7.2.4诱导公式 （知识梳理+题型归纳+同步训练）导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.2.4　诱导公式 （解析版） 知识点一　角的旋转对称 1、 已知角α的终边为OA，将射线OA逆时针旋转θ到OB，顺时针旋转θ到OC，则射线OB是α+θ，射线OC是α－θ，所以α+θ终边与α－θ的终边关于角α的终边所在的直线对称 ．结论：（1）角α和角β的终边关于角的终边所在的直线对称 （2）角α与－α终边关于x轴对称 （3）角α与π－α终边关于y轴对称 （4）角α与－α终边关于y=x (终边）对称 知识点二　诱导公式①～④ 1. 角α与 α＋2kπ (k∈Z)三角函数值之间的关系（即：终边相同角的三角函数值之间的关系） 诱导公式① 正弦：sin(α＋2kπ)＝sinα(k∈Z) 余弦：cos(α＋2kπ)＝cosα(k∈Z) 正切：tan(α＋2kπ)＝tanα(k∈Z) 作用：将角转化为0～2π的角求值，简称：大化小 求值 2. 角α与－α的三角函数值之间的关系（即：终边关于x轴对称的角的三角函数值之间的关系） 诱导公式 正弦：sin(－α)＝－sinα 余弦：cos(－α)＝cosα 正切：tan(－α)＝－tanα 作用：用正角的三角函数值表示负角的三角函数值，简称：负化正 求值 3. 角α与π－α的三角函数值之间的关系（即：终边关于y轴对称的角的三角函数值之间的关系）诱导公式 正弦：sin(π－α)＝sinα 余弦：cos(π－α)＝－cosα 正切：tan(π－α)＝－tanα 作用：将～π的角转化为0～的角求值，简称：钝化锐 求值 4.角α与π＋α的三角函数值之间的关系（即：终边关于原点对称的角的三角函数值之间的关系） 诱导公式④ 正弦：sin(π＋α)＝－sinα 余弦：cos(π＋α)＝－cosα 正切：tan(π＋α)＝tanα 作用：将π～的角转化为0～的角求值 求值 【拓展】 （1）sin[α＋(2k+1)π]＝﹣sinα(k∈Z) （2）cos[α＋(2k+1)π]＝﹣cosα(k∈Z) （3）tan[α＋(2k+1)π]＝tanα(k∈Z) 知识点三 　 1.诱导公式⑤：； 推导：由 且， 得 2.诱导公式⑥：； 推导：由诱导公式⑤得 3.诱导公式⑦：； 4.诱导公式⑧：； 【拓展】 (1)诱导公式①～⑧中的角可归纳为k·±α(k∈Z)的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”． ①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名称而言的； ②“奇”“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的； ③“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号． (2)诱导公式在三角形中的几个结论： 设A，B，C是△ABC的三个内角，由A+B+C=π 可得 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC， cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC， tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC， sin＝sin＝cos， cos＝cos＝sin， 题型一 利用诱导公式求值　 角度1 给角求值 1．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】.故选：B 2．（25-26高一上·宁夏·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 3．（25-26高一上·新疆喀什·期末） 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】.故选：D. 4．（25-26高一上·天津南开·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故选：B 角度2 给值求值 1．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）已知是第四象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知是第四象限角，，则， ， . 故选：D 2．（25-26高一上·浙江金华·月考）已知，则的值是（   ） A．k B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，即， 所以． 故选：A. 3．（多选）（25-26高一·全国·假期作业）（多选题）已知，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】已知，所以， 所以，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：BC. 角度3　 利用互余（互补）关系求值 1．（25-26高一上·吉林长春·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求得，再由，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 所以， 故选：A 2．（25-26高一上·北京·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简求值. 【详解】， 故选：A. 3．（25-26高一上·江苏扬州·月考）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的三角函数关系式中的平方和关系，结合诱导公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 又，则， 所以， 则． 故选：B 4．（25-26高一上·福建莆田·月考）已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 由同角三角函数的基本关系知， 则. 故选：D. 题型二 利用诱导公式化简求值 角度1 化简代数式（求值） 1．（25-26高一上·广东珠海·月考） ． 【答案】 【详解】. 故答案为： 2.计算=_____ 【详解】 3．（22-23高一上·四川广安·月考）化简求值： 【详解】. 4.（2024高一上·全国·专题练习）已知，化简的表达式 【详解】（1）当为偶数，即时， ； 当为奇数，即时， ， 综上得. 角度2 化简后“弦化切”求值 1．（2025·山东烟台·一模）已知，则＝（   ） A． B． C．－2 D．2 【答案】C 【详解】已知， 则.故选：C. 2．（25-26高一上·山东济南·月考）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由诱导公式得，所以. 再由诱导公式， 所以 . 故选：B. 3．（25-26高一上·天津·月考）已知，则 . 【答案】 【详解】由题意有：， 故答案为：. 题型三 利用诱导公式证明恒等式 1．（2025高一上·江苏·专题练习）（1）证明：. （2）已知，求证：. 【详解】（1）左边，原等式成立； （2）由，得（）， 则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）证明：． 【详解】 ， ， 故等式左边，等式成立． 3．（24-25高一下·上海·开学考试）已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由角和的终边关于轴对称，可得，， 对于A，由，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确， 对于D，由，故D错误， 故选：C． 题型四 诱导公式的综合应用 角度1 与同角三角函数的基本关系式的综合 1．（25-26高一上·广东广州·月考）化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 . 又因为2为第二象限角，所以，. 所以. 故选：C 2.（2025高三·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； 【详解】（1）原式 ； （2） ； 3.（24-25高一上·江苏南通·期末）设，则 （结果用含的式子表示）. 【答案】 【详解】原式 故答案为： 4（多选）．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 角度2 与三角形的综合 1．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】∵，∴，选项A正确； ，选项B错误； ，选项C正确； ，选项D正确． 故选：ACD． 2．（21-22高一·全国·课后作业）已知、、为的三个内角，求证： 【详解】证明：在中，，则. 所以， ， 故原等式得证. 角度3 与三角函数定义的综合 1．（25-26高一上·上海·月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A为单位圆上一点，以原点O为顶点，轴正半轴为始边，为终边的角为，且终边不在坐标轴上.若将绕点顺时针旋转至，则点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得为终边的角为， 又， 所以. 故选：C 2．（25-26高一上·上海·期末）如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. (1)求的值； (2)求的值 (3)求的值. 【详解】（1）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义，可得，. （2）因为为角终边与单位圆的交点，根据三角函数的定义可得，， 因为将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，可得， 所以，， 所以. （3）因为，， ，， 所以. 1． 单选题 1．（25-26高一上·山东烟台·期末）的值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】.故选：B. 2．（25-26高一上·内蒙古赤峰·期末）已知角的终边过点，且，则实数（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】根据三角函数的定义可知，， 又，， ，且 故， 故选：B. 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由诱导公式可得， . 故选：B 4．（25-26高三上·广东佛山·月考）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 故选：A. 5．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 再由诱导公式得. 故选：D. 二．多选题 6．（25-26高一上·江苏镇江·月考）若角A，B，C是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，则， 所以， ，A正确，B错误； 由于， 则，C错误； 由于， 所以，D正确. 故选：AD 三．填空题 7．（25-26高一上·天津和平·月考） . 【答案】 【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值. 【详解】原式 . 故答案为：. 8．（25-26高一上·江苏盐城·月考）若，当时， . 【答案】 【详解】由于,则，又，故， 故答案为： 4． 解答题 9．（25-26高一上·天津·月考）已知，且为第三象限角. (1)求，的值； (2)求的值. 【详解】（1）因为，且为第三象限角， 所以， 则. （2）=. 10．（多选）（25-26高一上·云南昆明·期末）已知定义在R上的函数，满足是奇函数，且是偶函数.则下列命题正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD ①，由是偶函数，利用偶函数的定义得到②，联立①②可得，分别求解选项即可得解. 【详解】是奇函数，，，①， 是偶函数，， ，②， 联立①②可得，， 选项A，，故选项A正确； 选项B，，故选项B正确； 选项C，， ，此时不恒等于，故选项C错误； 选项D，，， ，故选项D正确. 故选：ABD. 11.（25-26高一上·广东广州·月考）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点､，已知点的坐标为. (1)求的值； (2)求的值. 【详解】（1）已知点在单位圆上，且的终边过点，所以， 。 将，代入式子得， （2）由，得 根据三角函数的诱导公式计算的正余弦， 。 代入式子计算， 12．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知△ABC的三个内角分别是，，. (1)求证：. (2)若. ①求的值； ②求的值. 【详解】（1）在△ABC中，， 所以 所以． （2）①因为，且， 所以， 所，从而. 所以. ②由，可知， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.4　诱导公式 （学生版） 知识点一　角的旋转对称 1、 已知角α的终边为OA，将射线OA逆时针旋转θ到OB，顺时针旋转θ到OC，则射线OB是_____，射线OC是_______，所以α+θ终边与α－θ的终边关于角α的终边所在的直线对称 ．结论： （1）角α和角β的终边关于角______的终边所在的直线对称 （2）角α与－α终边关于________对称 （3）角α与π－α终边关于_________对称 （4）角α与－α终边关于_______(终边）对称 知识点二　诱导公式①～④ 1. 角α与 α＋2kπ (k∈Z)三角函数值之间的关系（即：终边相同角的三角函数值之间的关系） 诱导公式① 正弦：sin(α＋2kπ)＝_____(k∈Z) 余弦：cos(α＋2kπ)＝_____(k∈Z) 正切：tan(α＋2kπ)＝______(k∈Z) 作用：将角转化为0～2π的角求值，简称：大化小 求值 2. 角α与－α的三角函数值之间的关系（即：终边关于x轴对称的角的三角函数值之间的关系） 诱导公式 正弦：sin(－α)＝_____ 余弦：cos(－α)＝_____ 正切：tan(－α)＝_____ 作用：用正角的三角函数值表示负角的三角函数值，简称：负化正 求值 3. 角α与π－α的三角函数值之间的关系（即：终边关于y轴对称的角的三角函数值之间的关系）诱导公式 正弦：sin(π－α)＝_____ 余弦：cos(π－α)＝______ 正切：tan(π－α)＝______ 作用：将～π的角转化为0～的角求值，简称：钝化锐 求值 4.角α与π＋α的三角函数值之间的关系（即：终边关于原点对称的角的三角函数值之间的关系） 诱导公式④ 正弦：sin(π＋α)＝_______ 余弦：cos(π＋α)＝_______ 正切：tan(π＋α)＝_________ 作用：将π～的角转化为0～的角求值 求值 【拓展】 （1）sin[α＋(2k+1)π]＝________(k∈Z) （2）cos[α＋(2k+1)π]＝________(k∈Z) （3）tan[α＋(2k+1)π]＝_________(k∈Z) 知识点三　 1.诱导公式⑤：； 推导：由 且， 得 2.诱导公式⑥：； 推导：由诱导公式⑤得 3.诱导公式⑦：； 4.诱导公式⑧：； 【拓展】 (1)诱导公式①～⑧中的角可归纳为k·±α(k∈Z)的形式，可概括为“_________________________”． ①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名称而言的； ②“奇”“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的； ③“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号． (2)诱导公式在三角形中的几个结论： 设A，B，C是△ABC的三个内角，由A+B+C=π 可得 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC， cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC， tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC， sin＝sin＝cos， cos＝cos＝sin， 题型一 利用诱导公式求值　 角度1 给角求值 1．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·宁夏·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（25-26高一上·新疆喀什·期末） 的值为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·天津南开·月考）（    ） A． B． C． D． 角度2 给值求值 1．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）已知是第四象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江金华·月考）已知，则的值是（   ） A．k B． C． D． 3．（多选）（25-26高一·全国·假期作业）（多选题）已知，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 角度3　 利用互余（互补）关系求值 1．（25-26高一上·吉林长春·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·北京·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏扬州·月考）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建莆田·月考）已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 题型二 利用诱导公式化简求值 角度1 化简代数式（求值） 1．（25-26高一上·广东珠海·月考） ． 2.计算=_____ 3．（22-23高一上·四川广安·月考）化简求值： 4.（2024高一上·全国·专题练习）已知，化简的表达式 角度2 化简后“弦化切”求值 1．（2025·山东烟台·一模）已知，则＝（   ） A． B． C．－2 D．2 2．（25-26高一上·山东济南·月考）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津·月考）已知，则 . 题型三 利用诱导公式证明恒等式 1． （2025高一上·江苏·专题练习）（1）证明：. （2）已知，求证：. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）证明：． 3．（24-25高一下·上海·开学考试）已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 题型四 诱导公式的综合应用 角度1 与同角三角函数的基本关系式的综合 1．（25-26高一上·广东广州·月考）化简得（    ） A． B． C． D． 2.（2025高三·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； 3.（24-25高一上·江苏南通·期末）设，则 （结果用含的式子表示）. 4（多选）．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 角度2 与三角形的综合 1．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一·全国·课后作业）已知、、为△ABC的三个内角，求证： 角度3 与三角函数定义的综合 1．（25-26高一上·上海·月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A为单位圆上一点，以原点O为顶点，轴正半轴为始边，为终边的角为，且终边不在坐标轴上.若将绕点顺时针旋转至，则点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·期末）如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. (1)求的值； (2)求的值 (3)求的值. 1． 单选题 1．（25-26高一上·山东烟台·期末）的值（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·内蒙古赤峰·期末）已知角的终边过点，且，则实数（   ） A．4 B． C．5 D． 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则（   ） A．5 B． C．1 D． 4．（25-26高三上·广东佛山·月考）（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 二．多选题 6．（25-26高一上·江苏镇江·月考）若角A，B，C是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 三．填空题 7．（25-26高一上·天津和平·月考） . 8．（25-26高一上·江苏盐城·月考）若，当时， . 4． 解答题 9．（25-26高一上·天津·月考）已知，且为第三象限角. (1)求，的值； (2)求的值. 10．（多选）（25-26高一上·云南昆明·期末）已知定义在R上的函数，满足是奇函数，且是偶函数.则下列命题正确的有（   ） A． B． C． D． 11.（25-26高一上·广东广州·月考）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点､，已知点的坐标为. (1)求的值； (2)求的值. 12．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知△ABC的三个内角分别是，，. (1)求证：. (2)若. ①求的值； ②求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $