北京市大兴区第一中学2025-2026学年高二上学期期末练习数学试题

2025~2026学年度第一学期期末练习 高二数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分) (1)B (2)D (3)A (4)C (5)B (6)D (7)C (8)D (9)B (10)D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)(2,0)；4 o》 (13)4=-1,d=2(答案不唯一) (14)1;(6,+0) (15)①②④ 三、解答题（共6小题，共85分） (16)(共14分) 见学校自主命题答案 (17)(共14分) 解：(I)因为点B在圆C上， 所以(6-2)2+32=r2.…1分 所以r2=25.…2分 则圆C:(x-2)2+y2=25, 因为(0-2)2+(-2)2=8<25，…4分 所以点A在圆C内. …5分 (Ⅱ)设直线I的斜率为k, 因为点B在圆C上，直线I过点B且与圆C相切， 所以直线1与直线BC垂直.…2分 -0-33 因为ke=2-6年…3分 所以k=-1=4 4c3…5分 4 所以直线1的方程为：y-3=-(x-6). 即4x+3y-33=0.…7分 ()9,10.…2分 (18)(共14分) 解：(I)取PA的中点G,连接GB,GF 因为F是PD的中点，所以GF11AD,GF=AD.2分 又因为BC/1AD,AD=2BC, 所以GF//BC,且GF=BC 所以四边形BCFG是平行四边形 所以CF11GB.…4分 又因为CFL平面ABP,GBC平面ABP,…5分 所以CF//平面ABP.…6分 (II)选条件①：PC=2W3 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AC 在Rt△PAC中，AC=VPC-PA=2√2 在Rt△ABC中，AB=√AC2-BC2=2.…2分 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD 又因为AB⊥AD 所以建立如图空间直角坐标系A-xz.…3分 则E1,0,1),C(2,2,0),F0,2,1) 所以AE=1,0,1),AC=(2,2,0),AF=(0,2,1).…4分 设平面ACF的法向量为m=(x,y,）), 则 maC-0即2+2=0 m.AF=0,2y+z=0 …5分 令x=1,则y=-1,z=2,所以m=(1,-1,2). …6分 设直线AE与平面ACF所成角为日 AE·m 1+0+2_5 sin=cos<E, √5.62 …7分 AE m 所以直线伍与平面ACF所成角的大小为号 …8分 选条件②：AE⊥PC 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD 又因为AB⊥AD,所以AD⊥平面PAB 所以AD⊥AE 又因为BC/IAD,所以AE⊥BC 因为AE⊥PC,所以AE⊥平面PBC.所以AE⊥PB 在Rt△PAB中，E是PB的中点，所以AB=AP=2. …2分 以下同选条件①. (19)(共14分) 解：(I)因为抛物线C:y2=4x, 所以抛物线C的焦点到准线的距离为2.…2分 抛物线C经过点A(x。,-2), 所以x。=1.…4分 (Ⅱ)由 y2=4x, 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.…2分 y=k(x-1) 依题意△=【-(2k2+4)]-42.k2=16k2+16>0.…3分 设M(x1,y),N(2,y2), 2k2+4 则+X2= …4分 因为抛物线C的焦点为F1,0), 所以直线1：y=k(x-1)(k≠O)经过抛物线的焦点 所以=Ml+ws=+名+p=2+4+2=4+4.6分 2 k2 因为直线1：y=k(x-1)(k≠O),即-y-k=0, |k.1-(-2)- 2 所以点AQ,-2)到直线1的距离为 …8分 √k2+1 Vk2+1 因为A的面积为25，可片化兰)了 2=25 k2+1 解得k=±√ 所以k=±√2时，△4MW的面积为2√3.…10分 (20)(共14分) 2+b2=√62分 解：(I)由题设， c_v2 a23分 a2=b2+c24分 解得a=2,b=√2 所以G的方程为+上=1.6分 42 (Ⅱ)因为直线1的斜率存在且不为0，所以直线AC的斜率也存在. 故设直线AC的方程为y=x+m(k≠0)，…1分 点A(x,y),C(x2,y2) 由 由+2v二4得0+2Kx+4hx+2=4=0.…2分 所以+5122△=84m+2>0.4分 4kmL 2m2-4 因为点C关于y轴的对称点为B, 所以B(x2,y2) …5分 又因为A,P,B三点共线，所以kp=kp 即-1=当2-1 …6分 -X2 所以xy2+xy-(化+x2) =x(2+)+x2(+m)-(+x2） =2kxx2+(L-10x+x2) =22+a-M70 1+2k2 -8k+4_4k(m-2) 1+2k2 1+2k2 =0 因为k≠0， 所以=2 …7分 此时满足△=8(4k2-2+2)>0. 所以直线AC的方程为y=x+2,过定点(0,2). 所以直线AC过定点(0,2).…8分 (21)(共15分) 解：(I)42=4,4=16,4=37,4=58.…4分 (Ⅱ)不存在4，使得4,4,4递增.…1分 因为正整数4是一个三位数，则4，=T(a)≤3·92=243. 所以4，∈{101,102,103，，243} 所以4，=T(4,)≤T199)=12+92+92=163 因为4,4,4递增， 所以100≤4<42<4≤163.…2分 当a∈{100,101,102，，149}时，a,=T(a)≤T149)=1+4+92=98, 所以42<4，与42>4矛盾.…3分 当a∈150,151，，159}时，a,=T(a)≤T159)=1+52+92=107, 所以42<4，与a2>4矛盾.…4分 当4∈160,161}时，a4,=T(a)≤T161)=12+62+12=38, 所以a,<a,与a,>a矛盾.…5分 综上，不存在4，使得4,4,4递增 (IⅢ)当a≥1000时，设an是一个k位数，则a.≥10-1(k≥4)， 所以a4=T(a)≤k.92=81k 当k≥4时，81k<10-1。 所以a1=T(a)<a.· 所以存在N>n,且a<1000.…3分 当a<1000时，a1=T(a)≤3.92=243， 所以4+1∈=1,2,3，，243}. 因为数列{a}为无穷数列， 集合S=L,2,3,,243}为有限集合，且a1=T(a), 所以数列{a}在集合S中的取值必然会出现重复. 所以存在当卫>q时，有a。=a· 取K=q,则T=卫-q. 所以对任意的正整数4， 总存在正整数K和T,使得对任意的n>K,a+r=a·…6分2025~2026学年度第一学期期末练习 高二数学 2026.01 本试卷共5页，150分。考试时间120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 (1)抛物线x2=4y的焦点坐标为 (A)(0,-1) (B)(0,1) (C)(-1,0) (D)(1,0) (2)已知数列{an}满足a1=1,，an1-an=n,则a= (A)0 (B)2 (C)3 (D)4 (3)若直线2x+y-1=0与ax-2y+3=0平行，则a= (A)-4 (B)1 (C)-1 (D)4 (4)圆C:x2+y2=1与圆C2:x2+y2+2y=0的位置关系是 (A)内切 (B)外切 (C)相交 (D)相离 (5)己知点A(-2,-3,1),B(1,0,-2),AP=2PB,则点P的坐标为 (A)(1,4,-3) (B)(0,-1,-1) (C)(2,3,-5) (D)(-1,-1,2) (6)若直线1与双曲线y2-x2=1只有一个公共点，则直线1的方程不可能为 (A)y=1 (B)y=-x+1 (C)y=x+1 (D)y=2x+1 (7)设m是直线l的方向向量，n是平面a的法向量，则“1与a相交”是“m·n≠0”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8)已知{an}为等比数列，则下列结论中正确的是 (A)若a,>a2,则a2>a (B)若a=a3,则a1=a2 (C)若a1>a,则a2>a4 (D)若a≠4，则a2+a2>2a,2 (9)已知圆C:(x+3)2+y2=100和点A(3,0),若P是圆C上任意一点，线段AP的垂直 平分线1与半径CP相交于点M,当点P在圆C上运动时，则点M的轨迹方程为 (A)X2 x2,y2 2516 (B) 2516 y=1 (C)0064 (D)2+2 100+64=1 (10)已知{a,}是各项均不为零的无穷等差数列，且公差为d,设C,=0+4++a,若 0 a·d<0,则数列{cn} (A)有最大项，无最小项 (B)无最大项，无最小项 (C)有最大项，有最小项 (D)无最大项，有最小项 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 1)双由线等一少=1的右顶点坐标为一：实轴长为一 (12)平面a,B的法向量分别是a=(1,0,2),b=(0,2,1),则a与B夹角的余弦值为 (13)设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,能说明“若{Sn}为递增数列，则 对任意n∈N*,都有an≥0”为假命题的一组a,d的值为a,=,d= (14)已知圆C:x2+y2-6x-8y+24=0,则圆C的半径为；若M是圆C上任意一 点，且点A(-m,O),B(m,O)满足∠AMB是钝角，则正数m的取值范围是 (15)若无穷数列{an}满足：4>0，当n≥2时，|an-an-1=max{a,a2,…,an-}（其中 max{a1,a2,…,an-}表示a1,a2,…,am-1这n-1个数中最大的数)，则称{an}是M数 列.关于M数列{an},给出如下四个结论： ①当a41=1时，a可能为0； ②若{an}是递增数列，则{an}一定是等比数列； ③若{an}是等差数列，则公差d可能大于零也可能小于零： ④若集合A={1≤i≤1001a,=a},则集合A中的元素个数可能是25. 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题14分) 学校自主命题 (17)(本小题14分) 己知点A(0,-2)和圆C:(x-2)2+y2=r2,点B(6,3)在圆C上. (I)判断点A与圆C的位置关系，说明理由： (Ⅱ)求过点B且与圆C相切的直线I的方程； (Ⅲ)若过点A的直线与圆C相交于M,N两点，且MNI的值为整数，写出满足题意的所 有|MNI的值.（直接写出结果即可） (18)(本小题14分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,BC/IAD,PA=2, AD=2BC=4,E,F分别是PB,PD的中点. (I)证明：CF/平面ABP: (Ⅱ)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知， 求直线AE与平面ACF所成角的大小， 条件①：PC=2√5： 条件②：AE⊥PC. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分， (19)(本小题14分) 已知抛物线C:y2=4x经过点A(x,-2). (I)求抛物线C的焦点到其准线的距离及x,的值； (Ⅱ)设直线：y=k(x-)(k≠O)与抛物线C交于不同的两点M,W,问：k为何值时， △4MN的面积为25？ (20)(本小题14分) ,y2 已知椭圆G冠 -1(a>b>0的离心率为5，以椭圆G的四个顶点为顶点的四 2 边形的周长为4V6。 (I)求椭圆G的方程 (Ⅱ)过点P(0,)作斜率存在且不为0的直线1交椭圆G于不同的两点A,B,点B与点C关 于y轴的对称，求证：直线AC过定点. (21)(本小题15分) 对于正整数n,定义T(n)为n的各位数字的平方和.已知无穷数列{a,}满足：a,为正整 数，且对于任意的neN，,a+1=T(an). （I)若a,=2,求a2,a,a4,a的值； (Ⅱ)若a,是一个三位数，是否存在a,使得a,a2,a递增？若存在，求出所有满足条件 的a,的值；若不存在，说明理由： (Ⅲ)证明：对任意的正整数a,总存在正整数K和T,使得对任意的n>K,an+r=an·