2025-2026学年人教版数学八年级上册 寒假数学作业01 与三角形有关的线段

巩固作业01 与三角形有关的线段 限时练习：40min 完成时间： 月 日 目录 题型一、三角形的识别与有关概念 1 题型二、三角形的个数问题 2 题型三、三角形的分类 3 题型四、等腰三角形 3 题型五、三角形的三边关系 4 题型六、三角形的稳定性 5 题型七、三角形的中线、角平分线、高 6 题型一、三角形的识别与有关概念 1．（25-26八年级上·广西崇左·月考）在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，顶点F的对边是 ． 4．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 题型二、三角形的个数问题 5．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 6．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 7．（25-26八年级上·广西百色·月考）如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有 对“共边三角形”． 8．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型三、三角形的分类 9．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为 个． 11．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 题型四、等腰三角形 13．（25-26八年级上·河南周口·月考）若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）的三边为，且满足关系，则是 三角形． 15．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 16．（25-26八年级上·广东江门·期中）已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 17．（25-26八年级上·四川泸州·期中）已知等腰三角形的两边长分别是5和9，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．18 B．19 C．23 D．19或23 18．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．从出发 秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ 题型五、三角形的三边关系 19．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·北京·月考）已知三角形的三边长分别为3，，，则的取值可以是（   ）． A．3 B． C．4 D． 21．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． 22．（25-26八年级上·甘肃·期末）若三角形三边长分别为5，12，，且为整数，则的最大可能值是 ． 23．如果一个等腰三角形的两条边长分别为和，那么它的周长为 ． 题型六、三角形的稳定性 24．（25-26八年级上·甘肃临夏·期末）齐家文化是世界闻名，中国最早的青铜时代文化遗存，是人类灿烂古文化瑰宝．积石山县出土的齐家文化双耳素陶鬲的三个支点形成三角形，这样设计的数学依据是 ． 25．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）刘家峡大桥是采用单跨桁式加劲梁悬索桥，主大桥结构采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是 ． 26．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图是一个篮球架，主框架依靠三角形结构支撑，其中蕴含的道理是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．三角形具有稳定性 C．三角形的两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 27．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）双人漫步机（如图）是一种有氧健身器材，其中的三角形支架应用的几何原理是（    ） A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 28．（25-26八年级上·青海西宁·期末）手机已成为人们日常生活中离不开的工具，如图，手机支架利用的数学原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形的内角和是 D．垂线段最短 题型七、三角形的中线、角平分线、高 29．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 30．（25-26八年级上·山西朔州·月考）下列各图中，作出边上的高，正确的是（   ） A． B． C． D． 31．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 33．（25-26八年级上·云南昆明·期末）跳高运动是一项集速度、力量、爆发力、技巧和胆识于一体的田径项目，它的魅力不局限于跳得高矮的表层较量，更藏在运动员腾跃横杆时，精准降低身体重心的智慧与艺术之中．如下图，当运动员采用“背越式”越过横杆时，成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”要好，最合理的解释是（    ） A．“跨越式”过横杆时运动员重心最低 B．“滚式”过横杆时运动员重心最低 C．“背越式”过横杆时运动员重心最低 D．三种方式过横杆时运动员重心相同 34．（25-26八年级上·广东珠海·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数为______． 35．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巩固作业01 与三角形有关的线段 限时练习：40min 完成时间： 月 日 目录 题型一、三角形的识别与有关概念 1 题型二、三角形的个数问题 3 题型三、三角形的分类 5 题型四、等腰三角形 7 题型五、三角形的三边关系 10 题型六、三角形的稳定性 12 题型七、三角形的中线、角平分线、高 15 题型一、三角形的识别与有关概念 1．（25-26八年级上·广西崇左·月考）在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 3．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，顶点F的对边是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，掌握三角形的相关定义是解题的关键． 由的三边分别为，其中与顶点F相邻，与顶点F相对，据此即可解答． 【详解】解：由题意得，在中，顶点F的对边是． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 题型二、三角形的个数问题 5．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：∵在中，，是 边上的高， ∴，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 6．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键． 根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以为顶点的三角形有， ∴以为顶点的三角形的个数是4个． 故选：D． 7．（25-26八年级上·广西百色·月考）如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有 对“共边三角形”． 【答案】18 【分析】本题考查了三角形，理解“共边三角形”的定义是解题关键．根据“共边三角形”的定义解答即可得． 【详解】解：以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 所以图中共有“共边三角形”的对数为（对）， 故答案为：18． 8．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：C ． 题型三、三角形的分类 9．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形形状判定，由于三角形三边长度比为，即三边相等，因此该三角形是等边三角形． 【详解】解：∵一个三角形三条边的长度比是，即三边长度相等， ∴此三角形为等边三角形． 故选：C． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为 个． 【答案】 【分析】分三种情况，当时，当时，当时，分别找出符合条件的P点的个数，即可解决问题． 本题考查了直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，分三种情况： 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 综上所述，为直角三角形，符合条件的P点的个数为（个）． 故答案为：6． 11．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 故选：C． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据直角三角形，锐角三角形以及钝角三角形的定义分析即可． 【详解】解∶ 已知此三角形露出的一个角是锐角． 对于锐角三角形，它的三个角都是锐角所以仅一个锐角不能确定它就是锐角三角形． 对于直角三角形，除了一个直角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角也不能排除它是直角三角形． 对于钝角三角形，除了一个钝角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角同样不能排除它是钝角三角形． 因此，仅根据露出的这一个锐角，这个三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形，此三角形的类别无法确定． 故选：D． 题型四、等腰三角形 13．（25-26八年级上·河南周口·月考）若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的定义，根据等腰三角形两腰相等，已知腰长5cm，底边6cm，周长即为两腰与底边之和，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形腰长为，底边为， ∴周长． 故选A． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）的三边为，且满足关系，则是 三角形． 【答案】 等腰 【分析】题目主要考查乘法的性质，等腰三角形的定义，熟练掌握是解题关键． 根据乘积为零的性质，至少有一个因子为零，从而得到至少有两边相等，因此三角形为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴或或，即或或， ∴至少有两边相等，是等腰三角形， 故答案为：等腰． 15．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，根据等腰三角形分一边为，分是腰长或底边长两种情况讨论． 【详解】解： 等腰周长为，一边长为， 当为腰长时，底边长为， 和谐比为：； 当为底边长时，腰长为， 和谐比为：． ∴ 和谐比为或． 故选：C． 16．（25-26八年级上·广东江门·期中）已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性、三角形形状的判定，解题的关键是利用非负性求出边的关系． 根据绝对值和平方数的非负性，由已知等式得出，进而判断三角形形状． 【详解】解：绝对值和平方数均具有非负性，即， 且，即， ， 由于是的两边长，因此有两边相等，是等腰三角形． 故选：B． 17．（25-26八年级上·四川泸州·期中）已知等腰三角形的两边长分别是5和9，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．18 B．19 C．23 D．19或23 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系．分两种情况讨论：腰为5或腰为9，验证每种情况是否满足三角形三边关系，然后计算周长即可． 【详解】解：∵ 等腰三角形两边长分别为5和9， ∴ 可能情况为：腰为5、底为9或腰为9、底为5， 当腰为5、底为9时，三边为5，5，9，此时，满足三边关系， ∴ 周长为； 当腰为9、底为5时，三边为9，9，5，此时，满足三边关系， ∴ 周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长为19或23． 故选：D 18．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．从出发 秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设出发t秒钟后，能形成等腰三角形，则，由，，列式求得t即可； 【详解】解：设从出发t秒钟后，第一次能形成等腰三角形． ∵， ∴当第一次能形成等腰三角形时，． 由题意，，； ∴， 当时，，解得秒． 故答案为：． 题型五、三角形的三边关系 19．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即． 故选：A． 20．（25-26八年级上·北京·月考）已知三角形的三边长分别为3，，，则的取值可以是（   ）． A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握相关知识是关键． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，同时任意两边之差小于第三边，列不等式求解即可． 【详解】解：由三角形的三边关系可得， ， 解得，，只有选项D符合． 故选：D． 21．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． 【答案】(1)是等边三角形 (2)的周长的最大值为19 【分析】本题考查了三角形的三边关系，非负数的性质，三角形的分类． （1）根据偶次幂的非负性可得，然后问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵为整数， ∴当时，的周长为最大，即为． 22．（25-26八年级上·甘肃·期末）若三角形三边长分别为5，12，，且为整数，则的最大可能值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查三角形三边的关系，即任意两边之和大于第三边． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解的取值范围，再取整数最大值即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得：，即； ，即； ，即（恒成立）， ，为整数， 故的最大值为． 故答案为：． 23．如果一个等腰三角形的两条边长分别为和，那么它的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，能够进行分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论：当腰长为时和当腰长为时，利用三角形两边之和大于第三边判断是否成立，从而确定周长． 【详解】解：①∵当腰长为时， ∴三边分别为，，， ∴此时，不满足三角形三边关系， ∴当腰长为时，三角形不存在，故舍去； ②∵当腰长为时， ∴三边分别为，，， ∴此时，，，均满足三角形三边关系， ∴当腰长为时，三角形存在， ∴周长为． 故答案为：． 题型六、三角形的稳定性 24．（25-26八年级上·甘肃临夏·期末）齐家文化是世界闻名，中国最早的青铜时代文化遗存，是人类灿烂古文化瑰宝．积石山县出土的齐家文化双耳素陶鬲的三个支点形成三角形，这样设计的数学依据是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题主要考查了三角形稳定性的应用．根据三个支点形成三角形得到答案即可． 【详解】解：积石山县出土的齐家文化双耳素陶鬲的三个支点形成三角形，这样设计的数学依据是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 25．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）刘家峡大桥是采用单跨桁式加劲梁悬索桥，主大桥结构采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形具有稳定性． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：主大桥结构采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 26．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图是一个篮球架，主框架依靠三角形结构支撑，其中蕴含的道理是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．三角形具有稳定性 C．三角形的两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的性质在实际生活中的应用，需要根据各个选项所涉及的三角形性质，结合篮球架的结构特点进行判断． 【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余，这是直角三角形角的性质，与篮球架的结构和功能没有关联，故A错误； B、三角形具有稳定性，篮球架的设计正是利用了这一性质，使其能够稳定地支撑整个篮球架，故B正确； C、三角形的两边之和大于第三边，这主要是用于三角形的三边关系的判断，与篮球架的结构特点无关，故C错误； D、三角形的内角和等于，这是关于三角形内角关系的知识，与篮球架的结构和功能没有关系，故D错误； 故选：B． 27．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）双人漫步机（如图）是一种有氧健身器材，其中的三角形支架应用的几何原理是（    ） A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，准确理解三角形稳定性是解题的关键．根据题意，结合选项进行判断即可． 【详解】解：对于A选项：三角形的稳定性是指三角形具有稳固、坚定、耐压的特点，当三角形三边长度确定后，三角形的形状和大小就唯一确定下来，不会变形．双人漫步机中的三角形支架正是利用了三角形的稳定性，使其结构更加牢固． 对于B选项：两点之间，线段最短是指连接两点的所有线中，线段是最短的，它一般用于解决最短路径等问题，与双人漫步机三角形支架的原理不相关． 对于C选项：两点确定一条直线是指经过两点有且只有一条直线，它主要用于确定直线的位置等问题，与双人漫步机三角形支架的原理不相关． 对于D选项：垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，它主要用于求点到直线的距离等问题，与双人漫步机三角形支架的原理不相关． 故选：A． 28．（25-26八年级上·青海西宁·期末）手机已成为人们日常生活中离不开的工具，如图，手机支架利用的数学原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形的内角和是 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了三角形具有稳定性． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：手机支架利用的数学原理是三角形具有稳定性． 故选：A． 题型七、三角形的中线、角平分线、高 29．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了三角形中线的性质，掌握三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 根据为的中点，可得，，先求出，再根据为的中点，即可求出． 【详解】解：为的中点， ，， ， ， 为的中点， ． 故答案为：2． 30．（25-26八年级上·山西朔州·月考）下列各图中，作出边上的高，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形高线的定义，即从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线． 对于，边上的高是过点向作垂线． 【详解】解：根据三角形高线的定义，在中，作边上的高，应该过点向作垂线， 只有C符合题意． 故选：C． 31．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线，掌握三角形的中线是三角形一边的中点与对角的顶点的连线段是解题的关键． 由于是边上中线，所以，所以的周长比的周长多的部分等于，再根据即可得出的长． 【详解】解：∵是边上中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长大，且． ∴，即． 故选：A． 32．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，进而可得的周长； （2）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长为：， ， 的周长为：； （2）解：设点到边的距离为， 为的中线，为的中线， ，， ， ， ，即点到边的距离为． 33．（25-26八年级上·云南昆明·期末）跳高运动是一项集速度、力量、爆发力、技巧和胆识于一体的田径项目，它的魅力不局限于跳得高矮的表层较量，更藏在运动员腾跃横杆时，精准降低身体重心的智慧与艺术之中．如下图，当运动员采用“背越式”越过横杆时，成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”要好，最合理的解释是（    ） A．“跨越式”过横杆时运动员重心最低 B．“滚式”过横杆时运动员重心最低 C．“背越式”过横杆时运动员重心最低 D．三种方式过横杆时运动员重心相同 【答案】C 【分析】本题考查几何图形的重心概念，把运动员的身体抽象成几何图形是解题关键． 把运动员的身体视为几何图形，找出三种姿势的重心，然后判断重心与横杆的相对位置． 【详解】解：越过相同高度的横杆时，运动员所需提升的重心高度越小，则越过的横杆更高，成绩更好， 选项，过杆时，身体像一个“直角梯形”，重心在身体内部，明显高于横杆，重心不是最低； 选项，过杆时，身体像一个“斜置的长方形”，重心在横杆上方，重心不是最低； 选项，过杆时，身体呈“弓形”，此时重心落在弓形的外部、横杆的下方，重心最低； 选项，三种方式过横杆时运动员重心不相同． 故选：． 34．（25-26八年级上·广东珠海·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数为______． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”，见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，一元一次方程与几何问题，理解“友爱角”的概念和计算方法，掌握三角形内角和定理，几何问题与一元一次方程的综合运用是解题的关键． （1）①根据材料提示的“友爱三角形”得到，再根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解；②由是中边上的高，得到，根据三角形两锐角互余可得，，结合与互为“友爱角”即可求解； （2）根据三角形内角和定理，设，则，根据是“友爱三角形”，分当与互为“友爱角”时，，或；当与互为“友爱角”时，，或；当与互为“友爱角”时，，或，求解即可． 【详解】（1）解：①∵是“友爱三角形”，与互为“友爱角”（）， ∴， ∵， ∴是直角三角形，， ∴，解得，， ∴； ②、都是“友爱三角形”．理由如下： ∵是中边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，，， ∴， ∵与互为“友爱角”（）， ∴与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； 同理，与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； （2）解：在中，， 设， 则， ∵是“友爱三角形”， 当与互为“友爱角”时， ， 或， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当与互为“友爱角”时， 若， 则， 解得，， 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； 当与互为“友爱角”时， 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； ∴的度数为或． 35．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查了三角形的重心的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，，再结合得出，结合得出，即可得证； （2）由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等，求出，得到，再结合重心的性质即可得出结果； （3）由重心的性质可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的重心， ∴； （3）解：∵为的重心， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $