上海市闵行区部分学校2024-2025学年高三上学期1月调研数学试卷

2024学年度第一学期高三1月调研 数学试卷 (完卷时间：120分钟满分：150分) 学生注意： 1。本试卷包括试题纸和答题纸两部分。 2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题 3。可使用符合规定的计算器答题 一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题 纸的相应位置直接填写结果 1.设x∈R,不等式'。<0的解集为 x-2 2.设a∈R,集合A=1,3],B=[a,4],若A∩B=[2,3],则a= 3.抛物线y2=x的焦点到其顶点的距离为 4.若f(x)=cos3 rCOSx+sin3 x sinx,则函数y=f(x)的最小正周期为 5.若关于x的方程x2-x+m=0的一个虚根的模为2，则实数m的值为 6.设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn,已知4+as=2,则S,= 7.已知复数=满足上-1+i=1,其中i为虚数单位，则的最小值为 8.不等式k+3+a-x>6对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 9.植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度y(单位：cm)与生长期x(单 位：天)之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期x 9 11 17 植物高度y 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程y=àx+b中à=0.2，试预测生长日期是30天时，植物高度约 ∑xy-2x 为 cm.(a= -,b=-) 高三数学第1页共5页 10.有3件商品的编号分别为位=1,2,3)，它们的售价（元）S)∈5,7,8,10,11,20}，且满 足S)≤S2)≤S3),则这3件商品售价的所有可能情况有 种 11.某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预 计每件产品的售价为x元(8≤x≤11)时，一年的销售量为12-x)2万件，则每件产品售价为 元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 12.空间中有相互垂直的两条异面直线l、l,,点A、B∈1，C、D∈1，，且AB=4,CD=1,若 DA⊥DB,且AC=BC+2,则二面角D-AB-C平面角的余弦值最小为 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分)每题有且 只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13.如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明(). A.两种证券的收益有反向变动的倾向 B.两种证券的收益有同向变动的倾向 C.两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D.两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 14,“a>b”是“1ga>1gb的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 15.已知A、B、C是单位圆上的三个点，若AB=√2，则ABBC的最大值为() A.2 B.1+2 C.√2+1 D.√2-1 2 16.若对任意正整数n,数列{an}的前n项和Sn都是完全平方数，则称数列{an}为“完全平方数 列.有如下两个命题：①若数列{b}的前n项和Tn=(n-t)'(t为正整数)，则使得数列b}为“完 全平方数列的t值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.则下列选项中 正确的是 ( A①是真命题，②是真命题； B.①是真命题，②是假命题： C.①是假命题，②是真命题； D.①是假命题，②是假命题 高三数学第2页共5页 三。解答题（本大题共有5题，满分8分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步 豫 17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 己知f(x)=2. (1)若f(x)-f(2-x)=3,求x的值： (2)是否存在实数a,使函数y=f(x)+f(x)是奇函数？请说明理由. 18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图，四边形ABCD为长方形，PA⊥平面ABCD,AB=AP=2,AD=3. (1)若E、F分别是PB、CD的中点，求证：EF∥平面PAD: (2)边BC上是否存在点G,使得直线PG与平面PAD所成的角的大小为30°？若存在， 求BG长；若不存在，说明理由. 高三数学第3页共5页 19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分) 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师 选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统 计，制作了如下的2×2列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据显著性水平α=0.01的独立性检验，能否认为参数调试与产品质 量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调 试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为X,求X的分 布和期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其 中合格的件数为Y,求使事件“Y=k”的概率最大时k的取值。 n(ad-be)? 参考公式及数据：X= (a+b)(c+d)(a+c)6+d)' 其中n=a+b+c+d. px2≥x) 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 Xo 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 高三数学第4页共5页 20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 己知双曲线T的标准方程为x-二=1，点P是双曲线T右支上的一个动点。 2 (1)求双曲线T的焦点坐标和渐近线方程： 、B (2)过点P分别向两条渐近线作垂线，垂足为点， 求PF·PF的值： (3)若OP>√2，如图，过P作⊙0：x2+y2=2的切线l, 切点为M,交双曲线厂的左支于点Q,分别交两条渐近 线于点A、B.设PQ=2AB|,求实数的取值范围. 第20题图 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 定义在D上的可导函数y=f(x),集合Am={f()川F(化)=k,x∈D,i=1,2,,m,m为正 整数}，其中F(x)=f(x)+f'(x)称为f(x)的自和函数，x称为y=f(x)的固着点.已知 f(x)=ae*+bx+csinx(a,b,cER) (1)若a=c=0,b=2,D=R,f(x)eAm,求m的值及y=f(x)的固着点； (2)若a=0,b=l,c=l,D=[s,t(s>0),F(x)是f(x)的自和函数，且F(x)在D上是严格增函 数，求t-s的最大值： (3)若b=-1,c=0,D=(0,+∞)，f(x)∈Aou,且t是y=f(x)的固着点，求a的取值范围，并 证明： 2a 高三数学第5页共5页 高三年级数学答案 一、填空题 1.(0,2) 2.2 3.1 4.25 5.4 6.17 7.√2-1 8.a∈(-0，-9)U(3.+o) 9.7.7 10.56 11.9 1245 9 二、选择题 13.B 14.B 15.D 16.A 三、解答题 17.解(1)由题设，2-22-*=3，即(2*)2-3·2-4=0， 解得2=4，负值舍.因此x=2. (2)函数y=2+a·2x的定义域为R. 记(x)=2+a:2x. 若y=h(x)是奇函数，则h(0)=0,即1+a=0,解得a=-1. 当a=-1时，h(x)=2-2x,其定义域为R. 对任意给定的xeR,都有-xeR,并且(-x)=2-2=-h(x). 因此，当a=-1时，函数y=f(x)+f(-x)是奇函数. 18. (1)证明： 取AP中点M,连接EM、DM, ME//AB,DF //AB .ME //DF :证=4B,Dr=号4B ∴.ME=DF ∴.四边形DFEM为平行四边形 .EF//DM ,DMC平面PDA,EF在平面PDA外 .EF/平面PDA (2)解：作GH⊥AD,垂足为H,连接PH .PA⊥平面ABCD ∴.PA⊥GH .∴.GH⊥平面PAD .直线PG与平面PAD所成的角为∠GPH=30°， .H PH 2-tam30°=万' 1 .PH=2√3 .BG=AH =PH2-PA=22 .边BC上存在点G,使得直线PG与平面PAD所成的角为30°，BG=2√2 19.解：(1)零假设为H。：假设依据α=0.01的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联： 则x-1045x5-35x15-2344<X=6635, 80×20×40×60 故依据=0.01的独立性检验，没有充分证据说明零假设H。不成立， 因此可认为H。成立，即认为参数调试与产品质量无关联： (2)依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 合格产品有8x45 6件，不合格产品有2件， 60 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数X的可能值有1,2,3. 则x-答x-2-等-是x-答-器 C8-2814 1 2 3 故X的分布为： 3 15 5 28 28 14 则E(X)=1× 3+2 2 +3 15 10 9 28 284 (3)依题意， 随机抽取调试后的产品的合格率为0=8，故Y~B000,门 1000-2 则PY=)=C0 8 P ,k=0,1,,1000, k+1 、999-k 1 P(Y=k+1) 8 由 1000-k×7-7000-7张径 P(Y=) 1000-k 7 k+1 k+1 (8 8 故由2000-7k>1可解得k<874 k+1 因k∈Z,故当0<k≤874时，P(Y=k)单调递增： 由 700-7000≤1可解得28745：即当k≥875时，P0=内单调递减 k+1 故当事件“Y=k”的概率最大时，k=875. 20.解(1)双曲线r的焦点坐标为(V3,0)和(-√3.0)，渐近线方程为y=V2x和y=-V2x. (2)设P(),则x,2-=1, 2 不妨设PF垂直于直线y=√2x,PF,垂直于直线y=-√2x, 则=（-2，)是与P巧同向的一个向量，，=（-√2，-1)是与P见同向的一个向量， 可得m原网-)号 (2-1-1 网网 西两=网P啊cs(明)g上 339 (3)设M(),则+=2且x3,3 (2W525 由OM=(x,y),则切线l的方程为x(x-x。)+(y-y)=0,化简得xx+yy=2, xox+yoy=2 1 消去y得(x6-2y)x2-4xx+2y+4=0, 2 因为x6+=2,整理得(3x6-4)x2-4xx+8-2x=0 可得3x6-4<0, △=(-4x)2-43x6-4)8-2x)=8(3x-8)66-2)>0. 设6》小、Q),则+年，=34 4x0 8-2x0 x=36-4 网-小要-号 2V8(3x号-8(-)48-3x 4-3xd 4-3x6 渐近线方程为y=√2x和y=-√2x, 2 xox+yoy=2 ly=Vx 得x=2 x。+V2y。 y=-2 x。-V2y 2458 4V8-3x 。8 4-3x 21.(1)由题得f(x)=2x,f"(x)=2,所以F(x)=2x+2 因为feAa所以2x+2=1,x=- 所以m=1,因若点=号 (2)由题得f(x)=x+si1x,f'(x)=1+Cosx 所以F(o)=x+l+√2sinm(x+亚) 41 因为F(x)是D上的严格增函数， 所以F(x)=1+V2cos(x+)≥0在[s,t]上恒成立 由于不等式co:+之-5的解是2kr+5x≤2k+5F化e2) 4 2 所以s=2k元+，2ke+16ke2 所以i-s2x+经-(2ka+)= 2 因此1-5的最大值是3 (3)由题得f(x)=ae-x,f'(x)=ae-1, 所以F(x)=2ae-x-1. 因为f)∈Ao且t是f()的固着点，所以2=+1(*)在0，+∞）上有唯一的解t ex 记g)=6x≥0叭.则g()=音<0，所以86)在(@+)是严格减函数， 从而g(x)<g(0)=1 又当x→+0时，g(x)→0，故g(x)的值域是(0,1)， 所以0<2a<1,即ae0宁 记)=+1-2a,则由上述可知()是(0，+∞)的严格减函数且0=0 e +1 hon 1)-2a-2a=-2al(2a). 2a e 2a