湖南省长沙市望城区第二中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 2025年下学期望城二中高一期末考试数学试题 一、单选题 1.集合，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，解得，即， 因故. 故选D. 2.已知实数，，满足，则的最小值是( ) A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】实数，，满足，故， 即， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故选C 3.已知函数，则( ) A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】因为， 所以，. 故选A. 4.若对任意成立，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，故，则或， 令，得，解得，故，解得， 当时，， 当时，， 综上，. 故选C 5.Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为( ) （参考数据：，） A． 14 B． 15 C． 16 D． 17 【答案】C 【解析】由于，所以， 依题意，则， 则，由， 所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为16次． 故选：C. 6.在，，四个数中，按从小到大排序，正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于，所以. 故选：A 7.已知，且，，，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，将其代入， 得， 展开得， 整理得，又，，， 所以，两边除以 ， 得，解得． 故选：D． 8.已知函数的部分图象如图所示，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为图象过点，所以， 为函数递减区间上的零点，可得，即， 因为，所以. 故选A. 二、多选题 9.若，都为正实数，且则( ) A．的最大值为1 B．的最小值为9 C．的最小值为2 D． 【答案】ABC 【解析】对于A，因为，，所以， 当且仅当时，取等号，所以的最大值为1，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为9，故B正确； 对于C，由，得，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为2，故C正确； 对于D，因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断. 10.已知函数若关于的方程有3个实数解，则( ) A． B． C． D． 关于的方程恰有3个实数解 【答案】ABD 【解析】如图，依题意作出函数图象， 对于A项，作出关于轴对称的函数的图象，与直线交于点，则，不难看出点在点的右侧，则，故，A项正确； 对于B项，因当时，的图象关于直线对称，故点与点关于直线对称，则， 由可得：，即，则得，故B项正确； 对于C项，当时，由解得：， 由解得：，， 此时，故C项错误； 对于D项，依题意，，在上单调递增，故， 于是由图知，函数与的图象恰有三个交点，即关于的方程恰有3个实数解，故D项正确. 故选：ABD 11.已知函数在上有且仅有条对称轴；则( ) A． B．可能是的最小正周期 C．函数在上单调递增 D．函数在上可能有个或个零点 【答案】AD 【解析】； 对于A，当时，， 在上有且仅有条对称轴，，解得：， 即，A正确； 对于B，若是的最小正周期，则，不能是的最小正周期，B错误； 对于C，当时，； ，，， ，当时，不是单调函数，C错误； 对于D，当时，， ，； 当时，在上有个零点； 当时，在上有个零点； 在上可能有个或个零点，D正确. 故选：AD. 三、填空题 12._______． 【答案】 【解析】原式 . 故答案为：. 13.已知函数是定义在上的偶函数．若函数在上单调递增，则不等式的解集为_______. 【答案】 【解析】，， 则不等式可化为， 化简得， 由为定义在上的偶函数，也为定义在上的偶函数， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，故答案为. 14.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田(由圆弧和其所对弦所围成)面积的计算公式：弧田面积＝(弦×矢＋矢2).公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离.如图，弧田是由和其所对弦AB围成的图形，若弧田的长为，弧所在的圆的半径为4，则利用《九章算术》中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为_____. 【答案】8＋2－ 【解析】设所对圆心角的弧度为α， 由题意可知α×4＝，解得α＝. 故扇形AOB的面积为××4＝π， △AOB的面积为×sin ×42＝4， 故弧田实际的面积为－4. 作OD⊥AB分别交AB，于点D，C， 则AB＝4，OD＝2，CD＝2， 所以利用《九章算术》中的弧田面积公式计算出来的面积为×(4×2＋22)＝4＋2， 则所求差值为(4＋2)－＝8＋2－. 四、解答题 15.已知集合，集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为或， ， 且，则，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）因为，则，解得， 因为，则或，可得或. 综上所述，实数的取值范围是. 16.已知函数，，. （1）若为偶函数，求实数的值； （2）对任意的，都存在使得，求实数的取值范围. 【解析】解：（1）因为为偶函数， 所以，即， 因为，所以， 所以， 因为，所以，解得， 当时，得，由于不恒为，故不满足题意； 当时，得； 经检验，当时，， 所以，易知的定义域为，关于原点对称， 又易得，所以为偶函数， 综上：. （2）因为对任意的，都存在使得， 所以， 因为，所以，则， 令，则，， 当时，， 则开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则； 当时，， 则开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则； 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以当时，，则， 当时，，则， 综上：当时，；当时，， 所以当时，有，解得或，故； 当时，有，解得或，故； 所以或，即. 17.已知函数，函数的定义域为. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 【解析】（1）函数的定义域为， 证法一： ， 所以，， 所以，函数为奇函数， 故函数的图象关于点对称，其对称中心为； 证法二：因为 ， 所以，函数的图象关于点对称，其对称中心为. （2）因为函数的图象关于点中心对称， 因为，解得， 当时，。 当时，，则 ， 所以，， 综上所述，. 18.已知函数在上的最大值与最小值之和等于6，设函数. (1)求的值，判定函数的单调性，并用定义证明； (2)证明为奇函数； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【解析】(1)由在上单调，则，解得，或(舍)． 故，函数定义域为， 在上单调递增，证明如下， 令，则， 由，，则，即， 所以在上单调递增； (2)，函数定义域为， 则， 所以为奇函数； (3) ． 令， 当且仅当，即时取等号， 所以． 所以实数的取值范围为． 19.已知向量，，且函数. （1）求函数的最小正周期与单调增区间. （2）若锐角中，，，分别为角，，对的边，，求的取值范围. 【解析】（1）， 所以，函数的最小正周期为. 令，解得，， 所以，函数的单调增区间为，. （2）因为，所以，即， 因为，，故. 因为是锐角三角形，故，，所以. 而，且， 故，所以. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025年下学期望城二中高一期末考试数学试题 一、单选题 1.集合,则( ) A. B. C. D. 2.已知实数,,满足,则的最小值是( ) A. B. C.1 D.2 3.已知函数,则( ) A. B. C.2 D.4 4.若对任意成立,则( ) A. B. C. D. 5.Deepseek(深度求索)是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6,衰减速度为20,且当训练迭代轮数为10时,学习率衰减为0.3,则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为( ) (参考数据:,) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6.在,,四个数中,按从小到大排序,正确的是( ) A. B. C. D. 7.已知,且,,,则( ) A. B. C. D. 8.已知函数的部分图象如图所示,则( ) A. B. C. D. 二、多选题 9.若,都为正实数,且则( ) A.的最大值为1 B.的最小值为9 C.的最小值为2 D. 10.已知函数若关于的方程有3个实数解,则( ) A. B. C. D. 关于的方程恰有3个实数解 11.已知函数在上有且仅有条对称轴;则( ) A. B.可能是的最小正周期 C.函数在上单调递增 D.函数在上可能有个或个零点 三、填空题 12._. 13.已知函数是定义在上的偶函数.若函数在上单调递增,则不等式的解集为_. 14.《九章算术》是中国古代的数学名著,其中《方田》一章给出了弧田(由圆弧和其所对弦所围成)面积的计算公式:弧田面积=(弦 矢+矢2).公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离.如图,弧田是由和其所对弦AB围成的图形,若弧田的长为,弧所在的圆的半径为4,则利用《九章算术》中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为_. 四、解答题 15.已知集合,集合 (1)若,求实数的取值范围; (2)已知,,求实数的取值范围. 16.已知函数,,. (1)若为偶函数,求实数的值; (2)对任意的,都存在使得,求实数的取值范围. 17.已知函数,函数的定义域为. (1)证明:函数的图象关于点成中心对称图形,并求坐标; (2)若函数的图象关于点成中心对称图形,且时,,求函数的解析式. 18.已知函数在上的最大值与最小值之和等于6,设函数. (1)求的值,判定函数的单调性,并用定义证明; (2)证明为奇函数; (3)若不等式对恒成立,求实数的取值范围. 19.已知向量,,且函数. (1)求函数的最小正周期与单调增区间. (2)若锐角中,,,分别为角,,对的边,,求的取值范围. 第2页,共2页 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $