寒假练习1三角形的边——三边关系定理及应用2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版八年级数学上册寒假专题练习（一） 三角形的边——三边关系定理及应用 （满分：100分 建议用时：45分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）。 A. 2cm, 3cm, 6cm B. 4cm, 5cm, 9cm C. 3cm, 5cm, 7cm D. 1cm, 2cm, 3cm 2.已知三角形的两边长分别为3和8，则第三边长可能是（ ）。 A. 3 B. 5 C. 8 D. 11 3.若一个三角形的两边长分别为6和10，则第三边长不可能是（ ）。 A. 5 B. 10 C. 15 D. 8 4.等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长是（ ）。 A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 13 5.用长度分别为3cm、5cm、7cm、9cm的四根木棒，任意取三根首尾相连搭三角形，可以搭成不同三角形的个数是（ ）。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6.已知△ABC的三边长分别为a, b, c，且满足|a-5| + (b-12)² = 0，若c为整数，则c的最小值是（ ）。 A. 7 B. 8 C. 17 D. 18 7.一个三角形的两边长分别为5和11，且周长为偶数，则第三边长应为（ ）。 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8.【易错题】下列说法正确的是（ ）。 A. 三角形的两边之差可以等于第三边 B. 三角形的两边之和可以等于第三边 C. 三角形任意两边之差小于第三边 D. 三角形任意两边之和小于第三边 二、填空题（每空3分，共15分） 9. 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和   第三边，任意两边之差   第三边。 10. 若三角形的三边长分别为3, 7, x，则x的取值范围是   。 11. 等腰三角形一边长为6cm，一边长为13cm，则它的周长为   cm。 12. 已知a, b, c是△ABC的三边，化简：|a-b-c| + |b-c-a| =   。 13. 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则这个三角形的周长为   。 三、解答题（共61分） 14. （8分）已知三角形的两边长分别为5和9。 （1）求第三边长的取值范围； （2）若第三边长为偶数，求所有可能的第三边长； （3）若此三角形为等腰三角形，求它的周长。 15. （10分）小明有长度分别为3cm、4cm、5cm、8cm、10cm的五根小木棒，他想要从中选出三根摆成一个三角形。 （1）请问有多少种不同的选法？请列出所有可能的三边组合。 （2）在这些三角形中，周长最大的是多少？周长最小的是多少？ 16. （10分）【综合探究】已知a, b, c是△ABC的三边，且满足关系式：a² + b² = c² + 2ab。 （1）化简此关系式，并判断△ABC的形状； （2）若a=4，b=6，求c的取值范围； （3）若此三角形的周长为24，且a:b=2:3，求三边长。 17. （13分）【实际应用】某农场规划了一个三角形蔬菜种植区，现已有两段围栏，长度分别为12米和20米。 （1）第三段围栏的长度应在什么范围内？ （2）农场主希望围成的三角形种植区尽可能大（周长最大），若第三段围栏长度是整数米，他应该选择多长的围栏？此时种植区的周长是多少？ （3）由于预算有限，农场主希望围栏总长度不超过40米，且希望种植区是等腰三角形。请给出所有符合条件的第三段围栏长度，并说明理由。 18. （10分）【拓展提升】已知△ABC的三边长分别为a, b, c，且满足： ① a ≤ b ≤ c； ② a+b+c=15； ③ c为奇数。 （1）求c的所有可能值； （2）当c取最大值时，求△ABC的三边长； （3）判断此时△ABC的形状，并说明理由。 19. （10分）【中考链接】阅读材料并解答： 材料：若三角形的三边长分别为a, b, c，记p = ，则三角形的面积S = （海伦公式）。 问题：已知三角形的两边长分别为5和8，第三边长为整数。 （1）求第三边长的所有可能值； （2）当三角形为锐角三角形时，求第三边长的取值范围； （3）若此三角形的面积为12，求第三边长。 参考答案与详细解析 一、选择题（每题3分） 1. C 【解析】应用三边关系定理逐一验证：A：2+3<6；B：4+5=9；D：1+2=3；C：3+5>7，5-3<7。 2. C 【解析】设第三边为x，则8-3 < x < 8+3，即5 < x < 11。选项中只有8符合。 3. C 【解析】由三边关系：10-6 < x < 10+6，即4 < x < 16。15不在范围内。 4. B 【解析】若腰为4，则4+4<9，不能构成三角形；故腰为9，周长为9+9+4=22。 5. C 【解析】可能组合：3,5,7（3+5>7）；3,5,9（3+5<9，不可）；3,7,9（3+7>9）；5,7,9（5+7>9）。共3种。 6. B 【解析】由非负性得a=5,b=12。三边关系：12-5 < c < 12+5，即7 < c < 17。c为整数，最小值为8。 7. B 【解析】设第三边为x，则11-5 < x < 11+5，即6 < x < 16。周长为16+x需为偶数，故x为偶数。可能值：8,10,12,14。选项中只有8。 8. C 【解析】三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。故选C。 二、填空题（每空3分） 9. 大于；小于 10. 4 < x < 10 【解析】7-3 < x < 7+3。 11. 32 【解析】若腰为6，则6+6<13，舍去；故腰为13，周长为13+13+6=32cm。 12. 2c 【解析】∵a < b+c，b < c+a，∴a-b-c<0，b-c-a<0。原式=-(a-b-c)-(b-c-a)=-a+b+c-b+c+a=2c。 13. 12 【解析】设第三边为x，则5-2 < x < 5+2，即3 < x < 7。x为奇数，故x=5。周长为2+5+5=12。 三、解答题 14. 解：（1）设第三边为x，则9-5 < x < 9+5，即4 < x < 14。 …（2分） （2）x为偶数且在4到14之间（不包含4和14），可能值为：6, 8, 10, 12。 …（3分） （3）若等腰三角形腰为5，则5+5>9不成立；若腰为9，则三边为9,9,5，周长为23。 …（3分） 15. 解：（1）可能组合需满足两边之和大于第三边： (3,4,5) → 3+4>5 ✔   (3,4,8) → 3+4<8 ✘ (3,4,10) → 3+4<10 ✘   (3,5,8) → 3+5=8 ✘ (3,5,10) → 3+5<10 ✘   (3,8,10) → 3+8>10 ✔ (4,5,8) → 4+5>8 ✔   (4,5,10) → 4+5<10 ✘ (4,8,10) → 4+8>10 ✔   (5,8,10) → 5+8>10 ✔ 共有5种选法：(3,4,5)、(3,8,10)、(4,5,8)、(4,8,10)、(5,8,10)。 …（5分） （2）周长最大组合为(5,8,10)，周长=23cm；周长最小组合为(3,4,5)，周长=12cm。 …（5分） 16. 解：（1）由a²+b²=c²+2ab得a²+b²-2ab=c²，即(a-b)²=c²。 ∵ a,b,c>0，∴ a-b=c（舍去，三边不能为负）或b-a=c。实际应为|a-b|=c。 由三边关系，|a-b| < c恒成立（两边之差小于第三边），∴ 仅当a=b时，|a-b|=0，此时c=0不成立。 重新审视：a²+b²-2ab=c² ⇒ (a-b)²=c² ⇒ |a-b|=c。 结合三角形两边之差小于第三边：|a-b| < c。与|c|=|a-b|比较，只有当c>|a-b|时成立，但此处c=|a-b|。 故原式化简为(a-b)²=c²，在三角形中只能a=b且c=0，不成立。题目可能意在考察完全平方公式。 （2）若a=4,b=6，则6-4 < c < 6+4，即2 < c < 10。 …（4分） （3）设a=2k,b=3k，则c在|3k-2k|=k与3k+2k=5k之间。周长2k+3k+c=5k+c=24，c=24-5k。 同时满足k < 24-5k < 5k，解不等式组得3 < k < 4。k=3.5时，a=7,b=10.5,c=24-17.5=6.5，满足三边关系。 17. 解：（1）设第三边为x米，则20-12 < x < 20+12，即8 < x < 32。 …（3分） （2）周长L=12+20+x=32+x，x越大L越大。x为整数且在8到32之间，取最大值31米。 此时周长L=32+31=63米。 …（4分） （3）总长不超过40米：12+20+x≤40 ⇒ x≤8，但x>8，无解。 若考虑等腰三角形：若腰12，底x，则12+12+x≤40 ⇒ x≤16，且满足三角形三边关系。 若腰20，底x，则20+20+x≤40 ⇒ x≤0，不成立。 故当腰为12米时，x≤16且x>0，还需满足三角形三边关系：12-12 < x < 12+12 ⇒ 0 < x < 24。 综合x≤16和0<x<24得0x ⇒ x<24恒成立。 但实际围栏总长12+12+x≤40 ⇒ x≤16。故x可取1到16的整数。 …（6分） 18. 解：（1）由a+b+c=15，a≤b≤c，且c为奇数。 由三边关系：a+b>c ⇒ 15-c > c ⇒ 2c < 15 ⇒ c < 7.5。 c为奇数且c≥b≥a，可能值：c=7,5,3,1。 但c=1或3时，a+b=14或12，且a≤b≤c，则b最大为3，a+b最大为6，不可能等于14或12，舍去。 验证：c=5时，a+b=10，a≤b≤5，可能解如a=4,b=6不满足b≤5；a=5,b=5满足。 c=7时，a+b=8，a≤b≤7，可能解如a=3,b=5；a=4,b=4等。 故c的可能值为5或7。 …（4分） （2）c最大值为7，此时a+b=8。a≤b≤7，可能组合： a=1,b=7(1+1>7?不成立)；a=2,b=6(2+2>6?不成立)；a=3,b=5(3+3>5?成立)；a=4,b=4(4+4>7?成立)。 取a=4,b=4,c=7满足所有条件。 …（3分） （3）此时a=4,b=4,c=7，有a=b≠c，为等腰三角形。 …（3分） 19. 解：（1）设第三边为x，则8-5 < x < 8+5 ⇒ 3 < x < 13。x为整数，可能值：4,5,6,7,8,9,10,11,12。 …（3分） （2）若三角形为锐角三角形，则需满足：x² < 5²+8²=89，且5² < x²+8²， 8² < x²+5²。 由x²<89得x<≈9.43，故x≤9； 由5²<x²+8²恒成立；由8²39 ⇒ x>≈6.24。 综合得6.24 < x ≤ 9.43，x为整数，取7,8,9。 …（4分） （3）由海伦公式：p==，S==12。 代入数值计算较为复杂，考试中此类题常设计为特殊值。试算x=5时，p=9，S===12。 故x=5。 …（3分） 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $