错误； 垂直于斜面方向，斜面对铅球的支持力F2＝mg cos θ，由牛顿第三定律可知，铅球对斜面的压力大小为mg cos θ，C正确；对铅球受力分析，三个力合力为零，挡板缓慢旋转至水平的过程中，F1与竖直方向夹角逐渐减小为零，根据图示可知，斜面对铅球的支持力F2逐渐减小直至为零，由牛顿第三定律得，铅球对斜面的压力逐渐减小直至为零，D正确。 9．如图所示，重力为G的小球放在固定斜面和竖直放置的挡板之间静止。斜面对小球的弹力为F1，挡板对小球的弹力为F2。挡板的下端有一个固定轴，让挡板缓慢转动到水平位置。不计一切摩擦。在该过程中，下列判断正确的是 A．F1与F2的合力逐渐减小 B．F1与F2的合力逐渐增大 C．F1的大小先增大后减小 D．F2的大小先减小后增大 解析：选D。小球受重力、斜面对小球的弹力F1、挡板对小球的弹力F2，挡板缓慢转动，表示三个力的合力为0，所以F1和F2的合力始终与重力等大反向，即二者合力保持不变，A、B错误；根据平衡条件，小球所受的三个力可以连接成矢量三角形，如图所示，斜面对小球的弹力F1在逐渐减小，挡板对小球的弹力F2先减小后增大，C错误，D正确。 10．（多选）如图所示，光滑球静止在倾角为37°的固定在地面上的光滑斜面上，被一光滑挡板挡住，初始时光滑挡板竖直放置（图中A位置），将挡板以下端为轴缓慢转动到图中B位置，下列说法正确的是 A．斜面对小球的支持力变小 B．斜面对小球的支持力先变大后变小 C.挡板对小球的支持力变小 D．挡板对小球的支持力先变大后变小 解析：选AC。对小球受力分析，受重力、斜面对小球的支持力FN和挡板对小球的支持力F，如图所示，将挡板以下端为轴缓慢转动到图中B位置，则F顺时针转动，由几何关系可知F减小，则FN也减小，即斜面对小球的支持力变小，挡板对小球的支持力变小。 11．如图所示，粗糙水平地面上放有横截面为圆的柱状物体A，A与墙面之间放有表面光滑的圆柱形物体B，A、B均保持静止。若将A向左移动少许，下列说法正确的是 A．B对A的作用力不变 B．墙对B的作用力不变 C．地面对A的摩擦力不变 D．地面对A的支持力不变 解析：选D。对物体B受力分析，受到重力mg、A对B的支持力N′和墙壁对B的支持力N，如图1所示，当A向左移动后，A对B的支持力N′的方向不断变化，由图可知A对B的支持力N′和墙壁对B的支持力N都在不断减小，由牛顿第三定律可知B对A的作用力在不断减小，故A、B错误；对A和B整体受力分析，受到总重力G、地面支持力FN、地面的摩擦力f和墙壁的弹力N，如图2所示，根据平衡条件，有f＝N，FN＝G，故地面的支持力不变，地面的摩擦力f随着墙壁对B的支持力N的不断减小而减小，故C错误，D正确。 12．（多选）如图所示，在粗糙水平地面上放着一个表面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态﹐当把A向右缓慢移动少许的过程中，下列判断正确的是 A．球B对墙的压力增大 B．球B对柱状物体A的压力减小 C．地面对柱状物体A的摩擦力不变 D．地面对柱状物体A的支持力不变 解析：选BD。对球B受力分析，作出平行四边形如图所示，A滑动前，球B受墙壁及A的弹力的合力与重力大小相等，方向相反；而将A向右平移后，B受弹力的方向将上移，但B仍受力平衡，由图可知A对B的弹力及墙壁对B的弹力均减小，根据牛顿第三定律可知，球B对墙的压力减小，球B对柱状物体A的压力减小，故A错误，B正确；以AB为整体分析，水平方向上受墙壁的弹力和地面的摩擦力而处于平衡状态，弹力减小，故摩擦力减小，故C错误；竖直方向上受重力及地面的支持力，两物体的重力不变，故地面对柱状物体A的支持力不变，故D正确。 13．如图所示，在竖直墙壁的左侧水平地面上，放置一个长方体。在墙壁和长方体之间放置光滑球，该球球心为O，且OM与竖直方向的夹角为θ，开始时长方体和球均保持静止。现使长方体缓慢向右移动直到θ为零，在此过程中，下列说法正确的是 A．墙壁对球的弹力逐渐增大 B．墙壁对球的弹力逐渐减小 C．长方体对球的弹力逐渐增大 D．长方体对球的弹力先变大后变小 解析：选B。使长方体缓慢向右移动直到θ为零，对球受力分析，其动态变化如图所示。由图可知，墙壁对球的弹力FN1逐渐减小，长方体对球的弹力FN2逐渐减小。 14．如图所示，一光滑半圆形凹槽固定在水平地面上，一物块（可看作质点）静置于槽内最底部的A点处。现用一方向不变的斜向上的推力F把物块从A点沿着凹形槽缓慢推至B点。设物块受到凹槽的支持力为FN，则在上述过程中F和FN大小的变化情况为 A．F和FN都一直增大 B．F一直增大，FN先减小后增大 C．F先增大后减小，FN一直增大 D．F和FN都先增大后减小 解析：选B。对物块受力分析如图 由图可知，物块从A点沿着凹形槽缓慢推至B点过程中，F一直增大，FN先减小后增大。 （三）相似三角形法 1．某学校兴趣小组根据所学力学知识设计了如图所示的送餐装置，送餐员将食物放在吊盘中，取餐者自行通过细绳搭在光滑定滑轮上将带铰链的轻杆缓慢上拉，从而取得食物。在轻杆被缓慢上拉到取到食物前的过程中 A．此人手上所受的拉力F先减小，后增大 B．此人手上所受的拉力F始终不变 C．轻杆所受压力大小始终不变 D．轻杆所受压力先减小，后增大 解析：选C。对结点C受力分析，如图所示，缓慢上拉，三个力平衡，三个力组成首尾相接的闭合三角形，力三角形与几何三角形ABC相似，根据相似三角形对应边比值相等，有＝＝，因上拉过程mg、AB不变，AC减小，则F减小，即此人手上所受的拉力减小， BC不变，则N不变，根据牛顿第三定律，即轻杆所受压力大小始终不变。 2．（多选）如图所示，一轻弹簧一端套在固定的光滑水平轴O上，另一端固定在质量为m的小球上，在O点的正上方有一光滑定滑轮，细绳通过滑轮与小球连接，在细绳的另一端用适当大小的力拉住，使小球处于静止状态。若缓慢拉动细绳（始终保持小球平衡）直到小球刚到滑轮的正下方过程中，下列说法正确的是 A．细绳的拉力大小不变 B．细绳的拉力大小逐渐变小 C．弹簧形变量不变 D．弹簧形变量逐渐变大 解析：选BC。对小球受力分析，如图甲所示，小球在三个力作用下，处于静止状态，三个力的合力为零。根据力的合成原则可知，三个力组成一个矢量三角形，如图乙所示，所以△OAB与三个力组成的矢量三角形相似。根据相似三角形，对应边成比例，可得＝＝，在拉动细绳直到小球刚到滑轮的正下方过程中：l1不变，对应重力不变；l3变短，对应细绳的拉力变小，故A错误，B正确。根据胡克定律可知F＝kx，设弹簧的原长为l0，则l2＝l0－x，则＝＝，由A、B项分析可知，不变，所以可知弹簧的形变量不变，故C正确，D错误。 3．如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力F拉住，开始时绳与竖直方向的夹角为θ，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环移动一小段距离，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是 A．绳与竖直方向的夹角为θ时，F＝mgcos θ B．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力逐渐增大 C．小球沿光滑圆环下降过程中，小球所受支持力大小不变 D．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力逐渐增大 解析：选C。对小球受力分析，小球受到重力mg、轻绳的拉力F和圆环的弹力N，如图，根据平衡条件可知：mg和N的合力与F大小相等、方向相反，根据几何知识得知N＝mg，且有F＝2mgcos θ，A错误；小球沿圆环缓慢上移，处于动态平衡状态，对小球进行受力分析，小球受重力G、F、N三个力，满足受力平衡，由图可知三角形OAB和三角形GFA相似，＝＝，则得F＝mg，N＝mg，当A点上移时，半径R不变，AB减小，故F减小，N不变，同理小球沿光滑圆环下降过程中，即当A点下移时，半径R不变，AB增大，故F增大，但是N不变，B、D错误，C正确。 二、平衡中的临界极值问题 1．如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于 A． B． C． D． 解析：选B。根据题意可知机器人“天工”它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”分析有mg sin 30°≤μmg cos 30°，可得μ≥tan 30°＝。 2．如图所示，用一根长为l的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使小球A处于静止状态时细绳与竖直方向成30°角绷紧，需要施加的最小外力是 A．mg B．mg C．mg D．mg 解析：选C。小球受到重力mg、绳子拉力FT和外力F处于平衡状态，合力为零，三个力构成矢量三角形如图所示。由图可知，当施加的外力F与绳子拉力FT垂直时，外力F最小，则有Fmin＝mg sin 30°＝mg。 3．如图所示，质量均为m的a、b两个小球，用细线悬挂在天花板上的同一点O，并用第三根细线连接a、b两小球，三根细线长度相等，现对小球a施加一个作用力F，当两小球均处于静止状态时，三根细线均处于拉直状态，且OB恰好沿竖直方向，重力加速度为g，则作用力F的最小值为 A．2mg　　　　　　　　 B．mg C．mg D．mg 解析：选C。以b为研究对象，若细线AB中有拉力，则细线OB无法保持竖直，所以细线AB中无拉力，由几何关系知∠BOA＝60°，以a为研究对象，受重力、细线OA的拉力和所求力F，根据三力平衡条件知：任意两个力的合力必定与第三个力等大、反向、共线，所以当F与OA垂直时，有最小值，如图所示，结合几何关系可得Fmin＝mgsin 60°＝。 4．（多选）如图所示，质量均为M的A、B两滑块放在粗糙水平面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物C，整个装置处于静止状态，设杆与水平面间的夹角为θ。下列说法正确的是 A．当m一定时，θ越大，轻杆受力越小 B．当m一定时，θ越大，滑块对地面的压力越大 C．当m和 θ一定时，滑块与地面间的摩擦力与质量M无关 D．只要增大m，M一定会滑动 解析：选AC。将C的重力按照作用效果分解，如图所示，根据平行四边形定则有F1＝F2＝＝，故m一定时，θ越大，轻杆受力越小，A正确；对ABC整体分析可知，地面对整体的支持力为FN＝（2M＋m）g，故地面对整体的支持力与θ无关，则滑块对地面的压力保持不变，B错误；对A分析，受重力、杆的推力、支持力和向右的静摩擦力，根据平衡条件有f＝F1cos θ＝，当m和θ一定时，滑块与地面间的静摩擦力F与质量M无关，C正确；结合B的解析可知，A受到的支持力为FN′＝Mg＋mg，增大m，都不能使M沿地面滑动时应满足的条件为μFN′≥f，联立解得μ≥，当m→∞时，有μ≥，即当μ≥时，即使增大m，也不能使M沿地面滑动，D错误。 5．（多选）用绳AC和BC吊起一重物处于静止状态，如图所示。若AC能承受的最大拉力为300 N，BC能承受的最大拉力为210 N，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，则下列说法正确的是 A．当重物的重力为300 N时，开始瞬间AC、BC都不断，AC拉力比BC拉力大 B．当重物的重力为300 N时，开始瞬间AC、BC都不断，AC拉力比BC拉力小 C．当重物的重力为350 N时，开始瞬间AC不断，BC刚好断 D．当重物的重力为350 N时，开始瞬间AC断，BC也断 解析：选AC。取C点为研究对象进行受力分析如图所示，当重物的重力为300 N时，AC拉力T1＝G1cos 37°＝240 N<300 N，BC拉力T2＝G1cos 53°＝180 N<210 N，可知当重物的重力为300 N时，AC、BC都不断，且AC拉力比BC拉力大，故A正确，B错误；当重力为350 N时，假设绳子不断，AC拉力T1′＝G2cos 37°＝280 N<300 N，BC拉力T2′＝G2cos 53°＝210 N，所以AC不断，BC刚好断，故C正确，D错误。 6．如图所示，通过轻杆相连的A、B两小球，用两根细线将其悬挂在水平天花板上的O点。 已知两球所受重力均为G，轻杆与细线OA长均为L。 现用力F作用于小球B上（图上F未标出），使系统保持静止状态且A、B两球在同一水平线上， 则力F最小值为 A.G　 B．G C．G　　　 D．2G 解析：选A。以A球为研究对象，根据受力平衡可知，轻杆对A球的作用力一定为0，则B球受到力F、重力和细线OB拉力处于平衡状态，当力F与细线OB垂直时，力F具有最小值，则有Fmin＝G sin 45°＝G。 7．如图甲所示，工人师傅在卸货、上货时通常要在车尾和地面之间搭一块平板组成一个斜面，方便运送货物。某次运送货物时，平板与地面之间夹角θ＝30°，货物刚好能从斜面顶端匀速滑下。现工人想将一质量为75 kg的重物沿斜面推上货车，示意图如图乙所示，则工人应该在沿斜面方向至少施加的推力为（已知重力加速度g取10 N/kg） A．1 500 N B．750 N C．750 N D．1 500 N 解析：选B。依题意货物刚好能从斜面顶端匀速滑下，由平衡条件可知，此时货物受到沿平板向上的滑动摩擦力f等于货物沿平板向下的重力分力，故有f＝mg sin 30°，现工人想将一质量为75 kg的重物沿斜面推上货车，则推力F至少满足F＝mg sin 30°＋f，联立解得F＝2mg sin 30°＝mg＝750 N。 8．搬砖可以用夹钳，如图所示。已知砖块均为规格相同的长方体，每块质量为2.4 kg，夹钳与砖块间的动摩擦因数为0.6，砖块间的动摩擦因数为0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。现用夹钳将4块砖竖直夹起，其对砖块一侧壁施加的压力大小至少为 A．40 N B．80 N C．120 N D．240 N 解析：选C。先将4块砖当作整体受力分析，竖直方向受重力、静摩擦力，二力平衡，有2μ1F≥4mg，则有F≥80 N，再考虑中间2块砖，受力分析，竖直方向受重力、静摩擦力，二力平衡，有2μ2F≥2mg，则有F≥120 N，解得F≥120 N。 9．如图所示，一根轻绳绕过光滑定滑轮，一端固定在天花板的A点，另一端吊着一个装有砂子的砂桶乙，同样装有砂子的砂桶甲通过光滑挂钩挂在轻绳上，通过增加桶中砂子的质量，可以改变砂桶的总重，则下列判断正确的是 A.若AB绳和BC绳间夹角大于120°，则乙桶的总重大于甲桶的总重 B．若缓慢增大甲桶的总重，则轻绳对乙桶的拉力增大 C．若缓慢增大乙桶的总重，则轻绳对甲桶挂钩的作用力增大 D．若将悬点A缓慢向右移，则AB绳和BC绳间的夹角会逐渐减小 解析：选A。因B点两边绳子的拉力大小是相等的，设轻绳与竖直方向夹角为θ，对乙桶T＝m乙g，对甲桶2T cos θ＝m甲g，若AB绳和BC绳间夹角大于120°，则θ>60°，2m乙g cos θ＝m甲g，可得m甲<m乙，即乙桶的总重大于甲桶的总重，A正确；若缓慢增大甲桶的总重，则轻绳对乙桶的拉力不变，总为T＝m乙g，B错误；轻绳对甲桶挂钩的作用力等于甲桶的总重，则若缓慢增大乙桶的总重，则轻绳对甲桶挂钩的作用力不变，C错误；若将悬点A缓慢向右移，因绳子的拉力不变（等于乙桶的总重），两个拉力的合力不变（等于甲桶的总重），则AB绳和BC绳间的夹角不变，D错误。 10．质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是 A．推力F先增大后减小 B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C．墙面对凹槽的压力先增大后减小 D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 解析：选C。对滑块受力分析，由平衡条件有F＝mg sin θ，N＝mg cos θ，滑块从A缓慢移动至B点时，θ越来越大，则推力F越来越大，支持力N越来越小，A、B错误；对凹槽与滑块整体分析，有墙面对凹槽的压力FN＝F cos θ＝mg sin θcos θ＝mg sin （2θ），则θ越来越大时，墙面对凹槽的压力先增大后减小，C正确；水平地面对凹槽的支持力N地＝（M＋m）g－F sin θ＝（M＋m）g－mg sin 2θ，则θ越来越大时，水平地面对凹槽的支持力越来越小，D错误。 11．新疆是我国最大的产棉区，在新疆超出70%棉田都是通过机械自动化采收，自动采棉机将棉花打包成圆柱形棉包，然后平稳将其放下。放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为m的棉包放在“V”型挡板上，两板间夹角为120°固定不变，“V”型挡板可绕P轴在竖直面内转动，使BP板由水平位置逆时针缓慢转动，忽略“V”型挡板对棉包的摩擦力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是 A．棉包对AP板的压力先增大后减小 B．棉包对BP板的压力先减小后增大 C．棉包对BP板的压力一直减小 D．当BP板转过30°时，棉包对BP板的压力大小为mg 解析：选C。对棉包受力分析，如图所示，设BP板转动的角度为θ（0<θ<60°），根据正弦定理可得＝＝，在θ从0增大到60°的过程中，AP板对棉包的支持力F2一直增大，根据牛顿第三定律可得棉包对AP板的压力一直增大，BP板对棉包的支持力F1一直减小，则棉包对BP板的压力一直减小，故A、B错误，C正确；当BP板转过30°时，两板间夹角为120°固定不变，可知此时两板对棉包的支持力大小相等，由平衡条件则有2F cos 30°＝mg，F＝mg，根据牛顿第三定律可得，棉包对BP板的压力大小为mg，故D错误。 12．质量M＝5 kg的斜面置于粗糙水平面上，其上表面光滑，质量m＝2 kg的小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，如图所示，图中α＝θ＝37°，整个装置处于静止状态。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： （1）轻绳的弹力大小； （2）地面对斜面的支持力大小； （3）另外用一个拉力拉小球，要使地面对斜面摩擦力为零，对小球施加拉力的最小值Fmin。 解析：（1）对小球受力分析如图甲所示，根据平衡条件有FTsin θ－FNsin α＝0 FTcos θ＋FNcos α－mg＝0，联立代入数据解得FT＝12.5 N。 （2）对斜面与球整体进行受力分析可知F支＋FTcos θ＝（m＋M）g，解得F支＝60 N。 （3）用一个外力F把小球刚好拉离斜面时，由图乙可知，当F与绳的拉力垂直时，F最小，Fmin＝mg sin 37°＝12 N。 答案：（1）12.5 N　（2）60 N　（3）12 N 13．如图所示，质量M＝4 kg的物块甲置于倾角为37°的斜面上，物块甲与斜面间动摩擦因数μ＝0.5，物块与斜面间最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。质量m＝1.5 kg的物块乙通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，水平轻绳OA与物块甲连接于A点，轻绳OB与水平方向夹角也为37°。对物块甲施加沿斜面方向的力F（图中未画出）使甲、乙两物体均静止。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2。 （1）求轻绳OA的弹力大小。 （2）剪断OA，此时需要多大的力才能让甲保持静止，求出力的范围。 [解析]（1）对结点O分析可知TOBsin 37°＝mg，TOBcos 37°＝TOA，解得TOA＝20 N。 （2）剪断OA，若甲有向下运动趋势，则其所受摩擦力沿斜面向上，甲恰好静止时根据平衡条件有 Fmin＋fm＝Mg sin 37° 其中fm＝μMg cos 37°＝16 N，解得Fmin＝8 N 若甲有向上运动趋势，则其所受摩擦力沿斜面向下，甲恰好静止时根据平衡条件有 Fmax＝Mg sin 37°＋fm，其中fm＝16 N 解得Fmax＝40 N，则F的范围为8 N≤F≤40 N。 [答案]　（1）20 N　（2）8 N≤F≤40 N 14．2022年国庆假期，张华同学去外婆家度假，她正拖着行李箱去检票。张华拉行李箱可以简化为如图乙所示的模型：质量为m＝10 kg的木箱置于水平地面上，受到一个与水平方向成θ角斜向上的拉力F，它与地面间的动摩擦因数μ＝，g取10 m/s2，为使木箱做匀速直线运动，求拉力F的最小值以及此时θ的大小。 [解析]对木箱受力分析，木箱受重力mg、拉力F、地面的支持力FN和滑动摩擦力Ff作用，木箱做匀速直线运动，Ff与FN的合力为F'合，当F的方向与F'合的方向垂直时，F最小，如图所示， 设F'合与竖直方向的夹角为β，则tanβ＝μ，β＝30°，Fmin＝mgsinβ＝mg＝50 N，此时，θ＝β＝30°。 15．某同学做家务时，使用拖把清理地板，如图所示。假设拖把头的质量为1 kg，拖把杆的质量不计，拖把杆与水平地面成53°角。当对拖把头施加一个沿拖把杆向下、大小为10 N的力F1时，恰好能推动拖把头向前匀速运动。重力加速度g取10 m/s2，sin53°＝0.8。 （1）求拖把头与地板间的动摩擦因数μ。 （2）当拖把静止时，对拖把头施加一个沿拖把杆向下的力F2，拖把杆与地面的夹角为θ。当θ增大到某一值时，无论F2多大，都不能推动拖把头，求此时的θ值。（为方便起见，本问可忽略拖把头的重力，且认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力） [解析]（1）对拖把头受力分析，如图所示， 拖把头做匀速直线运动，水平方向和竖直方向受力平衡，水平方向有F1cos53°＝Ff 竖直方向有FN＝mg＋F1sin53°，而Ff＝μFN，解得μ＝。 （2）忽略拖把头的重力，要想推动拖把，需满足F2cosθ＞μF2sinθ，即tanθ＜。 当θ≥arctan，即θ≥arctan3时，无论对拖把头施加一个沿拖把杆向下的多大的力，都不能推动拖把头。 16．如图所示，质量M＝2 kg的木块套在水平粗糙固定杆上，并用轻绳与质量m＝1 kg的小球相连。今用跟水平方向成60°角的力F拉着小球并带动木块一起向右匀速运动，轻绳与水平方向的夹角θ＝30°，运动中M、m的相对位置保持不变，（g取10 m/s2，＝1.732，结果保留2位小数），在运动过程中。求： （1）力F大小； （2）木块M与水平杆间的动摩擦因数μ。 [解析]（1）小球受力如图甲所示，由平衡条件可得在水平方向则有F1cos60°－FTcosθ＝0 在竖直方向则有F1sin60°－FTsinθ－mg＝0，联立解得F＝10N＝17.32 N。 （2）将木块、小球看作整体，受力如图乙所示，由平衡条件得，在水平方向则有Fcos60°－μFN＝0 在竖直方向则有FN＋Fsin60°－（M＋m）g＝0，联立解得μ＝≈0.58。 17．一质量m＝2 kg的木块放在倾角为θ＝30°的固定斜面上时，木块恰能沿斜面匀速下滑。现用与斜面夹角α＝37°的拉力F拉着木块使木块沿斜面匀速上滑，如图所示。已知g取10 m/s2，sin37°＝0.6。（结果可带根号）求： （1）木块与斜面间的动摩擦因数； （2）拉力F的大小。 [解析]（1）根据平衡条件得mgsinθ＝μmgcosθ 解得μ＝tanθ＝。 （2）对木块受力分析如图所示 建立沿斜面和垂直于斜面的直角坐标系（坐标系未画出），并将重力mg和拉力F分解，由平衡条件有 Fcosα－mgsinθ－μ（mgcosθ－Fsinα）＝0 解得F＝N。 18．如图所示，在水平地面上竖立一硬质杆，一中心有孔的物块A套在竖直杆上，现将A用一不可伸长的轻绳通过光滑定滑轮与物块B相连，物块A所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轻绳与水平方向的夹角θ＝37°（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）。 （1）若硬质杆光滑，A、B均恰好保持静止，求A、B物块的质量比mA∶mB。 （2）若硬质杆与A之间的动摩擦因数μ＝0.5，改变B的质量使A始终静止不动，求A、B物块的质量比mA∶mB的取值范围。 解析：（1）对物块B受力分析，其受重力以及绳子的拉力且处于平衡状态，所以T＝mBg 对物块A受力分析，其受重力、绳子的拉力以及杆给A的弹力且处于平衡状态，竖直方向有 T sin θ＝mAg，解得＝。 （2）对物块A受力分析，其受重力、摩擦力、绳子的拉力以及杆给A的弹力且处于平衡状态，若A恰好不上滑，则物块A所受的最大静摩擦力方向向下，有 T1sin θ＝mAg＋fm1 fm1＝μFN＝μT1cos θ 解得＝ 若A恰好不下滑，则物块A所受的最大静摩擦力方向向上，有 T2sin θ＋fm2＝mAg fm2＝μT2cos θ 解得＝1 所以A、B物块的质量比mA∶mB的取值范围为≤≤1。 答案：（1）3∶5　（2）≤≤1 ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4 动态平衡和平衡中的临界极值问题 一、动态平衡问题 动态平衡：物体所受的力中有些是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫作动态平衡。 分析方法 （1）列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式； （2）根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。 方法1　解析法的应用 此法常用于能快捷利用平衡条件或正交分解法列出平衡方程的情况，通过平衡态方程找出所求力的函数关系式，由角度变化推导出力的变化特点。 方法2　图解法的应用 此法常用于物体所受的三个力中， 有一个力为恒力，另一个力的大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的情况，画出物体的受力分析图，应用平衡条件及平行四边形定则把三力集中在一个三角形中，分析题目给出的信息，判断物体受力的变化（大小、方向）方式，把受力的变化对应到几何图形中结合几何知识分析。 方法3　相似三角形法 此法常用于物体受绳（杆）或其他物体的约束：物体受到三个力的作用，其中的一个力大小、方向均不变，另外两个力的方向都发生变化，而且三个力均与一个几何三角形的三边平行的情况，这时可以应用力三角形与几何三角形相似，对应边成比例建立方程求解。 二、平衡中的临界极值问题 平衡中的临界极值问题核心是找到平衡状态被打破的瞬间条件，极值多伴随临界状态出现，解题关键是抓“临界条件”、建受力模型。 核心临界条件 1．弹力临界：接触但无弹力→FN＝0；绳子拉断/刚好伸直→拉力T＝Tmax或T＝0 2．摩擦力临界：静摩擦达最大→f＝fmax＝μFN；动/静摩擦切换→fmax为界 3．运动临界：速度为0、方向改变；相对滑动即将发生→静摩擦达最大 通用解题步骤 1．确定研究对象：单个物体/整体（整体法先判外力，隔离法分析内力） 2．画受力示意图：按重力、弹力、摩擦力、其他力的顺序，标注已知/未知量 3．找临界条件：结合题意明确“刚好发生/刚好不发生”的条件，转化为物理方程 4．建坐标系列方程：正交分解（沿运动/趋势方向、垂直方向），列平衡方程ΣFx＝0、ΣFy＝0 5．求解极值/临界值：代入临界条件，解方程得结果。（可结合数学方法：二次函数、三角函数、均值不等式求极值） 典型题型与技巧 绳杆类：绳子拉力沿绳，轻杆弹力需看连接方式（铰接沿杆，固定杆任意方向）；绳刚好伸直时T＝0为临界。 斜面类：物体刚好滑下/静止→mgsinθ＝μmgcosθ（θ＝arctanμ为临界倾角）。 动态平衡极值：用矢量三角形法（合力为0，矢量首尾相连），当某力与矢量边垂直时，该力取极值。 一、动态平衡问题 （一）解析法的应用 1．质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示。用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中 A．F逐渐变大，T逐渐变大 B．F逐渐变大，T逐渐变小 C．F逐渐变小，T逐渐变大 D．F逐渐变小，T逐渐变小 2．如图所示，工人利用滑轮组将重物缓慢提起，下列说法正确的是 A．工人受到的重力和支持力是一对平衡力 B．工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力 C．重物缓慢提起的过程中，绳子拉力变小 D．重物缓慢提起的过程中，绳子拉力不变 3．自卸式运输车是车厢配有自动倾卸装置的汽车，又称为翻斗车、工程车，由汽车底盘、液压举升机构、取力装置和货厢组成。如图所示，在车厢由水平位置逐渐抬起的过程中，有关货物所受车厢的支持力FN和摩擦力Ff，下列说法中正确的是 A．摩擦力Ff逐渐增大 B．摩擦力Ff先增大后减小 C．支持力FN逐渐增大 D．支持力FN先减小后不变 4．如图甲所示，自动炒菜机的炒菜原理可简化为如图乙所示的模型，内壁光滑的半球形容器开口向上固定在水平面上，一个小球（可视为质点）放在容器的底部，竖直光滑挡板与其接触，挡板的上端刚好与圆心O重合，现让挡板绕O点缓慢转动，使小球到达P点。下列说法正确的是 A．挡板对小球的弹力不变 B．挡板对小球的弹力增大 C．内壁对小球的弹力增大 D．内壁对小球的弹力不变 5．如图所示，木板P下端通过光滑铰链固定于水平地面上的O点，物体A、B叠放在木板上且处于静止状态，此时物体B的上表面水平。现使木板P绕O点缓慢旋转到虚线所示位置，物体A、B仍保持静止，与原位置的情况相比 A．B对A的作用力变小 B．A对B的压力增大 C．木板对B的作用力不变 D．木板对B的摩擦力不变 （二）图解法的应用 1．如图所示，轻绳下端连接一质量为m的小球，在水平外力F作用下处于静止状态，当外力F方向逆时针旋转90°过程中小球始终保持静止状态，下列说法正确的是 A．F一直增大 B．F先减小后增大 C．轻绳对小球的拉力逐渐增大 D．轻绳对小球的拉力不变 2．（多选）如图所示，用轻绳AO和轻绳BO吊着一个重物M，保持AO与水平方向的夹角θ不变。下列说法正确的是 A．当BO逆时针由水平转到竖直，轻绳BO的拉力先减小后增大 B．当BO逆时针由水平转到竖直，轻绳AO的拉力一直减小 C．若保持BO水平，增大M的重力，则AO拉力增大，BO拉力减小 D．若保持BO水平，缓慢增大θ，则AO、BO的拉力均增大 3．如图所示，光滑的轻质滑轮通过竖直杆固定于天花板上，一根不可伸长的轻绳跨过滑轮分别系着物块M和N，M静止在光滑水平地面上，N在水平拉力F作用下处于静止状态。现将F沿逆时针方向缓慢转至竖直方向，此过程中M和N始终静止不动。下列说法正确的是 A．F先增大后减小 B．绳的拉力先减小后增大 C．M对地面的压力逐渐减小 D．滑轮对杆的作用力逐渐减小 4．如图所示，电灯悬挂于两壁之间，更换水平绳OA使连接点A向上移动而保持O点的位置不变，最后绳OA与绳OB间夹角小于90°，则A点向上移动时 A．绳OA的拉力逐渐增大 B．绳OA的拉力逐渐减小 C．绳OA的拉力先增大后减小 D．绳OA的拉力先减小后增大 5．如图所示，两根等长的绳子AB和BC在结点B吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°。现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC拉力的变化情况是 A．增大 B．先减小后增大 C．减小 D．先增大后减小 6．一盏电灯重力为G，悬于天花板上A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA偏离竖直方向的夹角为β＝30°，且此时OA与OB夹角为锐角，如图所示。现保持β角不变，缓慢调整OB方向至虚线位置，则下列说法正确的是 A．OA中的张力先减小后增大 B．OB中的张力先减小后增大 C．OA中的张力不断减小 D．OB中的张力不断减小 7．（多选）如图，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态。如果保持绳子A端位置不变，将B端分别移动到不同的位置。下列判断正确的是 A．B端竖直向上移到B1位置时，绳子张力不变 B．B端竖直向上移到B1位置时，绳子张力变大 C．B端在杆上位置不动，将杆水平移动到虚线位置时，绳子张力变小 D．B端在杆上位置不动，将杆水平移动到虚线位置时，绳子张力不变 8．（多选）如图所示，将一个质量为m的铅球放在倾角为θ的斜面上，并用垂直于斜面的挡板挡住，铅球处于静止状态。不计一切摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是 A．挡板对铅球的支持力大小为mg sin θ B．铅球对挡板的压力就是重力沿斜面向下的分量 C．铅球对斜面的压力大小为mg cos θ D．现将挡板缓慢旋转至水平的过程中，铅球仍保持静止，则铅球对斜面的压力逐渐减小直至为零 9．如图所示，重力为G的小球放在固定斜面和竖直放置的挡板之间静止。斜面对小球的弹力为F1，挡板对小球的弹力为F2。挡板的下端有一个固定轴，让挡板缓慢转动到水平位置。不计一切摩擦。在该过程中，下列判断正确的是 A．F1与F2的合力逐渐减小 B．F1与F2的合力逐渐增大 C．F1的大小先增大后减小 D．F2的大小先减小后增大 10．（多选）如图所示，光滑球静止在倾角为37°的固定在地面上的光滑斜面上，被一光滑挡板挡住，初始时光滑挡板竖直放置（图中A位置），将挡板以下端为轴缓慢转动到图中B位置，下列说法正确的是 A．斜面对小球的支持力变小 B．斜面对小球的支持力先变大后变小 C.挡板对小球的支持力变小 D．挡板对小球的支持力先变大后变小 11．如图所示，粗糙水平地面上放有横截面为圆的柱状物体A，A与墙面之间放有表面光滑的圆柱形物体B，A、B均保持静止。若将A向左移动少许，下列说法正确的是 A．B对A的作用力不变 B．墙对B的作用力不变 C．地面对A的摩擦力不变 D．地面对A的支持力不变 12．（多选）如图所示，在粗糙水平地面上放着一个表面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态﹐当把A向右缓慢移动少许的过程中，下列判断正确的是 A．球B对墙的压力增大 B．球B对柱状物体A的压力减小 C．地面对柱状物体A的摩擦力不变 D．地面对柱状物体A的支持力不变 13．如图所示，在竖直墙壁的左侧水平地面上，放置一个长方体。在墙壁和长方体之间放置光滑球，该球球心为O，且OM与竖直方向的夹角为θ，开始时长方体和球均保持静止。现使长方体缓慢向右移动直到θ为零，在此过程中，下列说法正确的是 A．墙壁对球的弹力逐渐增大 B．墙壁对球的弹力逐渐减小 C．长方体对球的弹力逐渐增大 D．长方体对球的弹力先变大后变小 14．如图所示，一光滑半圆形凹槽固定在水平地面上，一物块（可看作质点）静置于槽内最底部的A点处。现用一方向不变的斜向上的推力F把物块从A点沿着凹形槽缓慢推至B点。设物块受到凹槽的支持力为FN，则在上述过程中F和FN大小的变化情况为 A．F和FN都一直增大 B．F一直增大，FN先减小后增大 C．F先增大后减小，FN一直增大 D．F和FN都先增大后减小 （三）相似三角形法 1．某学校兴趣小组根据所学力学知识设计了如图所示的送餐装置，送餐员将食物放在吊盘中，取餐者自行通过细绳搭在光滑定滑轮上将带铰链的轻杆缓慢上拉，从而取得食物。在轻杆被缓慢上拉到取到食物前的过程中 A．此人手上所受的拉力F先减小，后增大 B．此人手上所受的拉力F始终不变 C．轻杆所受压力大小始终不变 D．轻杆所受压力先减小，后增大 2．（多选）如图所示，一轻弹簧一端套在固定的光滑水平轴O上，另一端固定在质量为m的小球上，在O点的正上方有一光滑定滑轮，细绳通过滑轮与小球连接，在细绳的另一端用适当大小的力拉住，使小球处于静止状态。若缓慢拉动细绳（始终保持小球平衡）直到小球刚到滑轮的正下方过程中，下列说法正确的是 A．细绳的拉力大小不变 B．细绳的拉力大小逐渐变小 C．弹簧形变量不变 D．弹簧形变量逐渐变大 3．如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力F拉住，开始时绳与竖直方向的夹角为θ，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环移动一小段距离，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是 A．绳与竖直方向的夹角为θ时，F＝mgcos θ B．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力逐渐增大 C．小球沿光滑圆环下降过程中，小球所受支持力大小不变 D．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力逐渐增大 二、平衡中的临界极值问题 1．如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于 A． B． C． D． 2．如图所示，用一根长为l的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使小球A处于静止状态时细绳与竖直方向成30°角绷紧，需要施加的最小外力是 A．mg B．mg C．mg D．mg 3．如图所示，质量均为m的a、b两个小球，用细线悬挂在天花板上的同一点O，并用第三根细线连接a、b两小球，三根细线长度相等，现对小球a施加一个作用力F，当两小球均处于静止状态时，三根细线均处于拉直状态，且OB恰好沿竖直方向，重力加速度为g，则作用力F的最小值为 A．2mg　　　　　　　　 B．mg C．mg D．mg 4．（多选）如图所示，质量均为M的A、B两滑块放在粗糙水平面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物C，整个装置处于静止状态，设杆与水平面间的夹角为θ。下列说法正确的是 A．当m一定时，θ越大，轻杆受力越小 B．当m一定时，θ越大，滑块对地面的压力越大 C．当m和 θ一定时，滑块与地面间的摩擦力与质量M无关 D．只要增大m，M一定会滑动 5．（多选）用绳AC和BC吊起一重物处于静止状态，如图所示。若AC能承受的最大拉力为300 N，BC能承受的最大拉力为210 N，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，则下列说法正确的是 A．当重物的重力为300 N时，开始瞬间AC、BC都不断，AC拉力比BC拉力大 B．当重物的重力为300 N时，开始瞬间AC、BC都不断，AC拉力比BC拉力小 C．当重物的重力为350 N时，开始瞬间AC不断，BC刚好断 D．当重物的重力为350 N时，开始瞬间AC断，BC也断 6．如图所示，通过轻杆相连的A、B两小球，用两根细线将其悬挂在水平天花板上的O点。 已知两球所受重力均为G，轻杆与细线OA长均为L。 现用力F作用于小球B上（图上F未标出），使系统保持静止状态且A、B两球在同一水平线上， 则力F最小值为 A.G　 B．G C．G　　　 D．2G 7．如图甲所示，工人师傅在卸货、上货时通常要在车尾和地面之间搭一块平板组成一个斜面，方便运送货物。某次运送货物时，平板与地面之间夹角θ＝30°，货物刚好能从斜面顶端匀速滑下。现工人想将一质量为75 kg的重物沿斜面推上货车，示意图如图乙所示，则工人应该在沿斜面方向至少施加的推力为（已知重力加速度g取10 N/kg） A．1 500 N B．750 N C．750 N D．1 500 N 8．搬砖可以用夹钳，如图所示。已知砖块均为规格相同的长方体，每块质量为2.4 kg，夹钳与砖块间的动摩擦因数为0.6，砖块间的动摩擦因数为0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。现用夹钳将4块砖竖直夹起，其对砖块一侧壁施加的压力大小至少为 A．40 N B．80 N C．120 N D．240 N 9．如图所示，一根轻绳绕过光滑定滑轮，一端固定在天花板的A点，另一端吊着一个装有砂子的砂桶乙，同样装有砂子的砂桶甲通过光滑挂钩挂在轻绳上，通过增加桶中砂子的质量，可以改变砂桶的总重，则下列判断正确的是 A.若AB绳和BC绳间夹角大于120°，则乙桶的总重大于甲桶的总重 B．若缓慢增大甲桶的总重，则轻绳对乙桶的拉力增大 C．若缓慢增大乙桶的总重，则轻绳对甲桶挂钩的作用力增大 D．若将悬点A缓慢向右移，则AB绳和BC绳间的夹角会逐渐减小 10．质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是 A．推力F先增大后减小 B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C．墙面对凹槽的压力先增大后减小 D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 11．新疆是我国最大的产棉区，在新疆超出70%棉田都是通过机械自动化采收，自动采棉机将棉花打包成圆柱形棉包，然后平稳将其放下。放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为m的棉包放在“V”型挡板上，两板间夹角为120°固定不变，“V”型挡板可绕P轴在竖直面内转动，使BP板由水平位置逆时针缓慢转动，忽略“V”型挡板对棉包的摩擦力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是 A．棉包对AP板的压力先增大后减小 B．棉包对BP板的压力先减小后增大 C．棉包对BP板的压力一直减小 D．当BP板转过30°时，棉包对BP板的压力大小为mg 12．质量M＝5 kg的斜面置于粗糙水平面上，其上表面光滑，质量m＝2 kg的小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，如图所示，图中α＝θ＝37°，整个装置处于静止状态。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： （1）轻绳的弹力大小； （2）地面对斜面的支持力大小； （3）另外用一个拉力拉小球，要使地面对斜面摩擦力为零，对小球施加拉力的最小值Fmin。 13．如图所示，质量M＝4 kg的物块甲置于倾角为37°的斜面上，物块甲与斜面间动摩擦因数μ＝0.5，物块与斜面间最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。质量m＝1.5 kg的物块乙通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，水平轻绳OA与物块甲连接于A点，轻绳OB与水平方向夹角也为37°。对物块甲施加沿斜面方向的力F（图中未画出）使甲、乙两物体均静止。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2。 （1）求轻绳OA的弹力大小。 （2）剪断OA，此时需要多大的力才能让甲保持静止，求出力的范围。 14．2022年国庆假期，张华同学去外婆家度假，她正拖着行李箱去检票。张华拉行李箱可以简化为如图乙所示的模型：质量为m＝10 kg的木箱置于水平地面上，受到一个与水平方向成θ角斜向上的拉力F，它与地面间的动摩擦因数μ＝，g取10 m/s2，为使木箱做匀速直线运动，求拉力F的最小值以及此时θ的大小。 15．某同学做家务时，使用拖把清理地板，如图所示。假设拖把头的质量为1 kg，拖把杆的质量不计，拖把杆与水平地面成53°角。当对拖把头施加一个沿拖把杆向下、大小为10 N的力F1时，恰好能推动拖把头向前匀速运动。重力加速度g取10 m/s2，sin53°＝0.8。 （1）求拖把头与地板间的动摩擦因数μ。 （2）当拖把静止时，对拖把头施加一个沿拖把杆向下的力F2，拖把杆与地面的夹角为θ。当θ增大到某一值时，无论F2多大，都不能推动拖把头，求此时的θ值。（为方便起见，本问可忽略拖把头的重力，且认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力） 16．如图所示，质量M＝2 kg的木块套在水平粗糙固定杆上，并用轻绳与质量m＝1 kg的小球相连。今用跟水平方向成60°角的力F拉着小球并带动木块一起向右匀速运动，轻绳与水平方向的夹角θ＝30°，运动中M、m的相对位置保持不变，（g取10 m/s2，＝1.732，结果保留2位小数），在运动过程中。求： （1）力F大小； （2）木块M与水平杆间的动摩擦因数μ。 17．一质量m＝2 kg的木块放在倾角为θ＝30°的固定斜面上时，木块恰能沿斜面匀速下滑。现用与斜面夹角α＝37°的拉力F拉着木块使木块沿斜面匀速上滑，如图所示。已知g取10 m/s2，sin37°＝0.6。（结果可带根号）求： （1）木块与斜面间的动摩擦因数； （2）拉力F的大小。 18．如图所示，在水平地面上竖立一硬质杆，一中心有孔的物块A套在竖直杆上，现将A用一不可伸长的轻绳通过光滑定滑轮与物块B相连，物块A所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轻绳与水平方向的夹角θ＝37°（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）。 （1）若硬质杆光滑，A、B均恰好保持静止，求A、B物块的质量比mA∶mB。 （2）若硬质杆与A之间的动摩擦因数μ＝0.5，改变B的质量使A始终静止不动，求A、B物块的质量比mA∶mB的取值范围。 ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $