小升初专项提优练习：探索规律（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

2026年小升初专项提优练习：探索规律-苏教版专用 一、选择题 1．按规律填空：1，3，7，15，31，（    ），127。 A．47 B．62 C．63 D．72 2．根据999×1＝999，999×2＝1998，999×3＝2997，…，可知999×6＝（    ）。 A．6993 B．5994 C．4994 D．3994 3．月历不仅是记录日期的工具，其中还蕴含着许多有趣的数学规律，在月历中任意框出如图这样的四个数，能表示它们之间关系的是（    ）。 A．B． C． D． 4．如图是“杨辉三角”，根据各数之间的关系，第6行中所有数的和是（    ）。 A．32 B．22 C．20 D．18 5．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”。从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（    ）。 A．25＝9＋16 B．36＝15＋21 C．49＝18＋31 D．64＝31＋33 6．如图，将一些小圆点按如图规律摆放，前4个图形中分别有小圆点6个，10个，16个，24个，依此规律，第20个图形中，小圆点有（    ）个。 A．462 B．384 C．420 D．424 二、填空题 7．一列数1，2，2，3，3，3，4，4，4，4…中的第35个数为( )。 8．如果，，，，…那么，( )2－1。 9．观察下面图形，如果继续摆下去，第5个图形中共有( )个，第n个图形中共有( )个。 10．下图是乐乐用火柴搭成的“金鱼”。 (1)搭1条“金鱼”用( )根火柴，搭2条“金鱼”用( )根火柴。 (2)按照上图中的规律搭下去，搭n条“金鱼”用( )根火柴。 11．照这样的规律，第5个图形中小正方形的个数是( )，第( )个图形中的小正方形的个数是100。 12．用白色或者灰色圆形按下面的方法摆图形： 这样继续摆放，第五个图形中有( )个白色圆，当一个图形中有n个灰色圆形时，白色圆形有( )个。 13．观察下面算式，按照这样的规律，第5个算式是( )，第n个算式的结果是( )。 第1个算式： 第2个算式： 第3个算式： 第4个算式： …… 14．“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它是用半径不同的圆画出来的（如图，除了第一步和第二步半径相同）。第一步和第二步中圆的半径都是1cm，按照图中方法继续画，第四步完成后螺旋曲线的总长为( )厘米。（取3.14） 三、判断题 15．1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝82。( ) 16．我有一串四色珠子，共98颗，每种颜色的珠子颗数相等。( ) 17．如图这样放三角形积木，如果最下层放19块积木，共需放72块积木。( ) 18．3，6，9，12，（    ），（    ），（    ）按照规律，最后一个空应填21。( ) 19．算式9×6＝54，99×96＝9504，999×996＝995004；通过这三个算式不用计算就可以得出999999×999996＝999995000004。( ) 四、解答题 20．车甫为了参加速算比赛，做了一些练习题，以下是其中几道： 23×11＝253    46×11＝506    31×11＝341 58×11＝638    45×11＝495    69×11＝759 (1)车甫通过观察以上算式及其结果后发现，一个两位数与11相乘所得的积有如下规律：首尾( )，中间( )，满十向前一位( )。 ①进一   ②不变   ③相加   ④相减 (2)通过上面发现的规律，你能直接写出下面算式的结果吗？ 52×11＝( )； 11×63＝( )； 77×11＝( )。 21．先阅读理解，再解决问题。 有这样一组有规律的算式： 第1层：； 第2层：； 第3层：； 第4层：； 第5层：； …… （1）我发现：每一层的第1个数，都正好等于（    ），像第7层的第1个数是（    ）。 （2）我发现：每层右边的数的个数等于（    ），如第7层右边一共有（    ）个数。 （3）请你列式计算出第7层等号左边数的和。 22．观察图形，发现规律，回答问题。 （1）照这样的规律，摆第5个图形需要多少个○？ （2）照这样的规律，摆第个图形需要多少个○？用含有字母的式子表示你发现的规律。 23．现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。 （1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。 （2）在其他位置填上与365相邻的数字。 24．观察下面图与算式的规律并解决问题。              （     ＝     ） （1）根据前三幅图与算式的规律，写出第四幅图下面的等式。 （2）根据以上观察，（    ）。 25．用小棒按照如下方式摆图形，摆一个八边形需要8根小棒。观察规律。    （1）根据规律，怎样摆出4个八边形，把你的想法画在方框内。 （2）照这样画下去，想一想，摆7个八边形需要（    ）根小棒，如果想摆n个八边形需要（    ）根小棒。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年小升初专项提优练习：探索规律-苏教版专用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B A A B D 1．C 【分析】观察发现： 第1个数：1； 第2个数：3＝1×2＋1； 第3个数：7＝3×2＋1； 第4个数：15＝7×2＋1， 第5个数：31＝15×2＋1， 规律：每一个数都是前一个数的2倍加上1；由此求解。 【详解】31×2＋1 ＝62＋1 ＝63 所以括号中的数是63。 故答案为：C 2．B 【分析】观察999×1＝999、999×2＝1998、999×3＝2997可知，第一个因数是999，第二个因数分别是1、2、3，第二个因数≥2时，而积是一个四位数，十位和百位都是9，千位上的数比第二个因数少1，个位上的数与千位上的数的和是9，据此解答。 【详解】根据999×1＝999，999×2＝1998，999×3＝2997，…可知999×6＝5994。 故答案为：B 3．A 【分析】 从图中可知，框出来的四个数是，观察它们之间的关系：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。通过设其中一个数，根据这个规律来表示出其余三个数，从而判断四个数之间的关系。 【详解】 A．设左上角的数为a，则右上角的数是a＋1；左下角的数为a＋7，则右下角的数为a＋1＋7＝a＋8，所以正确； B．设右上角的数为a，则左上角的数是a－1；右下角的数是a＋7，则左下角的数为a＋7－1＝a＋6；所以错误； C．设左下角的数为a，则右下角的数为a＋1；左上角的数为a－7，则右上角的数为a－7＋1＝a－6，所以错误； D．设右下角的数为a，则左下角的数为a－1；右上角的数为a－7，则左上角的数为a－7－1＝a－8；所以错误。 故答案为：A 4．A 【分析】由题意可知，第几行有几个数，每行第一个数和最后一个数都是1，中间的数等于上面一行对应两个数的和，据此找出第6行的6个数，最后求出所有数的和。 【详解】第6行是：1、5、10、10、5、1。 1＋5＋10＋10＋5＋1＝32 第6行中所有数的和是32。 故答案为：A 5．B 【分析】根据题目可知，三角形数的规律为：第1个三角形个数＝1，第2个三角形个数＝1＋2＝3，第3个三角形个数＝1＋2＋3＝6，第4个三角形个数＝1＋2＋3＋4＝10，……第n个三角形个数＝1＋2＋3＋4＋…＋n，而任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，逐项分析后进行选择，据此解答。 【详解】根据分析： A．1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，1＋2＋3＋4＋5＝15，那么9和16都不是“三角形数”，不符合题意； B．1＋2＋3＋4＋5＝15，1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，那么15和21都是“三角形数”，且是两个相邻的“三角形数”，符合题意； C．1＋2＋3＋4＋5＝15，1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，那么18和31都不是“三角形数”，不符合题意； D．1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，那么31和33都不是“三角形数”，不符合题意； 所以符合这一规律的是36＝15＋21。 故答案为：B 【点睛】找出三角形数的规律，是解答本题的关键。 6．D 【分析】先观察每个图形的最外侧都有四个小圆点，再观察每个图形内部圆点的行数和列数，发现列数等于行数加1，第一个图形内部的小圆点2列1行，第二个图形内部的小圆点3列2行，第三个图形内部的小圆点4列3行，依次规律，第个图形内部的小圆点列行，据此解答。 【详解】第1个图形中有小圆点： （个） 第2个图形中有小圆点： （个） 第3个图形中有小圆点： （个） 第4个图形中有小圆点： （个） 第个图形中有小圆点： 个 当时， （个） 所以第个图形内部的小圆点有424个。 故答案为：D 7．8 【分析】从这列数中发现规律：当数列中的数为1时，则有1个1；当数列中的数为2时，则有2个2；当数列中的数为3时，则有3个3……以此类推，当数列中的数为n时，则有n个n。求这列数中第35个数，即1＋2＋3＋…＋（n－1）＜351＋2＋3＋…＋n， 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36 所以一列数1，2，2，3，3，3，4，4，4，4…中的第35个数为8。 8．2024 【分析】观察给出的算式，等号的左边是两个相差2的自然数相乘，右边是等号左边的两个自然数中间的自然数的平方再减去1，如果把中间的自然数用n表示，则可以总结规律为：（n－1）×（n＋1）＝n2－1，据此计算并填空即可。 【详解】因为2023＋1＝2024，所以2023×2025＝20242－1。 如果2×4＝32－1，3×5＝42－1，4×6＝52－1，5×7＝62－1，…那么，2023×2025＝20242－1。 9． 17 （4n－3） 【分析】 观察可知，第1个图形中共有1个，1＝（1－1）×4＋1；第2个图形中共有5个，5＝（2－1）×4＋1；第3个图形中共有9个，9＝（3－1）×4＋1……由此可知，的个数＝（第几个图形就用几－1）×4＋1，据此分析。 【详解】（5－1）×4＋1 ＝4×4＋1 ＝16＋1 ＝17（个） （n－1）×4＋1 ＝4n－4＋1 ＝（4n－3） 第5个图形中共有17个，第n个图形中共有（4n－3）个。 10．(1) 8 14 (2)2＋6n 【分析】（1）通过观察题图可知，搭1条“金鱼”用根火柴，搭2条“金鱼”用根火柴，搭3条“金鱼”用根火柴； （2）以后每多搭1条“金鱼”就多用6根火柴，所以搭n条“金鱼”用根火柴。据此解答。 【详解】（根） （根） （1）搭1条“金鱼”用8根火柴，搭2条“金鱼”用14根火柴。 （2）按照上图中的规律搭下去，搭n条“金鱼”用根火柴。（答案不唯一） 11． 25 10 【分析】观察图形，第一个图形有1个正方形，第二个图形有2×2＝4个小正方形，第三个图形有3×3＝9个小正方形，由此可知，第n个图形有n×n＝n²个小正方形，由此求出第5个图形中小正方形的个数，以及第几个图形中小正方形的个数为100。 【详解】5×5＝25（个） 10×10＝100（个） 第5个图形中小正方形的个数是25，第10个图形中的小正方形个数是100。 【点睛】观察图形发现，第n个图形有n×n＝n²个小正方形。 12． 20 n2－n 【分析】根据图可知，第1个图形有1×1＝1个圆形，其中有1个灰色圆形，0个白色圆形；第2个图形有2×2＝4个圆形，其中有2个灰色圆形，（4－2）个白色圆形；第3个图形有3×3＝9个圆形，其中有3个灰色圆形，（9－3）个白色圆形……由此可知，第n个图形有n×n＝n2（个）圆形，其中有n个灰色圆形，（n2－n）个白色圆形。据此规律填空。 【详解】由分析可知： 5×5－5 ＝25－5 ＝20（个） 第五个图形中有20个白色圆，当一个图形中有n个灰色圆形时，白色圆形有（n2－n）个。 13． 【分析】通过观察可知，算式过程和结果跟个数有关，第几个算式就有几个分数，且每个算式都乘1，每个算式中的分数的分子分别是从1开始排列的自然数，每个算式中的分数的分母分别是从2开始排列的自然数；据此可知，第n个算式是。 【详解】观察下面算式，按照这样的规律，第5个算式是，第n个算式的结果是。 14．10.99 【分析】需先明确每一步圆的半径，再计算每段圆弧的长度，最后求和。 圆的周长公式为，因此圆弧的长度为。 【详解】确定圆的半径： 第一步：圆的半径为1cm。 第二步：圆的半径为1cm。 第三步：圆的半径为：。 第四步：圆的半径为：。 分别计算每一步的圆弧长： 第一步：。 第二步：。 第三步：。 第四步：。 求螺旋曲线的总长： 第四步完成后螺旋曲线的总长为10.99厘米。 【点睛】解决此类“分段圆弧拼接的曲线长度”问题，核心是两步走： ①找半径规律：根据图形拼接逻辑，确定每段圆的半径； ②用公式算弧长：利用“圆弧长”计算每段长度，最后求和。 抓住“半径规律＋弧长公式”，就能快速解决这类组合圆弧的长度问题。 15．√ 【分析】算式“1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15”共有8个连续奇数相加，根据“从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方”，据此判断。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝82。 原等式正确。 故答案为：√ 16．× 【分析】四色珠子说明有四种颜色，要使每种颜色的珠子颗数相等，珠子的颗数应是4的倍数，只要珠子的总数是4的倍数，那么每种颜色的珠子就一样多，否则就不一样多。 【详解】98÷4＝24……2 所以，每种颜色的珠子颗数相等的说法是错误的。 故答案为：× 【点睛】要明确，有四种颜色，只要珠子的总数是4的倍数，那么每种颜色的珠子就一样多，否则就不一样多。 17．× 【分析】图1：1＋3＝4；图2：1＋3＋5＝9；图3：1＋3＋5＋7＝16，结合规律可知：如果最下层放19块积木，共需放积木的块数为：1＋3＋5＋……＋19＝（1＋19）×10÷2，计算出结果判断即可。 【详解】1＋3＋5＋……＋19 ＝（1＋19）×10÷2 ＝20÷2×10 ＝10×10 ＝100 故答案为：× 【点睛】本题考查数和形中的找规律问题。找到共同特征解决问题即可。 18．√ 【详解】略 19．正确 【详解】规律：第一个因数依次增加一个数字9，第二个因数6前面依次增加一个数字9，结果是5前面是9，5和4中间是0，9的个数和0的个数等于第二个因数中9的个数。 20．(1) ② ③ ① (2) 572 693 847 【分析】（1）通过观察，从给定的算式中找出两位数与11相乘的积的规律； （2）根据发现的规律去解答后面的算式。 【详解】（1）观察 23×11＝253，这里23的首位2和末尾3在积的首位和末尾，所以首尾不变选②。 再看积的中间数字5，是23的首位2和末尾3相加得到的2＋3＝5，所以中间相加，选③。 对于46×11＝506，4＋6＝10，积的中间是0，并且向百位进了1，所以满十向前一位进一，选①。 （2）对于 52×11，按照规律，首位是5，末尾是2，中间是5＋2＝7，所以结果是572。 对于11×63，首位是6，末尾是3，中间是6＋3＝9，结果是693。 对于77×11，首位是7，末尾是7，中间是7＋7＝14，满十进一，所以结果是847。 21．（1）层数的平方；49； （2）层数；7； （3）420 【分析】（1）观察算式，第1、2、3、4层的第1个数分别是1、4、9、16，也就是12、22、32、42，据此得出每一层的第1个数的规律，并按此规律得出第7层的第1个数是几。 （2）观察算式，第1、2、3、4层的右边的数的个数分别是1、2、3、4个，据此得出每层右边的数的个数的规律，并按此规律得出第7层右边数的个数。 （3）结合上面两题的规律，写出第7层的算式，并计算出得数。 【详解】（1）第1层的第1个数是1，1＝12； 第2层的第1个数是4，4＝22； 第3层的第1个数是9，9＝32； 第4层的第1个数是16，16＝42； …… 第7层的第1个数是72＝49。 我发现：每一层的第1个数，都正好等于层数的平方，像第7层的第1个数是49。 （2）我发现：每层右边的数的个数等于层数，如第7层右边一共有7个数。 （3）第7层：49＋50＋51＋52＋53＋54＋55＋56＝57＋58＋59＋60＋61＋62＋63＝420 答：第7层等号左边数的和是420。 22．（1）16个 （2）（3n＋1）个 【分析】看图可知：摆出图1需要（3＋1）个○，摆出图2需要（3×2＋1）个○，摆出图3需要（3×3＋1）个○，摆出图4需要（3×4＋1）个○，据此即可得出正确答案。 【详解】根据分析可得： 每个图形○的数量是第几个图形就用几乘3再加1。 （1）摆第五个图形需要： 3×5＋1＝15＋1＝16（个） 故摆第五个图形需要16个○； （2）照这样的规律，摆第个图形需要（3n＋1）个○。 23．见解答 【分析】（1）（2）如下图所示，数从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列出的图形是一个正方形，以1为中心数，每个1×1，3×3，5×5的正方形的右下角的数（即标蓝色方格内的数）均是从1开始的连续奇数的平方（即（2n－1）²），因为19²＝361，即最接近365的奇数的平方，据此画出以数361为右下角的数的排列，再画出以数289为右下角的数的排列（如下图），据此解答。 【详解】由分析可知： （1）如下图所示： （2）如下图所示： 【点睛】本题考查了数表中的规律的应用。 24．（1）62－52＝6＋5 （2）2n＋1 【分析】（1）第一幅图形算式为：22－12＝2＋1；第二幅图形算式为：32－22＝3＋2；第三幅图形算式为：42－32＝4＋3；由此可得：两个相邻数的平方差等于这两个数的和，且第几幅图，减数就是几的平方，由此写出第四幅图形的算式； （2）再根据规律算出（n＋1）2－n2的结果即可。 【详解】（1）第一幅图形算式为：22－12＝2＋1； 第二幅图形算式为：32－22＝3＋2； 第三幅图形算式为：42－32＝4＋3 …… 第四幅图形算式为：62－52＝6＋5 （2）（n＋1）2－n2 ＝n＋1＋n ＝2n＋1 （n＋1）2－n2＝＝2n＋1 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解答本题的关键。 25．（1）见详解 （2）50；1＋7n 【分析】（1）摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，15＝1＋2×7，摆3个八边形需要22根小棒，22＝1＋3×7，⋯摆n个八边形需要的小棒数为：（1＋7n）根，据此解答即可。 【详解】（1）如图所示：    （2）摆7个八边形需要小棒的根数为： 1＋7n＝1＋7×7 ＝1＋49 ＝50 则摆7个八边形需要50根小棒，如果想摆n个八边形需要（1＋7n）根小棒。 【点睛】本题主要考查数.与形结合的规律，发现每多1个八边形就多7根小棒是解本题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $