湖南省长沙市2025-2026学年高二上学期期末模拟考试01数学练习

2025-2026学年湖南省长沙市上学期期末模拟考试01 高二数学（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C D D A B BD ABD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】利用共面定理和空间向量的线性运算可求答案. 【详解】因为，，，四点共面，所以，其中， 所以， 即； 因为，所以， 而不共面，则，即. 故选：C 2．C 【分析】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 3．A 【分析】设，根据椭圆的定义以及勾股定理分别表示出，再由离心率计算公式可求结果. 【详解】设，则，由椭圆的定义，得， 因为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，所以， 在中，，即， 所以离心率， 故选：A． 4．C 【分析】利用递推公式先判断周期，利用周期数列即可求解. 【详解】解法1：由数列满足， 可取，则； 取，则； 取，则， 猜想数列是周期为3的周期数列，. 解法2：由得，，逐项代换可得， 数列是周期为3的周期数列，. 故选：C 5．D 【分析】首先明确题目中“对定义域内任意的，当时，恒成立”的含义，即函数的图象除切点外，其它部分均在处的切线的下方，由此结合导数的几何意义以及导数与函数单调性的关系，一一判断各选项是否符合题意，即可得答案. 另解：根据导数的几何意义结合题意判断出函数的图象的形状，结合选项，一一判断是否符合题意，即可得答案. 【详解】根据导数的几何意义可知表示的是函数在处的切线方程， 而函数满足性质：“对定义域内任意的，当时，恒成立”， 即函数的图象除切点外，其它部分均在处的切线的下方， 对于A,，，， 在处的切线方程为，即，不符合题意，A错误； 对于B，，， 在处的切线方程为，即， 令， 则，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立，不符合题意，B错误； 对于C，，，不妨取，则， 则在处的切线方程为， 当时，，此时不满足，C错误； 对于D，，定义域为，， 在处的切线方程为，即， 令， ，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，即，当且仅当时等号成立， 则当时，恒成立，符合题意，D正确. 另解： 根据导数的几何意义可知表示的是函数在处的切线方程， 而函数满足性质：“对定义域内任意的，当时，恒成立”， 即函数的图象除切点外，其它部分均在处的切线的下方， 即可知函数的图象为向上凸形状； 对于，其图象为直线，不符合题意，A错误； 对于，其图象为向下凹的形状，不符合题意，B错误； 对于，其在上的图象为向下凹的形状，不符合题意，C错误； 对于，其图象为上凸形状，符合题意，    故选：D 6．D 【分析】根据的解析式，判断其为单调增函数且为奇函数，再结合等差数列的前项和公式，即可求得结果． 【详解】函数，其定义域为， 又，故为奇函数； 又在为单调增函数，在为单调增函数，故在单调递增， 又为上的奇函数，故在上为单调增函数； 又函数为上的奇函数，且为增函数，故为上的单调增函数且为奇函数； ，，则， 即；故． 故选：D 7．A 【分析】对求导，得，利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜式，即可求解. 【详解】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 8．B 【分析】根据题意设直线的方程及相应交点的坐标，分别联立直线与抛物线方程和椭圆方程计算得到和，由的面积计算得到，由得到；从而得到，化简后得到，进一步计算即可求得椭圆的离心率. 【详解】设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程得，即，所以，判别式，； 联立直线与椭圆方程得，整理得，即，所以，判别式， ； 因为的面积为，所以，所以； 因为，所以，所以，即，所以； 综上，，即， 即，解得，，化简得，即，即，即，即，即，即，解得，或（舍去）；所以椭圆的离心率为. 故选：B. 9．BD 【分析】对于选项A，将直线的方程化为，再由可求得定点对于选项B，C可通过直线一般式方程时两直线平行垂直的条件求解；对于选项D，将直线化为斜截式，再根据斜率和截距建立不等式可以求解 【详解】直线，则， 由，得，所以恒过定点，所以A错误； 由可得：，所以.当时，成立.B正确； 由可得：，，所以C错误； 由，当时，，不过第三象限； 当时，，不过第三象限，只需要，解得， 所以的取值范围为，所以D正确； 故选：BD. 10．ABD 【分析】由，即可整理得到曲线的方程，判断A选项；设点H坐标为，由此写出切线方程，然后求得直线的定点，判断B选项；令，由直线与曲线相切时有最值，由圆心到直线的距离建立方程解得最值，判断C选项；构造向量，，当直线与圆相切时，最小，由向量的数量积求得的最大值， 判断D选项. 【详解】对于A，因为，所以，整理得，故A正确； 对于B，因为H为直线上一点，设点H坐标为， 则直线MN的方程为，整理得， 令，解得，所以直线MN过定点，故B正确；    对于C，令，对于直线，与C相切时有最值，此时圆心到直线的距离，解得或，所以的最大值为，故C错误；      对于D，，表示点到点的距离，取，，， 则， 当直线与圆相切时，与的夹角最小， 此时在中，，，， 所以，， 所以，故D正确.    故选：ABD. 11．ACD 【分析】对于A，代入递推公式求解即可；对于B，将，由可推得恒成立，故单调递增，则单调递减，即可判断；对于C，运用数学归纳法可证得；对于D，根据且，得到当时，，则，故当时，累乘后即可得证. 【详解】对于A：当时，，得，解得；当时，，得，得，故A正确； 对于B：由可得.若存在，则有，显然不成立，故，因此可化成. ，同理可证得均大于1，故且单调递增，单调递减，故单调递减，故B错误； 对于C：猜想对，. 当时，，成立. 假设当时，命题成立，即. 当时，， 所以当时，命题成立. 综上，对任意，故C正确； 对于D：因为，且由选项B可知，故，当且仅当时等号成立. 又由选项B可知，恒成立，因此易知当时，. 由，得，因此， 当时，，则，得，故， 即，则当时，. 由选项C可知，，故证即证. 因为当时，，故可得，累乘后得： 当时，，得证，故D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】由题意得，即，得，设，所以与有两个交点，利用导数研究单调性进而作出函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由，即，所以，即， 设，所以与有两个交点， 则， 由，解得，此时函数单调递增， 由，解得，此时函数单调递减， 所以当时，函数取得极小值，同时也是最小值， 所以当时，，当时，， 作出函数的函数图像：    由图像可知：， 故答案为：． 13． 【分析】先对函数进行求导，再代入切点求切线斜率，最后化简求和即可. 【详解】由已知可得， 当时，， 故； 当时，， 故； 当时，， 故， 则所求式子通分整理得 ， 故答案为：. 14． 【分析】设折叠前，表示折叠后点的坐标，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合建立关系，求出，即得的值. 【详解】折叠后仍以轴为轴，轴原位置仍为轴，折叠后轴的正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，    折叠前设，易得，设直线 由得， 折叠后 化简得，即. 因，则可得，即. 又，则，故. 故答案为：. 15．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用圆心到直线距离与半径联立勾股定理求弦长即可； （2）利用直线与圆的位置关系中的相交情况解决问题； （3）利用直线与圆的位置关系中的相切情况解决问题. 【详解】（1）由题得，圆心，半径， 圆心到直线的距离，则有弦长为. 故直线被圆所截得弦长为. （2）由题得圆心到直线的距离，且直线， 则有，解得， 故实数的取值范围是. （3）由题设直线，即，若与圆相切，则圆心到直线的距离， 则有，解得或， 故直线的方程为或. 16．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，设点坐标，利用求得点坐标，进而写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 【详解】（1）平面，平面，平面， ，． ，，且平面， 平面． 平面， 平面平面． （2）由（1）知：，，， 以为原点，直线、、方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系．      则有，，，，， 由上一点是的外心，设，由题意， ， 解得，即． 从而，． 设直线与直线所成角为． 则， 即直线与直线所成角的余弦值为． 17．(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用导数的正负求解函数的单调区间； （2）当时，设，，利用导数分析函数的单调性，进而求证即可； （3）求导构建，，可知在上存在零点，结合题意整理可得，设，，利用导数分析单调性，进而求解即可. 【详解】（1）当时，，， 则，         设，，则， 所以在单调递增，又， 可知时，，时，， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为. （2）当时，， 设，， 则，          设，，则， 所以在上单调递增， 又，则， 所以在上单调递增，则， 即对于任意的，都有. （3）由，，则，        设，，可知在上单调递增， 因为函数存在极小值点，所以在存在零点， 即，         此时，即， 设，，且， 当时，，，则； 当时，，，则， 可得，则，此时， 则a的取值范围为． 18．(1)3，1；3，2；1，3；2，3. (2)1 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据阶完美数列的定义求解即可，，共有（不符合）种可能.（2）设；；，依题意，，不妨设，根据完美数列的定义判断大小关系，从而可得，进而判断的元素个数.（3）通过反证法推出矛盾. 【详解】（1）2阶完美数列有4个，分别为；；；. （2）设；；. 依题意，， 不妨设，则，即， 若，则，所以， 由知，用表示中的最大值，则， 所以，由知. 若，则，所以， 所以，. 构造：当为或时，符合，其他情况不符合， 所以的元素个数为1. （3）不存在16阶完美数列， 假设存在16阶完美数列. 设，， 用表示中的最大值，用表示中的最小值， 则， 其中， 所以，其中为1，2之一， 设，则， 同理，，其中为1，2，3之一， 设，，则， 重复上述过程，则， 所以， 因为， 所以. 所以， 不妨设， 则当时，，， 设，对进行类似于的研究； 则有，其中， 同理，， 其中当时，， 所以， 因为， 所以， 所以， 又，矛盾， 所以假设不成立， 所以不存在16阶完美数列. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年湖南省长沙市上学期期末模拟考试01 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册、选择性必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 2．已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，则（    ） A．-1 B． C．2 D．3 5．下列四个函数中，满足性质：“对定义域内任意的，当时，恒成立”的为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，若等差数列的前项和为，且，，则（    ） A． B．0 C．2026 D．4052 7．已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，椭圆的左右焦点分别为，抛物线，且与椭圆在第一象限交于点，其中.直线与抛物线，椭圆依次交于点.若，且的面积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，则（ ） A．恒过点 B．若，则 C．若，则 D．当时，不经过第三象限 10．已知点，，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的方程 B．过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 C．若点是上一点，则的最大值为 D．若点是上一点，则的最大值为 11．记数列的前项和为，前项积为，已知，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．存在大于1的正整数，使得 C．对任意 D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 ． 13．已知函数且均不相等），设曲线在点处的切线的斜率为，则 . 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后在新图形中对应点记为，若，则 .    四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知圆，直线. (1)若，求直线被圆所截得的弦长； (2)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (3)若直线斜率为，且与圆相切，求直线的方程. 16．如图所示的四棱锥中，平面，，.    (1)证明：平面平面； (2)，，，上一点是的外心，求直线与直线所成角的余弦值. 17．已知函数，其中，为自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，证明：对于任意的，都有； (3)若函数存在极小值点，且，求a的取值范围． 18．对有穷数列，用表示数列中所有的项构成的集合.定义变换，将数列变换成数列. 对有穷数列，令数列. 若，则称为阶完美数列. (1)写出所有的2阶完美数列； (2)若数列为3阶完美数列，求集合的元素个数； (3)是否存在16阶完美数列？如果存在，求出所有的16阶完美数列；如果不存在，说明理由. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $