精品解析：上海市普陀区部分学校2025-2026学年高三上学期1月学业质量监测数学试卷

2025学年第一学期高三年级1月学业质量监测 数学学科 （时间120分钟，满分150分） 学生注意： 1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3.可使用符合规定的计算器答题. 一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 设集合，则__________. 2. 不等式的解集为____________. 3. 已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为__________. 4. 在的展开式中的系数为_________. 5. 已知为实数，且函数是偶函数，则________. 6. 某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为_________. 7. 设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为________. 8. 若圆锥的体积为，它的母线与底面所成的角的余弦值为，则圆锥的表面积为________. 9. 设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为________. 10. 双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______． 11. 2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为_______．（用含有H、h、m、t的式子表示） 12. 已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件. 14. 下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（ ） A. B. C. D. 15. 设且，、、都是正整数，数列的通项公式为，记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（ ） A. 当时，的取值范围是 B. 不存在和的值，使得 C. 当时，的取值范围是 D. 存在和的值，使得 16. 设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）． ①存在等比数列以及锐角α，使成立． ②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立． A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17. 设函数. （1）求函数的单调区间； （2）求不等式的解集. 18. 如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形. （1）求正三棱锥的体积； （2）设分别是线段的中点. 求证：①平面；②若平面交于点，则四边形是正方形. 19. 第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的、三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表：（单位：个） 产品 产品 产品 普通装 180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的所有产品中抽取100个，其中款产品有30个. （1）求的值； （2）用分层抽样的方法在款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率； （3）对抽取到的款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的款产品的某种指标的总体方差. 20. 设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点. （1）若点是上的一点，，求的值； （2）设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； （3）设的延长线与交于点，若向量与满足：，求的面积的取值范围. 21. 设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质． （1）判断是否具有性质，并说明理由； （2）设，若函数具有性质，求实数a的取值范围； （3）设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高三年级1月学业质量监测 数学学科 （时间120分钟，满分150分） 学生注意： 1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3.可使用符合规定的计算器答题. 一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 设集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求得答案. 【详解】集合，所以. 故答案为： 2. 不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】运用公式法解绝对值不等式. 【详解】由可得， 解得，即. 故答案为：. 3. 已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算和复数分类即可得到答案. 【详解】， 因为其为纯虚数，则且，解得. 故答案为：. 4. 在的展开式中的系数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式通项，即可直接求解. 【详解】由题知，设展开式中通项为， 令，则，. 故答案为： 5. 已知为实数，且函数是偶函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与二次函数的对称性即可得的值，从而得所求. 【详解】因为函数是偶函数， 所以函数定义域关于原点对称，且函数图象关于你轴对称， 所以，且， 所以. 故答案为：. 6. 某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】将数据从小到大排序，再根据百分位数的概念求解即可. 【详解】分数据从小到大为：，，，，，，，，，，，， 共个数，则， 所以这组数据的第百分位数为. 故答案为：. 7. 设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意写出焦点与左顶点的坐标，表示出线段长，利用离心率写出等量关系，可得答案. 【详解】由题意可得，则，， 由椭圆离心率为，可得，则， 所以. 故答案为：. 8. 若圆锥的体积为，它的母线与底面所成的角的余弦值为，则圆锥的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意作图，根据线面角的定义，可得圆锥的母线与底面半径的等量关系，利用扇形面积公式以及圆的面积公式，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 在圆锥中，易知，且为母线与底面所成的角， 由母线与底面所成的角的余弦值为，则， 在中，，可得，则， 圆锥的体积，解得，则， 圆的周长为，则圆锥侧面展开图的面积， 圆锥底面面积，所以圆锥的表面积. 故答案为：. 9. 设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】以为基底表示，结合题意运用数量积及向量数乘运算即可求解. 【详解】， ， ， 所以， 由，，， 可得， ，解得. 故答案为：. 10. 双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，由是抛物线的焦点，可得，再由，可求得，在△中由余弦定理可得，再根据双曲线及离心率的定义可求出离心率． 【详解】如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设， 因为是抛物线的焦点，∴ ∵，∴， 在△中，由余弦定理得， ∴， 即，解得 又∵和是双曲线的左、右焦点， ∴， ∴. 故答案为：. 11. 2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为_______．（用含有H、h、m、t的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】先求出第二次拍照飞船的实际上升的高度，再由实际上升的高度除以该记者连按拍照键间的反应时间为t，即可求出拍照时飞船的瞬时速度. 【详解】设第二次拍照飞船的实际上升了， 所以，解得：， 所以拍照时飞船的瞬时速度为：. 故答案为：. 12. 已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个． 【答案】 【解析】 【分析】先将任意排列，依次将到插入该数列，考虑满足条件，求出其方法总数，即可得出答案. 【详解】由于，可以先将任意排列， 再将插入该数列，但不能在的左边且与相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在和的左边且与，相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在，和3的左边且与相邻，共有种， 以此类推，将插入该数列，共有种. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明必要性，通过特例说明充分性不成立. 【详解】先看充分性：若，，则满足，但不满足且， 所以“”不是“且”的充分条件； 再看必要性：因为且，根据不等式的性质可得. 所以“”是“且”的必要条件. 综上，“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 14. 下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】对于A：因为，所以不存在零点，故A错误； 对于B：令 没有实数解，所以不存在零点，故B错误； 对于C：令，所以零点为1，又因为， 所以在为增函数，故C正确； 对于D：在单调递增，在单调递减，故D错误. 故选：C. 15. 设且，、、都是正整数，数列的通项公式为，记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（ ） A. 当时，的取值范围是 B. 不存在和的值，使得 C. 当时，的取值范围是 D. 存在和的值，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据不同的取值范围分析分段函数的性质，结合函数单调性，反证法，进而判断关于集合元素个数等命题的正确性，逐个判断真假即可. 【详解】对于A选项,当时，对于，根据分段函数的性质，会得到， 由于在这个区间内，这样的递推会一直进行下去，所以集合有无数个元素. 当时，要满足，通过对分段函数的计算和分析，正好解得， 此时.并且当，两个分段函数都是增函数，中最多只存在两个元素.所以选项正确. 对于B选项，当时，有且. 要想有个元素，根据函数的递推关系，如果，那么根据函数性质会继续产生更多的元素， 所以必有，不然会有无数个元素.但是当时，中元素个数就不是个了， 这就产生了矛盾，所以原命题正确，即选项正确. 对于C选项，当时，，令，通过对分段函数的计算解得. 由于，此时，这与选项中说的情况不符，所以选项错误. 对于D选项，从前面的分析经验来看，要想，根据分段函数的性质，只能令，. 由此得到方程，整理得，解得或， 因为（根据前面的取值范围等条件），所以，选项正确. 故选：C. 16. 设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）． ①存在等比数列以及锐角α，使成立． ②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立． A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】假设，，成等比数列，可得，在同一坐标系内作和的图象可判断①；分，和，求出的最大值和最小值可知，判断该方程是否有解可判断②. 【详解】对于①，若，，成等比数列，即，， 则，即，得， 在同一坐标系内作和的图象： 可知方程，有且只有一解， 所以存在等比数列以及锐角α，使成立，①是真命题； 对于②，假设存在等差数列以及锐角α， 使成立，则必有， 当时，显然不成立； 当时，，， 所以，， 所以， 则， ，即，即， 因为，所以，， 不存在这样的使得等式成立； 当时，，， 所以，， 所以， 同理， 因为，所以，， 不存在这样的使得等式成立； 所以②是真命题. 故选：A. 【点睛】思路点睛：与三角有关的方程是否有解的问题，可根据代数式的特征选择合适的范围，再根据范围判断一些特定代数式的符号，从而可判断方程是否有解. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17. 设函数. （1）求函数的单调区间； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）严格单调增区间为 和 ，严格单调减区间为 和 . （2） 【解析】 【分析】（1）直接求导，令导函数大于0和小于0即可； （2）转化为，解出即可. 【小问1详解】 ， 令，解得或者， 令，解得或， 所以，该函数的严格单调增区间为和，严格单调减区间为和. 【小问2详解】 ，即， ，即，利用穿根法解得. 所以解集为. 18. 如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形. （1）求正三棱锥的体积； （2）设分别是线段的中点. 求证：①平面；②若平面交于点，则四边形是正方形. 【答案】（1）； （2）①证明如下： 由分别是线段的中点，得， 而平面，平面， 所以平面. ②证明如下： 由平面交于点，得面平面，而平面， 平面，则，而是的中点，则是的中点， 因此，而，则四边形是平行四边形， 又，于是为菱形，而， 平面，则平面，又平面， 因此，于是，所以四边形是正方形. 【解析】 【分析】（1）取正的中心，求出长，再利用锥体体积公式计算得解. （2）①利用线面平行的判定推理得证；②借助平行公理证四边形是平行四边形，由中位线性质证，再利用线面垂直的判定与性质，结合异面直线夹角定义推理得证. 【小问1详解】 由正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形，得正三棱锥为正四面体， 取正的中心，连接，延长交于，连接，则平面， 是的中点，，，则， 所以正三棱锥的体积. 【小问2详解】 ①略 ②略 19. 第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的、三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表：（单位：个） 产品 产品 产品 普通装 180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的所有产品中抽取100个，其中款产品有30个. （1）求的值； （2）用分层抽样的方法在款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率； （3）对抽取到的款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的款产品的某种指标的总体方差. 【答案】（1）100 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由分层随机抽样的抽样比直接计算即可； （2）由古典概型结合组合数公式即可求解； （3）根据分层抽样总体的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，该公司一天所生产的产品数为 现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个， 则，解得. 【小问2详解】 设所抽取的样本中有个精品装产品，则，解得， 所以容量为5的样本中，有3个精品装产品，2个普通装产品. 因此从样本中任取2个产品，至少有1个精品装产品的概率为 【小问3详解】 由题意，某项指标总体的平均数为， 所以由分层抽样的总体方差公式可得 . 20. 设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点. （1）若点是上的一点，，求的值； （2）设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； （3）设的延长线与交于点，若向量与满足：，求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）的面积的取值范围为 【解析】 【分析】（1）由直线过点，可求，判断点的位置，结合双曲线定义求结论； （2）联立方程组，设，利用设而不求法求，由条件证明四边形为平行四边形，列方程求，由此确定的坐标； （3）由条件列不等式求的范围，表示的面积，利用换元法求其最值. 【小问1详解】 双曲线的右焦点的坐标为， 因为过点， 所以，所以， 因为， 所以点在双曲线的左支上， 由双曲线定义知，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则双曲线， 联立 ，消去得， 则， 设，则，， 所以， ， 又，所以， 因为点、、、满足：，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 故与互相平分，点在直线上， 所以，又，所以， 所以点的纵坐标为， 所以点的坐标为. 【小问3详解】 因为， 所以， 所以，又，所以， 由双曲线的对称性可得，， 所以， 所以， 令，，即， 所以， 因为在区间上单调递减，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以的面积的取值范围为. 21. 设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质． （1）判断是否具有性质，并说明理由； （2）设，若函数具有性质，求实数a的取值范围； （3）设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质． 【答案】（1） 记， 显然，则其是偶函数. 当时，，故， 所以对恒成立，具有性质. （2） （3） 对任意及， 都有， 即对任意都有. 假设存在使得不具有性质， 则存在使得. 若，则. 当时，则在中取， 对任意有， 于是， 即. 而当时，， 故有，矛盾. 当时，记，则， 由得，得， 故. 与当时同理可得矛盾. 若，则，与时同理可得矛盾. 综上，假设不成立，即函数对任意实数均具有性质. 【解析】 【分析】（1）首先判断为偶函数，再判断出时，即可； （2）求导得，得到其单调性，再对分和以及讨论即可； （3）根据定义知，再利用反证法即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 当时严格单调递增， 当时严格单调递减. 若，则，函数在上严格单调递增，恒成立， 此时函数具有性质. 若，则函数在上严格单调递减， ， 故函数不具有性质. 若，则函数在上严格单调递增， “对恒成立”等价于“对恒成立”， 而在上严格单调递减，在上严格单调递增， 故，即， 即. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用反证法得到与定义像矛盾的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $