极值点偏移问题的三种解题策略 讲义——2026届高三数学二轮专题复习

极值点偏移问题的 一、最常见的方法 一—构造函数 考点1、利用韦达定理，进行构造函数 考点2、利用分析法，进行对称构造 二、对数平均不等式 考点1、同构方程，利用比值换元构造函数 考点2、和积转化（差积转化） 考点3、消参减元 三、零点差（放缩法） 考点1、零点差，切线夹 考点2、割线放缩 考点3、二次拟合 一、最常见的方法 一一构造函数 极值点偏移模型： X0=- 2 （左右对称，无偏移，如二次团数；若f()=f(x),则，+为=2无) (左陡右缓，极值点向左偏移，；若f()=f(),则+为>26) 考点1、利用韦达定理，进行构造函数 1、已知fx)=x2+alnx-4xa>0) (1)当a=3时，讨论fx)的单调性； (2)设fx)有两个极值点x1,x2x1<x2),证明 0I-D四<(x)f+('x)f: 蜘柒裁衅 2、已知fx)=lnx+x2-ar(aeR) (1) 若a=1,求f八x)在点山，f》处的切线方程， 1 (2)设fd存在两个极值点，，，且x<x?，若 0<x1< 2,求证： x-fis>-a2 考点2、利用分析法，进行对称构造 3、已知fx)=lnx+m-l (1)若存在x∈R,使得fx)<-1成立，求实数m的取值范围； (2)若fx)有两个不同零点x1,x2,求证：x1+x2>2 4、fx=lnx-a(x-2laeR) (1)讨论fx的单调性 *2 (2)若刘有两个零点x,x<x),证明：七+3x> a fx)=2lnx+axa∈R 5、已知 fx)≤0(0，+o) (1)若 在 上恒成立，求的取值范围； （2)设8x)=x-fx,x,为8（的两个零点，证明：x<1 二、 对数平均不等式 飘带函数模型： Inx 2(x-1 0 x+1 考点1、同构方程，利用比值换元构造函数 6、已知f(x=(x-2e-ar(aeR) (1) 若a=2,讨论fx)的单调性； (2)已知关于x的方程f八x)=(x-3列e+2ar恰有两个不同的正实根， (i)求a的取值范围； ()求证：x+2>4 7、已知f(x=2hx-ar2+2x-1,gx)=fx)-2ar+3aeR) (1) 若f=-l,求f八x)的极值： (2) 若关于x的不等式gx)≤0恒成立，求整数a的最小值； (3) 当0<a<1时，8)恰有两个不同的零点，2，且X<x2,求证： 龙+书>2 a 考点2、和积转化（差积转化） 8、 已知f到=e-m+l,xe-1切），a>0,8)=c-n (1) 当b=1,fx)和8：有相同的最小值，求a的值； (2) 若8x有两个零点x,X2求证：x>e 考点3、消参减元 9、 已知f(x)=ar2-lnx+1a∈R) (1) 讨论八x)极值点的个数： (2) 若八x)在定义域内有两个不同的零点x,x2 ①求a的取值范围； 2a X1+x2> ②证明： a 三、 零点差（放缩法） 筷子夹汤圆模型： 考点1、零点差，切线夹 10、己知f)=3x-e*+1 (1) 设曲线y=f(x)与x轴正半轴相交于点Px,0),曲线在点P处的切线为l,求证： 曲线y=f(x)上的点都不在直线I的上方； (2) 若关于x的方程fx=mm>0)有两个不等实根，x<x),求证： x-<2-3m 4 1、已知fx=(x+be-ab>0)在点(l,f-)处的切线方程为 e-1x+ey+e-1=0 (1)求a、b; (2)设曲线y=f八x)与x轴负半轴的交点 (3)若关于x的方程fx=mm>0)有两个实数根，七，且<x,证明： 戈s1+ m1-2e 1-e 考点2、割线放缩 12、已知f八刘=xl血x与y=a有两个不同的交点A、B, (1)求实数a的取值范围： (2)求证：ae+1<x2-x 考点3、二次拟合 13、己知m∈R, f(x)=x 有两个不同的零点x1,x2 1 0<m<- (1)证明： e: (2) 证明：2-x>2V-em 其横坐标分别为，x2x1<x2)极值点偏移问题的 一、最常见的方法 一—构造函数 考点1、利用韦达定理，进行构造函数 考点2、利用分析法，进行对称构造 二、对数平均不等式 考点1、同构方程，利用比值换元构造函数 考点2、和积转化（差积转化） 考点3、消参减元 三、零点差（放缩法） 考点1、零点差，切线夹 考点2、割线放缩 考点3、二次拟合 一、最常见的方法 一一构造函数 极值点偏移模型： X0=- 2 （左右对称，无偏移，如二次团数；若f()=f(x),则，+为=2无) (左陡右缓，极值点向左偏移，；若f()=f(),则+为>26) 考点1、利用韦达定理，进行构造函数 1、已知fx)=x2+alnx-4xa>0) (1)当a=3时，讨论fx)的单调性； (2)设fx)有两个极值点x1,x2x1<x2),证明 0I-D四<(x)f+(x)f: 蜘柒裁衅 解折：(1)x∈(0，+∞，fx)=x+3-4=x-x-3到 fx在(0,1)，(3，+0)上递增，在(1,3)上递减 (2）f(x)=x+0-4=2-4x+a x一，x2-4x+a=0在(0，+0)上有两个不等实根 [h0)=a>0 令=-4r+a,只需2=a-4<0今a∈0,4到 又+x2=4,xx2=0, 所以 +f-合+ahx-4片传+ah,-4） =-4x.+x)+allnx+lnx.)++)-alma-a-8 要证fx)+fx)>lna-10,即证aha-a-8>na-10 只需证1-alna+a-2<0,令m(a=(1-alna+a-2,a∈(0,4 m(a)=-Ina+ 1-gr,6a-wa,ad-日0 aa恒成立 ma在ae0利上0减又m训=1>0，mi2=h2<0 1 则布在aeL2到发有ia-0,博h女.o在a上建路.在r4上接就 ma=mla,=1-a,na,+a,-2=l-a,小1+a,-2=0,+-3 a a y=a,+1-3 由对勾函数知。a,在a,∈1,2)上递增， +3<2t23-0 则a 2 ,则ma<0,即fx)+fx)>lha-10得证 2、已知f(x)=hx+x2-ax(aeR (1) 若a=1,求fx)在点山，f》处的切线方程： (2)设x)存在两个极值点，，且x<x2,若 0<x<2,求证： )-fx)>3-In2 4 2x-y-2=0 解析：（1) fx=1+2x-a=2x2-a+18 (2) x,x>0 ,即2x2-ax+1=0存在两个互异的正实根， 5=X=2x 1 1 x 5+2三号x2=2,刚3 2x fx)-fx2)=lnx+x2-a,-1nx2-x号+a2=ln+[-x号-2x+x0x-x2】 因 =n会++=h2+2h-+ -ha京e时g时--2a京-22f<6 23 2x3 ,而 则3h2.n-i小-2 ,则 考点2、利用分析法，进行对称构造 3、已知fx)=lnx+m-1 (1)若存在x∈R,使得fx)<-1成立，求实数m的取值范围； (2)若fx)有两个不同零点x,x2,求证：1+x2>2 解析：(1)nx+m<0,即m<-xhx在(0，+o上有解 令o(=-xnx,只需m<pm’p)=-1hx,p在0上递搭，在 [后上遥减s日日则m<日 (2)m=x1-lnx有两个不同实根x,2,令gx)=x1-lnx),则gx)=gx)=m, 又g(x)=-lnx,gx)在(0,1)上递增，在(1，+∞)上递减，又g1)=1>0,ge)=0, 则0<m<1,不妨设0<x1<1<x2<e,令hx=gx-g2-x,0<x<1 h(x=g(x+g2-x=-n-(x-12+1>0,x在(0，)上递增，则n(x<h1)=0 ，gx<g2-x),即gx)<g2-x),又gx)=gx),则gx)<g2-x,因为 x2>1,2-x1>1,则x2>2-x1,所以x1+x2>2 4、fx)=lnx-ax-2j(a∈R (1)讨论八x)的单调性： (2)若八有两个零点<)，证明：+3西> +2 0 ()解：xe0+o,f=-a, ①当a≤0时，xe0,+,f=a≥0恒成立，f在0，+上递塔 ②当a>0时令倒-a=1-0,根程x=月 1 a 综上，当a≤0时，f在(0，+o)上递增， 当e>0,0》上5m,车后+树上 1 2解：由1.当a>0时，在0》上递m,在后)上送波 且日>0，x-=0,0xsx 且当x∈(，时，fx)>0,当x∈(0，xU(x,+∞)时，f八<0 医为f12)=血2>0，所以2e以，则>2，又因为> ，则2x>1+2 3 2 所以只需证明+>行，即有×+3，>+2，下面证明+> =n-后-a---后启--2 -hx-2as-h.x 4ax-4 x2(2-ax2, 今61-0，解gx石，c0》上减，在石引上0 F≥P日)0，则=-&在上e 因为e》,所以P=-径小水F日=f日)后)=0 径-小>=0，世为=以，所径小fl 12 而aa 2 2 所以a 为<x2,即+，> a,得证 fx=2lnx+ara∈R 5、已知 fx)≤0，(0，+o） (1) 在 上恒成立，求的取值范围； (2)设8x=r-f,x,为为8x的两个零点，证明：<1 （1)解：re0,w),由fs0,为a≤-2hx hx=-2-21nx x2 从时车0上适布+o上宽指，州-州e-名则0司日 (2证：令g=0,t时r-2nx-a=0,M树=-2nx-a>0 (x)=2x-2-2x-2'+x-1) x2 x2 今l=+hx-1,p=3r+>0 p(r)在0，+∞)上递增，又=0，d在(0,1上递减，在1，+∞上递塔 0<L<1 不妨设<x,此时0<x<1<x,x,因为x)=hx)=0, 要小 所以 -6+-bA油训 E0机四收志Ag熟 x x2 Pkm=8,a安04 0<x<1<1曰x,<1 又因为x)在(0，上递减，所以七 二、 对数平均不等式 飘带函数模型： Inx 2(x-1 0 x+1 考点1、同构方程，利用比值换元构造函数 6、已知f(x)=(x-2e-ara∈R) (1) 若a=2,讨论fx)的单调性； (2)已知关于x的方程f八x)=(x-3列e+2ar恰有两个不同的正实根，， (i)求a的取值范围； ()求证：x+2>4 解析：(1)当a=2时，f(x)=(x-2e-2x 则f(x)=e*-2x+(x-2e-2=(x-1(e-4. 令fx=0,解得x=1或x=21n2, fx)在-o,1,(2n2,+o)上递塔，在，2n2)上递减 (2)cie=ar2→a=e .令-g>0g1w=-2g X 8eo2上地，e2L宽0.女50 4,则(4o g(x) (i)由(i)知e=r,e=ax(x,>0,x2>0) 所以x=lna+2h,x2=lha+2lnx, x-x2=2nx-2lnx2=2n左 X2 X1=2=2 x1+x2> 2x1-x2 n生 In 不妨设>>0，则“为，要证+为>4，只需证 X2 2-1 n立<2s-x- x2 0<x<1n<0 x2x1+x2 +1 由七，则，只需证 古 t=∈(0,1 令x2 Ints2t-1) d=n1-2-0<1<1 ,只需证t+1恒成立，令 t+1 h0)=21+-21-1--2 t(t+1）2 -+>0,A在0上港路.A0<A=0 当1∈(0,1时， hr<2业- 1+1恒成立，则+2>4得证 7、已知fx=2nx-ar2+2x-1,gx)=f(x)-2ar+3a∈R) （1) 若f=-1,求fx的极值： (2) 若关于x的不等式8)≤0恒成立，求整数口的最小值； (3) 当0<Q<1时，8x)恰有两个不同的零点x,2,且<2，求证： (1)解：当f)=-l时，f)=-a+2-1=-1→a=2, 则=2hr-2x2+2x-1,x>0,f=2-12x+ fx)在(0,1上递增，在1，+0)上递减，f(x=f)=-1,无极小值 a≥2血x+x+1 (2)解： x2+2x对x∈(0，+0恒成立 )-2x+1))-=2x+1)(2x+x) 令 x2+2x, (x2+2x2 ,令p(x)=2nx+x 9e0E标.=1s0.-}2}-4n2小k0 3,2.传-0,2+-0 M刘在(0，xo上递塔，在(x,+切)上递减， hx=A,=2血++1-x+2-1 xx+2x。x0+280 a≥1e1,2) 所以七， ,又a∈Z,所以整数a的最小值为2 g(x)=-2x+l川ax-l1 (3)证：当0<a<1时， 当x→0时，gx→-0，当x→+0时，gx→-0 可知存在1，x∈0，+∞)使得8(x)=g) <x<1<x 已知x<,可得 a gx)=0 a听+a-i+ gx2)=0 因为，x是8x的零点，则 ok+! 两式相减 imx-I(a--x 2_(x2-x)+2x-x 即a(nx-lnx+(x-x2 （x2-x号+2x1-x2) +>a,只需证 1+x2> 要证 (Inx-Inx2)+x2) (+x)+2-x) 因为<x,只需证 X2 n5<2-1=点eo.l)Gd=1n1-2-l 即证X2X+x,,令x, t+1, G=驴、 t+P>0G0o,如1梯增.Gd<G=0nr<2- t+1 n<2- 即x,+,成立，所以原不等式得证 考点2、和积转化（差积转化）