1.3 直角三角形（六大题型）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.3 直角三角形 题型一 直角三角形的两个锐角互余 1．如图，在等腰中，，是的中线，过点作于点，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形两锐角互余的性质及三角形外角性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 根据及直角三角形两锐角互余得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用三角形外角性质即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，是的中线， ∴，， ∴． 故选：C． 2．如图，在中，是高．若，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，掌握这两个性质是关键；由题意得，得，则，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 3．如图，是的角平分线，是的高线，且． (1)是直角三角形吗？为什么； (2)若，求的度数． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，三角形角平分线和高线的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由高线得到，推出，然后等量代换得到，即可证明是直角三角形； （2）首先由角平分线得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵是的高线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是直角三角形； （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴ ∴． 题型二 锐角互余的两个三角形是直角三角形 4．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：选项A： ∵，且， ∴ ， ∴， ∴是直角三角形， 故选项A不符合题意； 选项B： ∵，，， ∴中最大的角为， ∴不是直角三角形， 故选项B符合题意； 选项C： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， 故选项C不符合题意； 选项D： ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴是直角三角形， 故选项D不符合题意． 故选：B． 5．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【详解】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 6．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 题型三 写出命题的逆命题 7．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．若，，则 B．直角都相等 C．同位角相等，两直线平行 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是理解逆命题的定义，属于中考常考题型． 逆命题是以原命题的条件为结论，原命题的结论为条件的命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解： A的逆命题为：若，则且，但时，a和b不一定都大于0， ∴ A的逆命题是假命题； B的逆命题为：相等的角都是直角，但相等的角不一定是直角， ∴ B的逆命题是假命题； C的逆命题为：两直线平行，同位角相等， ∴ C的逆命题是真命题； D的逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么它们相等，但平方相等的两个实数不一定相等， ∴ D的逆命题是假命题． 故选：C． 8．命题“若，则或．”的逆命题为 ． 【答案】若或，则 【分析】本题考查了命题和逆命题，将原命题的条件和结论互换即可求解，找出原命题的条件和结论是解题的关键． 【详解】解：命题“若，则或．”的逆命题为“若或，则”， 故答案为：若或，则． 9．写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明． (1)如果一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是直角三角形． (2)两个非0数，如果它们互为相反数，那么其和等于0． (3)对于任意两数a，b，如果，那么． 【答案】(1)原命题真，见解析；逆命题假，反例：直角三角形角度45°，45°，90°． (2)原命题真，见解析；逆命题真，见解析． (3)原命题假，反例见解析 ；逆命题假，反例：取，，，满足，但． 【分析】本题考查命题与逆命题的概念，正确互换原命题的“条件”和“结论”得到逆命题是解题关键． （1）原命题：设内角为x，，，用内角和定理求角，验证最大角为，判定为真．逆命题：举等腰直角三角形（内角比）的反例，判定为假． （2）原命题：用相反数定义（）推导和为0，判定为真．逆命题：由和为0推出，符合相反数定义，判定为真． （3）解题思路原命题：举的例子，验证，判定为假．逆命题：举的例子，验证但，判定为假． 【详解】（1）原命题：如果一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形． 真命题． 证明：设三个内角分别为x，，，由内角和为得，解得，最大角为，故为直角三角形． 逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么它的三个内角的度数之比为． 真假判断：假命题． 反例：等腰直角三角形的度数为45°，45°，90°，内角比为，不是． （2）原命题：两个非0数，如果它们互为相反数，那么其和等于0． 真假判断：真命题． 证明：互为相反数的两个数满足（），则． 逆命题：两个非0数，如果它们的和等于0，那么这两个数互为相反数． 真假判断：真命题． 证明：若（），则，符合相反数的定义． （3）原命题：对于任意两数a， b，如果，那么． 真假判断：假命题． 反例：取，满足，但，，此时，不满足． 逆命题：对于任意两数a， b，如果，那么． 真假判断：假命题． 反例：取，，，满足，但． 题型四 判断是否为互逆命题 10．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 11．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题． 【答案】互逆 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 12．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 题型五 定理与证明 13．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互关系． 根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性． 【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题． A：公理和定理都是真命题，此说法错误； B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误； C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确； D：公理无需证明即可使用，此说法错误． 故选：C． 14．下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 15．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 【答案】(1)依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． (2)依据：等量代换，是公理． (3)依据：两点之间线段最短，是定理． 【分析】此题主要考查了命题与定理，根据公理与定理的概念：公理是不需要证明的，由实践得出的结论，定理是由公理得出来的，也可以说是公理的推论，是需要证明的． （1）根据全等三角形的判定得出依据以及是定理； （2）根据等量代换得出，进而得出理由． （3）根据三角形的三边关系解答即可； 【详解】（1）解：在和中，，则，依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． （2）解：如果，那么，依据：等量代换，是公理． （3）解：三角形的任意两边之和大于第三边，依据：两点之间线段最短，是根据公理推导出来的，是定理． 题型六 互逆定理 16．定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（   ） A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等 B．对应角相等的两个三角形全等 C．对应边不相等的两个三角形不全等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】A 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换，判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，即为原定理的逆定理． 【详解】解：“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆命题为“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”， ∵“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”是真命题， ∴定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”． 故选：A． 17．定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了写出原定理的逆定理．原定理的逆定理是通过交换条件和结论得到的，因此逆定理的结论是原定理的条件，即三角形是等腰三角形． 【详解】解：定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是等腰三角形． 如图，三角形，设为底边上的高和中线． 由于是高，则， ∴； 由于是中线，则． 在和中， ， 因此，即三角形是等腰三角形． 故答案为：等腰． 18．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 直角三角形 题型一 直角三角形的两个锐角互余 1．如图，在等腰中，，是的中线，过点作于点，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是高．若，则 ． 3．如图，是的角平分线，是的高线，且． (1)是直角三角形吗？为什么； (2)若，求的度数． 题型二 锐角互余的两个三角形是直角三角形 4．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是 三角形． 6．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 题型三 写出命题的逆命题 7．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．若，，则 B．直角都相等 C．同位角相等，两直线平行 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 8．命题“若，则或．”的逆命题为 ． 9．写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明． (1)如果一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是直角三角形． (2)两个非0数，如果它们互为相反数，那么其和等于0． (3)对于任意两数a，b，如果，那么． 题型四 判断是否为互逆命题 10．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 11．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题． 12．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 题型五 定理与证明 13．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 14．下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 15．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 题型六 互逆定理 16．定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（   ） A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等 B．对应角相等的两个三角形全等 C．对应边不相等的两个三角形不全等 D．全等三角形的对应边相等 17．定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是 三角形． 18．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 1 学科网（北京）股份有限公司 $