精品解析：江苏省南京市励志高级中学2025-2026学年高一上学期第五次调研（1月期末）数学试题

南京市励志高级中学2025-2026高一（上）第五次调研考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】由，， ，则. 故选：C 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】命题，的否定是：，， 故选：A 3. 若，是方程的两个实根，则ab的值等于（ ） A. 2 B. C. 100 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，由韦达定理得，解等式即可. 【详解】因为是方程的两个实根 所以 即 所以 故选：C 4. 某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设年平均利润为，利用基本不等式求出的最大值即可. 【详解】设年平均利润为，因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因此，这批机器的年平均利润值最大为万元. 故选：C． 5. 已知函数，，的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题化为、、与的交点横坐标，画出大致函数图象，数形结合比较大小即可. 【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为， 它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A 6. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由函数和的关系可以求得的一条对称轴，即可求解. 【详解】由题意，函数的一条对称轴为：. 由，. 因为，所以当时，取得最小值为. 故选：A 7. 甲、乙、丙、丁四位同学猜测校运会长跑比赛中最终获得冠军的运动员 甲说：“冠军是李亮或张正” 乙说：“冠军是林帅或张正” 丙说：“林帅和李亮都不是冠军” 丁说：“陈奇是冠军”． 结果出来后，只有两个人的推断是正确的，则冠军是（ ） A. 林帅 B. 李亮 C. 陈奇 D. 张正 【答案】C 【解析】 【分析】根据选项依次判断四人的推断结果即可. 【详解】对A，若林帅获得冠军，则乙正确，甲、丙、丁都错误，故A错误； 对B，若李亮获得冠军，则甲正确，乙、丙、丁错误，故B错误； 对C，若陈奇获得冠军，则丙、丁正确，甲、乙错误，故C正确； 对D，若张正获得冠军，则甲、乙、丙正确，丁错误，故D错误. 故选：C 8. 已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合偶函数的对称性可确定时函数性质，然后结合分式不等式的求法可求． 【详解】因为是定义在,上的偶函数，当时，单调递减，， 所以时，函数单调递增，, 所以的解集,,，的解集， 当时，的解集,,， 时的解集,,， 则不等式可转化为或， 解得或或． 故选：C． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 是的充要条件 B. ，是的充分不必要条件 C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的性质及举反例可判断A，B选项，做差法可判断C，利用函数图象判断D. 【详解】对于A，当时，不成立，故错误； 对于B，当，时，，故成立，反之不成立，如，故正确； 对于C，，，故正确； 对于D，由指数函数图象与对数函数图象， 可知，选项错误. 故选：BC 10. 下列命题中正确的是（ ） A. B. 若且，则 C. 若，则的值为 D. 的值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则即可判断A，根据指对互化，以及换底公式即可判断B，利用换底公式得，即即可判断C，利用对数运算法则即可判断D. 【详解】A选项： ，故A正确； B选项：由，则，，且，即，， 所以，解得，故B错误； C选项：由，得，即， 所以，故C正确； D选项： ，故D正确； 故选：ACD 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系判断选项. 【详解】对于A，因为，所以， ， 所以，故A正确； 对于B，由已知可得， 因为， 所以，故B错误； 对于C，D，由， 可得，所以，故C，D都正确． 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则________ 【答案】2 【解析】 【分析】利用换底公式化简，然后可解方程. 【详解】∵ ∴，∴. 故答案为：2. 13. 函数的零点在区间内，则自然数________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据单调性和零点存在性定理判断零点所在区间即可求得. 【详解】因为定义域为， 又与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，所以， 所以， 所以，所以在上存在唯一零点，所以. 故答案为：2 14. 如图，A，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，A 点的坐标为，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义结合诱导公式计算即可. 【详解】因为A 点的坐标为， 所以， 又因为， 所以 故. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知角的终边经过点，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由任意角的定义即可求解； （2）由诱导公式及弦化切即可求解； 【小问1详解】 由，可知：， 由任意角余弦定义可得：， 解得：， 所以； 【小问2详解】 . 16. 已知函数，. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求的单调递增区间； （3）当时，求的值域. 【答案】（1）最小正周期为；对称中心为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期公式求解，利用解出的值为中心对称点的横坐标，纵坐标为，从而得到的中心对称点； （2）根据正弦函数的递增区间，利用整体法直接求解即可； （3）根据，求出的范围，结合正弦函数的图像求出的最大值和最小值，从而得到的值域. 【小问1详解】 ，，的最小正周期为； 令，解得， 则的中心对称点为； 【小问2详解】 当时，是单调递增函数， 由，解得， 即时，是单调递增函数， 故的单调递增区间为； 【小问3详解】 ，， 当时，即时，取得最小值， 则取最小值为； 当时，即时，取得最大值， 则取最大值为； 故，即当时，的值域为. 17. 已知集合，集合． （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再求其并集即可； （2）求出集合，再由题意可得是的真子集，从而可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 解不等式，得，即， 解不等式，得，即， 所以； 【小问2详解】 由， 由是的充分不必要条件，可得是B的真子集， 所以，解得, 所以实数m的取值范围是. 18. 已知是定义在的偶函数，且当时，． （1）求､的值； （2）求的表达式； （3）若，试求取值范围． 【答案】（1）；；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）由已知中是定义在的偶函数，且当时，将代入可得答案． （2）当时，则，结合偶函数的性质，可得此时函数的表达式，结合已知可得答案； （3）由函数的解析式，可分析出函数的单调性，结合奇偶性，可将转化为，解得答案． 【详解】解：（1）∵当时，． ∴． 是定义在的偶函数，， ． ∴． （2）是定义在的偶函数，当时，则， ∴， 故； （3）由偶函数的区间对称性的单调性具有相反性，可得：函数在区间减函数，在是增函数． 由于，所以：． 解得：． 【点睛】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档． 19. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，且每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润=年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）7万件；万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合流动成本关于年产量的函数关系，即可求得结果； （2）判断的单调性，根据单调性求得函数最值即可. 【小问1详解】 因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为万元， 依题意得，当时，； 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 当时，取得最大值； 当时，设， 则即， 函数在区间上为减函数. 当时，取得最大值， 由，则可知年产量为7万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市励志高级中学2025-2026高一（上）第五次调研考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，是方程的两个实根，则ab的值等于（ ） A. 2 B. C. 100 D. 4. 某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（　　） A. B. C. D. 5. 已知函数，，的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 7. 甲、乙、丙、丁四位同学猜测校运会长跑比赛中最终获得冠军的运动员 甲说：“冠军是李亮或张正” 乙说：“冠军是林帅或张正” 丙说：“林帅和李亮都不是冠军” 丁说：“陈奇是冠军”． 结果出来后，只有两个人的推断是正确的，则冠军是（ ） A. 林帅 B. 李亮 C. 陈奇 D. 张正 8. 已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 是的充要条件 B. ，是的充分不必要条件 C. ， D. ， 10. 下列命题中正确的是（ ） A. B. 若且，则 C. 若，则的值为 D. 的值为1 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则________ 13. 函数的零点在区间内，则自然数________ 14. 如图，A，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，A 点的坐标为，，则________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知角的终边经过点，且. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知函数，. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求的单调递增区间； （3）当时，求的值域. 17. 已知集合，集合． （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 18. 已知是定义在的偶函数，且当时，． （1）求､的值； （2）求的表达式； （3）若，试求取值范围． 19. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，且每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润=年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $