上海市普陀区部分学校2025-2026学年高三上学期1月学业质量监测数学试卷

2025学年第一学期高三年级1月学业质量监测 数学学科 （时间120分钟，满分150分） 学生注意： 1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3.可使用符合规定的计算器答题. 一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 设集合，则__________. 2. 不等式的解集为____________. 3. 已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为__________. 4. 在的展开式中的系数为_________. 5. 已知为实数，且函数是偶函数，则________. 6. 某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为_________. 7. 设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为________. 8. 若圆锥的体积为，它的母线与底面所成的角的余弦值为，则圆锥的表面积为________. 9. 设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为________. 10. 双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______． 11. 2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为_______．（用含有H、h、m、t的式子表示） 12. 已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件. 14. 下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（ ） A. B. C. D. 15. 设且，、、都是正整数，数列的通项公式为，记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（ ） A. 当时，的取值范围是 B. 不存在和的值，使得 C. 当时，的取值范围是 D. 存在和的值，使得 16. 设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）． ①存在等比数列以及锐角α，使成立． ②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立． A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17. 设函数. （1）求函数的单调区间； （2）求不等式的解集. 18. 如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形. （1）求正三棱锥的体积； （2）设分别是线段的中点. 求证：①平面；②若平面交于点，则四边形是正方形. 19. 第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的、三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表：（单位：个） 产品 产品 产品 普通装 180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的所有产品中抽取100个，其中款产品有30个. （1）求的值； （2）用分层抽样的方法在款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率； （3）对抽取到的款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的款产品的某种指标的总体方差. 20. 设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点. （1）若点是上的一点，，求的值； （2）设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； （3）设的延长线与交于点，若向量与满足：，求的面积的取值范围. 21. 设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质． （1）判断是否具有性质，并说明理由； （2）设，若函数具有性质，求实数a的取值范围； （3）设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质． 2025学年第一学期高三年级1月学业质量监测 数学学科 （时间120分钟，满分150分） 学生注意： 1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3.可使用符合规定的计算器答题. 一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】## 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1）严格单调增区间为 和 ，严格单调减区间为 和 . （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）①证明如下： 由分别是线段的中点，得， 而平面，平面， 所以平面. ②证明如下： 由平面交于点，得面平面，而平面， 平面，则，而是的中点，则是的中点， 因此，而，则四边形是平行四边形， 又，于是为菱形，而， 平面，则平面，又平面， 因此，于是，所以四边形是正方形. 【19题答案】 【答案】（1）100 （2） （3） 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3）的面积的取值范围为 【21题答案】 【答案】（1） 记， 显然，则其是偶函数. 当时，，故， 所以对恒成立，具有性质. （2） （3） 对任意及， 都有， 即对任意都有. 假设存在使得不具有性质， 则存在使得. 若，则. 当时，则在中取， 对任意有， 于是， 即. 而当时，， 故有，矛盾. 当时，记，则， 由得，得， 故. 与当时同理可得矛盾. 若，则，与时同理可得矛盾. 综上，假设不成立，即函数对任意实数均具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $