山西省临汾第一中学2025-2026学年高三上学期数学周测（十五）

临汾一中2025—2026学年高三年级第一学期 数学周测（十五） （时间120分钟 满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合M＝{1,2,3,4,5}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为（  ） A．16 B．8 C．4 D．2 2. 设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（  ） A．2 B．－2 C．－3 D．3 3.已知函数，设，则是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减，上递增 D．在上单调递增，上递减 4．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6.已知某比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，对新数据和原数据，下面说法正确的是（   ） A. 两组数据的极差不可能相等 B. 两组数据的中位数不可能相等 C. 若，则两组数据的方差不可能相等 D. 若，两组数据的第百分位数可能相等 7. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．已知函数，则下列选项正确的是(    ) A. 是函数的一个周期 B. 是函数的一条对称轴 C. 函数的最大值为，最小值为 D. 函数在上单调递减 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 若直线与平行，则与的距离为 D. 圆与圆有两条公切线 10. 在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 点在点的北偏西方向上 11. 如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，.若△是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 四面体的体积的取值范围是 D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设x∈R，向量＝(x,1)，＝(1，－2)，且⊥，则|＝________. 13.过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝10， F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________. 14.已知，若，，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（13分）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流． （1）应抽取小吃类商家多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示． ①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数； ②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 16.（15分）已知数列满足. （1）若,求数列的通项公式; （2）若数列成等差数列,求数列的前项和为. 17.(15分）如图，底面是边长为2且的菱形，且 （1）求证： （2）点在线段上，且三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍，求平面与平面所成角的余弦值. 18.(17分)已知椭圆过点，其离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若直线不经过点，且与椭圆相交于两点（、不重合），若直线与直线的斜率之积为.证明：直线过定点，并求出定点坐标. 19.（17分）已知函数. （1）求函数在上的单调递减区间； （2）当时，，求的最大值； （3）证明：方程在上有唯一实数解. 数学答案 1. 【答案】B 【解析】由题意得P＝{3,4,5}，∴集合P有8个子集故，故选：B 2. 【答案】C 【解析】　∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3，故选：C 3．【答案】B 【解析】的定义域为，   因为，则，所以为奇函数. 又，则也是奇函数. 由，可得图象如图所示：   所以函数在上单调递增.故选：B 4．【答案】A 【解析】由，解得：或，所以“”是“”的充分不必要条件；故选：A 5.【答案】D 【解析】由题意知，，， ，且，所以，即．故选：D 6.【答案】C 【解析】A，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差等于原数据的极差，A错误； B，不妨设，当时，若随机删去的成绩是，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，B错误； C，若，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，此时方差会变大，C正确 D，在按从小到大的顺序排列的个数据中， 此时原数据的分位数为第三个数和第四个数的平均数，即， 删去一个数据后的个数据，按从小到大的顺序排列，可得， 此时新数据的分位数为第三个数，即或，而，则， 显然新数据的分位数不等于原数据的分位数，D错误．故选：C 7.【答案】A 【解析】由题知是的正整数解， 故，取指数得， 同除得，，故， 即，根据是递增数列可以得到也是递增数列， 于是原不等式转化为. 由斐波那契数列可得，，，， 可以得到满足要求的的最大值为，故A正确.故选：A 8．【答案】B 【解析】由题可得 ， 故是的一个周期，故A错误； ， 故是函数的一条对称轴，故B正确； 令，则，即， 故， 当时，函数取得最大值； 当时，函数取得最小值，最小值为，故C错误； 函数是由和复合而成的，函数在上先增后减， 而在上单调递减， 故函数在上不单调，故D错误． 故选：B． 9.【答案】BCD 【解析】选项A：由题意可知直线斜率存在且不为，设直线方程为， 令解得，令解得， 因为该直线在轴上的截距是在轴上截距的倍， 所以，解得或， 所以直线方程为或，A错误； 选项B：直线的斜率为，方向向量为，当时，方向向量为，B正确； 选项C：因为直线与平行，所以， 由得， 则直线与直线之间的距离，C正确； 选项D：由题意圆圆心为，半径， 圆圆心为，半径， 因为，， 所以两圆相交，有且仅有两条公切线，D正确； 故选：BCD 10.【答案】AC 【解析】对于，因为，点位于点的南偏西的方向上， 所以，，， 又，，，， 在，中，，，所以，故A正确； 对于，的面积为，故B错误； 对于，在中，由正弦定理，得，解得，故C正确； 对于，过点作于点，易知，所以，故D错误， 故选：． 11.【答案】ACD 【解析】A选项，连接，等边三角形内切圆即为球的截面大圆，球心在线段上， 又等边三角形的边长为2，所以，， 则球的半径， 所以球的表面积，故A正确； B选项，圆锥的侧面积，故B错误； C选项，由题意可得四面体被平面截成体积相等的两部分， 设到平面的距离为， 球的半径，三角形为等边三角形，设其边长为， 则，故， 故三角形的面积为， 即，故C正确； D选项，依题意，动点的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为， ，故，是边，的中点，可得，， ， 则有，故， 又，故， 即，因此， 由均值不等式，得，即， 当且仅当时取“”，故D正确. 故选：ACD 12.【答案】 【解析】∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，∴x＝2，∴a＝(2,1)，∴a2＝5，b2＝5， ∴|a＋b|＝＝＝. 13.【答案】24 【解析】由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2. ∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10，∴|PF2|＋|QF2|－10＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝14. ∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24. 14.【答案】 【解析】由对恒成立， 所以对恒成立，即对恒成立， 设，则在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以对恒成立，即对恒成立， 设，则， 所以在上恒成立，故函数在上单调递增， 所以，所以， 15.【解析】（1）根据分层抽样知：应抽取小吃类家……4分 （2）①根据题意可得，解得， ……………………………6分 设75百分位数为x， 因为，， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元． ……………………………10分 ②， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280． ……………………………13分 16.【解析】(1)因为， 当时，， 两式相减得 ……………………………………………………3分 因为由中令，得 所以， ……………………………………………………5分 于是数列是首项为2，公比为2的等比数列， …………………………………6分 所以 ………………………………………………………………………………7分 (2)由成等差数列,得 又，所以 …………………………………………………………8分 于是数列的公差 ……………………………10分 是该数列的第项，所以 ……………………12分 所以 ……………………………15分 17.【解析】（1）因为所以 又故 又四边形为菱形，故 又故 又 因此 ………………………………………………………………6分 （2）取线段中点，连接，以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 因为，所以 ……………………………………………8分 则点 设平面的法向量为，则 可取 ……………………………………………………………10分 设平面的法向量为则 可取 ………………………………………………12分 故 ……………………………14分 所以平面与平面所成角的余弦值为 ……………… …………………15分 18.【解析】（1）因为椭圆过点，所以， 又因为，所以 所以椭圆的方程为. …………………………………………………………4分 （2）当直线斜率不存在时，不符合题意； 设直线的方程为， 联立， 由韦达定理得：，， ……………………………………6分 因为直线与直线的斜率之积为， 所以， ……………………………………………………………8分 即， ………………………………………11分 所以， 整理得， 故 …………………………………15分 即直线的方程为（舍去）或， 故过定点. ……………………………………………………17分 19.【解析】（1）因为，所以,， 则， …………………………………1分 当时，即时，，单调递增； 当时，即时，，单调递减； 当，即时，，单调递增. 故所求单调递减区间为. …………………………………4分 （2）因为，所以，故由得. 设，则. ①当时，则，所以在上单调递增. 从而，解得，此时，. …………………………………5分 ②当时，在上恒成立，单调递增， 则需，即，此时； …………………………………6分 当时，则时，，单调递减； 时，，单调递增. 所以，变形可得. 此时，. 设，，则. 当时，，为增函数； 当时，，为减函数. 所以，即，当且仅当，时取等号. 综合可知的最大值为e. …………………………………9分 ③当时，在上单调递减. 从而，解得. 此时. 综上，的最大值为e. …………………………………10分 （3）证明：设， 则， 设，则， ……………12分 设，则， 而的导数， 所以在上单调递减. 因为，， 所以存在唯一，使得. 当时、，单调递增，当时，，单调递减. 又因为,,. 所以存在唯一，使得. 当时，即单调递增，当时，单调递减， 又因为，，， 所以存在唯一，使得. 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又因为，，， 所以存在唯一，使得， 即方程在上有唯一实数解 .…………………………………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $