寒假作业02 与三角形有关的角 2025-2026学年人教版八年级数学上册

巩固作业02 与三角形有关的角 限时练习：40min 完成时间： 月 日 目录 题型一、三角形内角和定理的应用 1 题型二、直角三角形两锐角关系 4 题型三、三角形外角定义与性质 8 题型四、与平行线有关的三角形内角和问题 10 题型五、与角平分线有关的三角形内角和问题 12 题型六、三角形折叠中的角度问题 15 题型一、三角形内角和定理的应用 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）将一副标准三角板按如图位置放置．其中A，E，F，B四点在一直线上，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等． 根据对顶角相等得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）已知，在中，，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和恒为是解题的关键． 直接利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，且， ∴． 故选C． 3．（25-26八年级上·山东济宁·月考）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理．分三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】解：在等腰三角形中，，顶角为， 当是锐角三角形时，，如图： 根据题意可得，， 在中，； 当是直角三角形时，，此时是等腰直角三角形，底角是，不符合题意； 当是钝角三角形时，如图： 根据题意可得，， 在中，， 故． 综上，顶角为或． 故选：D． 4．（25-26七年级上·陕西西安·月考）一副三角尺如图摆放，图中不含角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形中角度计算问题，根据三角形内角和定理结合三角板摆放位置进行判断即可． 【详解】解：A．如图所示，∵， ∴， ∴选项A不符合题意； B．如图所示，∵， ∴， ∴选项B不符合题意； C．如图所示，∵，，，， ∴ ∴没有角，符合题意； D．如图所示，∵， ∴， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 题型二、直角三角形两锐角关系 5．（25-26八年级上·天津和平·期末）如图，在中，，是斜边上的高，于点E．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查，直角三角形中，两锐角互余，根据题意可得，再结合，则，即． 【详解】 是斜边上的高， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 6．（25-26八年级上·福建莆田·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及直角三角形两锐角互余，通过分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，并画出对应的图形进行分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】解：设该等腰三角形为，且， ①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1所示，    由题意得，， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，    由题意得：，， ∴， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； 综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为或， 故选：D． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则 ， ，是 三角形． 【答案】 直角三角形 【分析】题考查了三角形内角和定理及直角三角形的判定．利用三角形内角和定理，设为未知数，根据已知条件表示和，列方程求解 【详解】解：在中，． 已知，， 代入得：， 即， 解得． 则． 由于，因此是直角三角形． 故答案为：，，直角三角形． 8．（25-26八年级上·广东广州·期中）在中，，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余． 根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：D． 9．（25-26八年级上·吉林白山·月考）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多，则两个锐角分别为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 通过设未知数，列方程求解两个锐角的度数． 【详解】解：设较小的锐角为， 则较大的锐角为． 根据直角三角形两锐角互余，得． 解得：， 则． 故两个锐角分别为和， 故答案为：和． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【详解】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 11．（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】证明： ， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 题型三、三角形外角定义与性质 12．（25-26八年级上·全国·期末）在中，，，则的外角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质，熟记定理即可快速求解． 根据三角形外角的性质，一个角的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【详解】解：∵的外角等于与的和， ∴外角． 故选：B． 13．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在中，，将沿着折叠后，点B落在上的点E处，若，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质． 先由折叠的性质得出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵将沿着折叠，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·广东汕头·月考）如图，在中，平分，，垂足为F，交于点E，若，，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题主要考查垂线、角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角定理，利用垂线、角平分线的定义得到对应角的关系是解题的关键． 首先根据垂直线、角平分线的性质得到对应角的关系，再通过三角形的内角和定理得出，最后利用三角形外角和定理求出的度数即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴． 15．（15-16八年级上·内蒙古鄂尔多斯·月考）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，由三角板可知，， ， ， 故选：C．     题型四、与平行线有关的三角形内角和问题 16．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 17．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 18．（25-26八年级上·河南许昌·期中）在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论． 如图，已知，，是的内角，求证： 小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明． 请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． 【答案】各方法证明见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线之间的角度数量关系是解题的关键． 对于①，作，可得，，结合平角度数为，可证出． 对于②，作，可得，，结合平角度数为，可证出． 对于③，作，可得，结合角度之和为的等量关系，可证出． 【详解】证明： 对于①，作， 可得，，， ∵平角度数为，所以 即． 对于②，作， 可得，，， ∵平角度数为，所以 即． 对于③：作， 则， ， ， ， 题型五、与角平分线有关的三角形内角和问题 19．（24-25八年级上·新疆·期末）如图，是的角平分线，是的角平分线，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是． 先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得，，根据等式的性质变形得，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵分别平分和， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 而， ∴． 故选：C． 20．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在△中，点是内部的平分线上一点，连接，点是、平分线的交点，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解题的关键．先求出的度数，进一步得到的度数，据此得到的度数，最后根据角平分线的定义即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵点是、平分线的交点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵点是内部的平分线上一点， ∴． 故答案为： 21．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，已知中，平分交于，于，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟知三角形内角和为是解题的关键． 根据三角形的内角和定理求得，，则，根据角平分线的定义即可求得的度数，最后根据三角形的内角和即可求得的度数． 【详解】解：，，， ，， ， 平分， ， ． 22．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，在中，是边上的高，平分交于点．若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高线，牢记三角形内角和是是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合角平分线的定义可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】解：是边上的高， ． 在中，，， ． 平分， ． 在中，，， ． 题型六、三角形折叠中的角度问题 23．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，角平分线定义，将所求的角转化为已知角进行计算是解题的关键． 先求出，在中可求得，由翻折的性质可得，接下来根据两个平角和为及的度数即可求出． 【详解】解：∵平分平分， ， ， ， ， ， ， 由翻折可得，， 即， ， ， ， ， 故答案为：． 24．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∴， ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 25．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：D． 26．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的定义，根据翻折变换的性质和平角的定义求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，    ∵四边形纸片沿折叠，点A落在处， ∴， ∵， ∴， 在中，． 答：的度数是． 27．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质等知识，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可知：，，进而可得出，进而可得出，再根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：在中，， 则， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， 故答案为：． 28．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿折叠后，点落到点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 29．（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 30．（25-26八年级上·福建厦门·月考）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【答案】(1)①；；②是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明，则可证明，据此可得结论； （2）由折叠的性质得到，则；再分，，和四种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵与互为“友爱角”（）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②是“友爱三角形”，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“友爱三角形”； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴； ∵是“友爱三角形”， ∴当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巩固作业02 与三角形有关的角 限时练习：40min 完成时间： 月 日 目录 题型一、三角形内角和定理的应用 1 题型二、直角三角形两锐角关系 1 题型三、三角形外角定义与性质 2 题型四、与平行线有关的三角形内角和问题 3 题型五、与角平分线有关的三角形内角和问题 4 题型六、三角形折叠中的角度问题 5 题型一、三角形内角和定理的应用 1．将一副标准三角板按如图位置放置．其中A，E，F，B四点在一直线上，则的度数是 ． 2．已知，在中，，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 3．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（   ） A．或 B． C． D．或 4．一副三角尺如图摆放，图中不含角的是（    ） A． B． C． D． 题型二、直角三角形两锐角关系 5．如图，在中，，是斜边上的高，于点E．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 6．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 7．在中，，则 ， ，是 三角形． 8．在中，，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 9．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多，则两个锐角分别为 ． 10．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是 三角形． 11．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 题型三、三角形外角定义与性质 12．在中，，，则的外角是（　　） A． B． C． D． 13．如图，在中，，将沿着折叠后，点B落在上的点E处，若，则 ． 14．如图，在中，平分，，垂足为F，交于点E，若，，求的度数． 15．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（   ） A． B． C． D． 题型四、与平行线有关的三角形内角和问题 16．如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 17．如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 18．在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论． 如图，已知，，是的内角，求证： 小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明． 请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． 题型五、与角平分线有关的三角形内角和问题 19．如图，是的角平分线，是的角平分线，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 20．如图，在△中，点是内部的平分线上一点，连接，点是、平分线的交点，若，则的度数为 °． 21．如图，已知中，平分交于，于，若，，求的度数． 22．如图，在中，是边上的高，平分交于点．若，，求的度数．    题型六、三角形折叠中的角度问题 23．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为 ． 24．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 25．如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（    ） A． B． C． D． 26．如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    27．如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为 ． 28．如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿折叠后，点落到点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 30．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $