21.1 四边形及多边形 学案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第21章平行四边形 21.1四边形及多边形 第一课时：四边形及其内角和 一、教学目标 (一)知识与技能：观察生活中大量的图片，认识一些简单的几何体（四边形、五边形），了解多边形及其内角、对角线等数学概念. (二)过程与方法：能由实物中辨别寻找出几何图形，由几何图形联想或设计一些实物形状，丰富学生对几何图形的感性认识. (三)情感态度与价值观：了解类比这种重要的数学学习方法，体验生活中处处有数学的道理. 二、教学重点、难点 重点：了解多边形、内角、外角、对角线等数学概念以及凸多边形的形状的辨别. 难点：正多边形的正确理解以及凸多边形的辨别. 三、教学过程 创设情境 从这些图形中，你能抽象出哪些平面图形？ 温故而知新 三角形 在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首 尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 多边形 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形. 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形就叫做 n 边形. 有关概念 多边形的内角： 多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 图中∠A，∠B，∠C，∠D，∠E是五边形ABCDE的5个内角. 多边形的外角： 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 图中∠1是五边形ABCDE的一个外角. 多边形的对角线： 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 图中，AC，AD是五边形ABCDE的两条对角线. 五边形ABCDE共有几条对角线？请画出它的其他对角线. 观察 下列两个多边形有何异同呢？ 凸多边形的判断方法： 画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形. 反之，则是凹多边形. 本节只讨论凸多边形. 观察下列多边形，它们的边、角各有什么特点？ 像正方形一样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 练习 1.画出下列多边形的全部对角线： 2.四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？ 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 一、选择题 1.四边形的内角和是三角形内角和的（ ）倍。 A. 1 B. 2 C. 3 2. 正方形和梯形的内角和相比，（ ）大。 A. 正方形 B. 梯形 C. 一样 3. 用4根木条钉成一个长方形，然后向相反的方向拉它的一组对角，就变成了一个平行四边形，这个平行四边形的内角和与原来长方形的内角和（ ）。 A. 相等 B. 变大 C. 变小 4. 四边形、五边形和六边形，（ ）的内角和大。 A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 二、填空题 1. 从九边形的一个顶点出发一共能引（ ）条对角线，它们将该九边形分割成（ ）个三角形。 2.从一个多边形的一个顶点出发一共有7条对角线，则这个多边形是（ ）边形。 3.平行四边形的内角和是（ ）度。 三、解答题 1.算出下面各个未知角的度数。一个四边形中已知三个角分别是130°、125°、60°，求第四个角的度数。 2.一张长方形的纸，剪去一个角，剩下图形的内角和可能是多少？ 求出各多边形的内角和，比如七边形、八边形。 3. 四边形ABCD中，如果∠A + ∠C + ∠D = 280°，则∠B的度数是多少？ 第二课时：多边形及其内角和 一、教学目标 (一)知识与技能：掌握多边形的内角和的计算方法，并能用内角和知识解决一些较简单的问题. (二)过程与方法：通过多边形内角和计算公式的推导，培养学生探索与归纳能力. (三)情感态度与价值观：通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的数学思维品质. 二、教学重点、难点 重点：理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式. 难点：灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题. 三、教学过程 思考 三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于_____，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？ 在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形. 由此可得 ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D =(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D) ∵ ∠1+∠B+∠3=180°，∠2+∠4+∠D=180° ∴ ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=180°+180°=360° 即四边形的内角和等于360°. 探究 归纳 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n-3)条对角线，它们将n边形分为(n-2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n-2). 这样就得出了多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)×180°. 把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？ 例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 解：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180° ∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360° ∴ ∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180° 这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补. 例2 如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和. 六边形的外角和等于多少？ 解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°. 因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于 6×180°. 这个总和就是六边形的外角和加上内角和. 所以外角和等于总 和减去内角和，即外角和等于 6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360° 思考 如果将例2中的六边形换为n边形(n是不小于3的任意整数)，可以得到同样的结果吗？ n边形的外角和=n×180°-(n-2)×180° =n×180°-n×180°+2×180° =2×180° =360° 多边形的外角和等于360° 如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向. 在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和. 由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°. 练习 1.求下列图形中x的值： 解：(1) x+x+140+90=360，解得 x=65 (2) 90+120+150+2x+x=(5-2)×180，解得 x=60 (3) 75+120+80+(180-x)=360，解得 x=95 2.一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？ 解法一：∵ 各内角都等于120° ∴ 每个外角都是60° ∴ 边数为：360°÷60°=6 即它是六边形. 解法二：设它是n边形. 120n=(n-2)×180 解得，n=6 即它是六边形. 3.一个多边形的各内角和与外角和相等，它是几边形？ 解：设它是n边形，依题意得， (n-2)×180=360 解得，n=4 即它是四边形. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1、 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的，求这个多边形的边数. 2、 如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4. 求∠CAD的度数. 3.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数. 4.如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1＝∠2＝60°，AB与DE及AD与BC有怎样的位置关系？为什么？ 5、 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数 学科网（北京）股份有限公司 $