上海市上海交通大学附属中学闵行分校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

2025-2026学年度第一学期 高一数学期末考试卷 （满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上.） 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置4律得零分） 1. 集合，，则_____. 2. 关于的不等式的解集为____________. 3. 已知，若与的终边相同，且，则_____. 4. 已知，，若，则的最大值是______． 5. 已知，且，则_____. 6. 已知，，则用表示_____. 7. 已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是______. 8. 已知，_____. 9. 如图，从半径为的圆中剪下圆心角为弧度，半径为的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则_____. 10. “群”的概念由数学家伽罗瓦在世纪年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设“”为一个非空集合，“”为一种运算，如果同时满足下述条件： （1）对任意的，均有； （2）对任意的，均有； （3）存在使得，对任意的，都有， （4）对任意的，存在，使得； 则称为一个群.下列叙述中，使得构成群的是______. ①，对任意的，； ②，对任意的，； ③，对任意的，； ④，对任意的，. 11. 已知对任意两个实数，定义.已知函数是定义域为的奇函数，且当时，.若对任意的，都有，则实数的取值范围是__________. 12. 一般地，若从任意三角形的三边分别向外作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的外拿破仑三角形；若从任意三角形的三边分别向内作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来也构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的内拿破仑三角形.在 中，已知 的外拿破仑三角形（如图1）的面积为 ，内拿破仑三角形（如图2）的面积为，则 的最大值等于________. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知、，且，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算（ ） A. B. C. D. 15. 2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（Joshua Zahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：已知圆半径为2，点为圆上两点，且，则线段旋转后（始终在圆上），该线段扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 16. 已知定义在上的单调函数满足.若对，，使得成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14-18+18=78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤. 17. 设全集，已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围. 18. 在平面直角坐标系xOy中，角以轴的正半轴为始边. （1）若点为角终边上一点，且，求的值； （2）若终边与单位圆交于点，且，满足，求的值及的坐标. 19. 公园内有一块三角形绿地，其中米，米，.绿地内种植有一扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，弧与相切于点. （1）求扇形花卉景观的半径，以及面积； （2）为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成三角形（如图），其中，使得原有的扇形花卉景观扩建为半径米，并且与相切于点，两边都落在三角形边上的扇形，求绿地三角形占地面积的最小值，并求此时、的长. 20. 已知. （1），函数为偶函数，求实数的值. （2）当时，.函数有零点，求实数的取值范围. （3）是否存在正实数、，当，函数的值域为？若存在，求出、的值：若不存在，则说明理由. 21. 已知函数.如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级递减类周期函数”，类周期为；如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，类周期为. （1）已知，判断函数是不是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1，并说明理由. （2）已知是上的“级类周期函数”，类周期；且在上严格单调递增.当时，，试写出当时，函数的解析式，并求实数的取值范围. （3）已知是上的“1级类周期函数”，类周期，且在区间中存在唯一，使为函数的最大值，是否存在非零实数，，函数是上的“级类周期函数”，且类周期为?若存在，求出所有必定满足条件的；若不存在，请说明理由. 2025-2026学年度第一学期 高一数学期末考试卷 （满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上.） 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置4律得零分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】①③④ 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14-18+18=78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤. 【17题答案】 【答案】（1），； （2）. 【18题答案】 【答案】（1）当时，，当时，， （2）；点的坐标为 【19题答案】 【答案】（1）， （2）， 【20题答案】 【答案】（1）； （2）； （3） 易知在上单调递增，且， 又因为在上单调递增， 因此由复合函数的单调性，可知在上单调递增. 因此，若存在正实数、，当，函数的值域为， 则需且，故问题可转化为判断方程在上是否有两个不同的解. 设， 当时，，，，则， 即当时，， 即当时，方程在上无解， 因此不存在正实数、，当，函数的值域为. 【21题答案】 【答案】（1）函数是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1； （2），； （3）不存在，理由如下： 是上的“1级类周期函数”，类周期， ， 假设存在非零实数，使得是上的“级类周期函数”， 且类周期为，即对于任意的，恒有， 中存在唯一，使为函数的最大值，， 则对于任意的，恒有成立， 即对于任意的，恒有成立， ，，， ，， ，， 由函数有界性可知，此等式不成立， 故不存在这样的值，符合题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $