第2章 实数 期末复习 题2025—2026学年苏科版八年级数学上册

2025—2026学年苏科版八年级数学上册《实数》期末复习答案 一．选择题（共8小题） 1．在3.14、、、、这六个数中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：、、是无理数， 故选：． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 2．下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根和立方根的概念计算即可求解． 【解答】解：、，故选项错误； 、，故选项正确； 、，故选项错误； 、，故选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了算术平方根和立方根的概念．算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0． 3．下列说法正确的是（　　） A．只有正数才有平方根 B．27的立方根是 C．是17的一个平方根 D．的算术平方根是4 【分析】根据立方根，平方根，算术平方根的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：、只有正数和0才有平方根，故不符合题意； 、27的立方根是3，故不符合题意； 、是17的一个平方根，故符合题意； 、的算术平方根是2，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．估计无理数的值是在（　　） A．2.5到3之间 B．3到3.5之间 C．3.5到4之间 D．4到4.5之间 【分析】确定10在哪两个数的平方之间即可． 【解答】解：， ， 在3到3.5之间， 故选：． 【点评】此题考查估算无理数的大小，用“夹逼法”是关键． 5．设．其中，，，是正实数，且满足．则（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据已知条件确定出、、、的取值范围，根据不等式的基本性质得出，再比较出有，同理即可得出，，，最后把四式相加即可得出结论． 【解答】解：由题意可得：， ，， ， ， ， ， ， 同理可得：，，， ． 故选：． 【点评】本题考查了求一个数的立方根，不等式的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 6．如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【分析】因为面积为7的正方形边长为，所以，而，得，点的坐标为1，故点的坐标为． 【解答】解：由条件可知， ， ， 点表示的数为1， 点表示的数为， 故选：． 【点评】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出． 7．、、15三个数的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【分析】把第一个数根号外的数移到根号内，第3个数用根式表示出来，然后比较被开方数，被开方数大的数，它本身就大． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】考查实数的比较的知识；比较被开方数．是常用的比较实数大小的方法． 8．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是 A． B． C．2 D．3 【分析】根据所给出的程序列出代数式，由实数混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：由所给的程序可知，当输入64时，， 是有理数， 取其立方根可得到，， 是有理数， 取其算术平方根可得到， 是无理数， ． 故选：． 【点评】本题考查的是实数的运算，熟知有理数与无理数的概念是解答此题的关键． 二．填空题（共9小题） 9．2.40万精确到　百　位． 【分析】根据近似数的精确度得到2.40万精确到0.01万位． 【解答】解：2.40万精确到0.01万位，即百位． 故答案为：百． 【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数称为近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数字． 10．若的整数部分是，小数部分是，则　1　． 【分析】因为，由此得到的整数部分，再进一步表示出其小数部分． 【解答】解：因为， 所以，． 故． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力之一，本题要求我们能够正确估算出一个无理数的大小． 11．一个数的算术平方根是它本身，这个数是　0、1　 ． 【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，那么一个数的算术平方根是它本身，可以知道这个数是0和1． 【解答】解：根据算术平方根的定义，这个数是0和1． 故答案为：0、1． 【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 12．比较大小： 　　（选填“”“ ”或“” ． 【分析】先估算的大小，再根据立方根的定义化简，从而得出答案即可． 【解答】解：， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． 13．若，则　　（填“”、“ ” 【分析】由的不等式变形得出范围，即可做出判断． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键． 14．小潘同学估算大小的计算过程如表所示，用这种方法估算的大小，则的大小约为　4.33　 ．（精确到 因为， 所以的整数部分是3， 因为，， 所以的小数部分约为， 所以． 【分析】仿照小潘同学估算的方法，先确定的整数部分，再通过计算与平方数的差值估算小数部分，最后求和并精确到0.01，即可得解． 【解答】解：的整数部分是4． 的小数部分约为， 所以， 故答案为：4.33． 【点评】本题考查了无理数的估算，理解题干中无理数的估算方法是解题关键． 15．已知，，，，若为整数，，则的值为　45　 ． 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【解答】解：，，而， ， 又为整数，， ． 故答案为：45． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 16．规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，，现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为　4　 ． 【分析】根据算术平方根的定义以及的定义进行计算即可． 【解答】解：因为 所以， 故答案为：4． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及的定义是正确解答的关键． 17．新规定：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“完美组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如4，9，16这三个数，，，，其结果都是整数，所以4，9，16三个数称为“完美组合”，其中最小算术平方根是6，最大算术平方根是12．若2，8，18三个数是“完美组合”，则其中最小算术平方根与最大算术平方根的差是　　 ． 【分析】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．先求出最小算术平方根与最大算术平方根，然后求差即可． 【解答】解：，，， 最小算术平方根是4，最大算术平方根是12， 最小算术平方根与最大算术平方根的差是． 故答案为：． 【点评】本题考查了新定义，以及算术平方根，理解题意是解题的关键． 三．解答题（共12小题） 18．求下列各式中的值． （1）； （2）． 【分析】（1）根据平方根，即可解答； （3）根据立方根，即可解答． 【解答】解：（1） （2） ． 【点评】本题考查了平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义． 19．把下列各数填在相应的大括号里： 1，，8.9，，，，28，，，，（相邻两个3之间依次多一个，． 正整数集合：　1，28，　； 负整数集合：　　； 正分数集合：　　； 负分数集合：　　； 无理数集合：　　． 【分析】实数的分类：实数，依此即可求解． 【解答】解：正整数集合： 1，28，； 负整数集合：，，； 正分数集合： 8.9，； 负分数集合：，； 无理数集合：，（相邻两个3之间依次多一个． 故答案为： 1，28，；，，； 8.9，；，；，（相邻两个3之间依次多一个． 【点评】本题考查的是实数的分类，熟知整数、分数及无理数的定义是解答此题的关键． 20．已知，的算术平方根为4，的立方根为1． （1）分别求，，的值； （2）求的算术平方根． 【分析】（1）分别根据立方根及算术平方根的定义，估算无理数大小的方法求出，，的值即可； （2）先求出的值，再由算术平方根的定义即可解答． 【解答】解：（1）， ， 的算术平方根为4， ， ， 的立方根为1， ； （2）当，，时， ； 算术平方根为：； 当，，时， ； 算术平方根为：； 综上，的算术平方根为：或． 【点评】该题主要考查了立方根及算术平方根的定义，解决本题的关键是知道正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，算术平方根是非负数． 21．请根据如图所示的对话内容回答下列问题． （1）求该魔方的棱长； （2）求该长方体纸盒的长． 【分析】（1）利用立方根定义求出棱长即可； （2）利用平方根定义求出长即可． 【解答】解：（1）设魔方的棱长为， 由题意可得， 解得， 答：该魔方的棱长为； （2）设该长方体纸盒的长为， 由题意可得， 解得， 答：该长方体纸盒的长为． 【点评】此题考查了平方根，立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 22．已知点、、、在数轴上，其中、分别表示数和．点向左平移4个单位长度后与点重合． （1）求线段的长； （2）点表示的数； （3）对于数轴上三点，点、点关于点对称，求点对应的实数． 【分析】（1）通过数轴上两点距离公式计算长度； （2）根据平移规律列方程求点的数； （3）通过设未知数，利用线段长相等列方程求解表示点的数． 【解答】解：（1）点表示，点表示， 线段的长为； （2）点向左平移4个单位长度后与点重合，即数减小4与相等， 点表示的数为； （3）设点对应的实数为， 点、点关于点对称， ，即， 解得，即点对应的实数为1． 【点评】本题考查实数与数轴的知识，包括：数轴上两点距离为两点表示的数之差（右减左）；点向左平移时数减对应单位，向右平移时坐标加对应单位；两点关于某点对称时，该点到两点的距离相等． 23．比较与的大小；与的大小；与的大小；猜想与的大小关系，并证明你的结论． 【分析】运用倒数比较法，求出倒数比较大小，再根据倒数大的反而小比较原数的大小． 【解答】解：，， ， ，， ， ，， ， ， 猜想：． 证明：，， ， ． 【点评】本题主要考查了实数大小比较，解题的关键是运用倒数比较法，倒数大的反而小． 24．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． （1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，分别计算即可． 【解答】解：（1），，这三个数是“完美组合数”，理由如下： ，，， ，，这三个数是“完美组合数”； （2）， 分两种情况讨论： ①当时，， ； ②当时，， （不符合题意，舍）； 综上，的值是． 【点评】本题考查算术平方根，理解“完美组合数”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个负数乘积的算术平方根”是解决问题的关键． 25．（1）已知，则　4　 ，　　 ； （2）观察下表： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 60 根据你发现的规律解答： ①表格中　　 ； ②已知， 估算：　　 ； （ⅱ）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是，求这个正方体的棱长； ③若，则　　 ，　　 （用含的代数式表示）． 【分析】（1）利用立方根的定义解答； （2）利用立方根的定义解答． 【解答】解：（1）， ，，解得或， 故答案为：4；或； （2）①； ②估算：； （ⅱ）， 这个正方体的棱长为； ③若，则，（用含的代数式表示）． 故答案为：①6；②；（ⅱ）；③，． 【点评】本题考查了立方根，解题的关键是掌握立方根的定义． 26．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是　两　 位数； ②它的立方根的个位数字是　　 ； ③19683的立方根是　　 ． （2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【分析】（1）利用题干中的方法分步解答即可； （2）利用题干中的方法分步解答即可． 【解答】解：（1）①， ， ， 能确定19683的立方根是个两位数． ②19683的个位数是3， ，能确定59319的立方根的个位数是7． ③若划去19683后面的三位683得到数19， 而， 则， ， 由此确定19683的立方根的十位数是2， 因此19683的立方根是27． 故答案为：①两；②7；③27； （2）①， ， ， 能确定110592的立方根是个两位数． ②19683的个位数是2， ，能确定110592的立方根的个位数是8． ③若划去110592后面的三位592得到数110， 而， 则， ， 由此确定110592的立方根的十位数是4， 因此110592的立方根是48． 【点评】本题主要考查了实数的运算，立方根的意义，本题是阅读型，熟练掌握题干中的方法和立方根的意义是解题的关键． 27．课堂上，数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小： （1）和； （2）和． 【分析】（1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【解答】解：（1） ． ， ， ； （2） ． ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法是解题的关键． 28．任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中表示不超过的最大整数，．例如：，其中；又如，其中，． 回答下列问题： （1） 　3　， 　　； （2） 　　； （3）若，，则所有可能的值为 　　． 【分析】（1）先估算的大小，然后根据已知条件中的新定义解答即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的基本性质求出的大小，然后根据已知条件中的新定义解答即可； （3）根据已知条件的定义，求出，的取值范围，再利用不等式的性质求出的范围，进行解答即可． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， 故答案为：； （3），， ，， ， 或7， 故答案为：6或7． 【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是理解已知条件中新定义的含义． 29．阅读材料，完成下列任务： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数） ， ，即 的整数部分为2． 的小数部分为． 面积为107的正方形的边长是，且，设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得，当较小时，忽略，得． 解得． 任务： （1）利用材料一中的方法，的小数部分是 　　 ； （2）是的小数部分，是的小数部分，则的值是多少？ （3）利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 【分析】（1）根据材料一中的解题过程进行求解即可； （2）先估算出的范围，再求出、的值，最后 代入值计算即可； （3）根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【解答】解：（1）， ，即 ， 的整数部分是5， 的小数部分是 ； 故答案为：； （2）， ，即 ， 的整数部分是3， 的整数部分是1， 的整数部分是8， 的小数部分是 ，即； 的小数部分是 ，即 ， ； （3）面积为123的正方形的边长是 ，且 ， 设 ，其中． 画出边长为 的正方形，如图： 根据图中面积得：，当较小时，忽略，得， 解得：， ． 【点评】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/25 10:45:08；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 第1页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年苏科版八年级数学上册《实数》期末复习 一．选择题（共8小题） 1．在3.14、、、、这六个数中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．只有正数才有平方根 B．27的立方根是 C．是17的一个平方根 D．的算术平方根是4 4．估计无理数的值是在（　　） A．2.5到3之间 B．3到3.5之间 C．3.5到4之间 D．4到4.5之间 5．设．其中，，，是正实数，且满足．则（　　） A． B． C． D． 6．如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为（　　） A． B． C． D． 7．、、15三个数的大小关系是（　　） A． B． C． D． 8．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是 A． B． C．2 D．3 二．填空题（共9小题） 9．2.40万精确到　 　位． 10．若的整数部分是，小数部分是，则　　． 11．一个数的算术平方根是它本身，这个数是　　 ． 12．比较大小： 　　（选填“”“ ”或“” ． 13．若，则　 　（填“”、“ ” 14．小潘同学估算大小的计算过程如表所示，用这种方法估算的大小，则的大小约为　　 ．（精确到 因为， 所以的整数部分是3， 因为，， 所以的小数部分约为， 所以． 15．已知，，，，若为整数，，则的值为　　 ． 16．规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，，现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为　　 ． 17．新规定：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“完美组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如4，9，16这三个数，，，，其结果都是整数，所以4，9，16三个数称为“完美组合”，其中最小算术平方根是6，最大算术平方根是12．若2，8，18三个数是“完美组合”，则其中最小算术平方根与最大算术平方根的差是　　 ． 三．解答题（共12小题） 18．求下列各式中的值． （1）； （2）． 19．把下列各数填在相应的大括号里： 1，，8.9，，，，28，，，，（相邻两个3之间依次多一个，． 正整数集合：　 　； 负整数集合：　 　； 正分数集合：　 　； 负分数集合：　 　； 无理数集合：　 　． 20．已知，的算术平方根为4，的立方根为1． （1）分别求，，的值； （2）求的算术平方根． 21．请根据如图所示的对话内容回答下列问题． （1）求该魔方的棱长； （2）求该长方体纸盒的长． 22．已知点、、、在数轴上，其中、分别表示数和．点向左平移4个单位长度后与点重合． （1）求线段的长； （2）点表示的数； （3）对于数轴上三点，点、点关于点对称，求点对应的实数． 23．比较与的大小；与的大小；与的大小；猜想与的大小关系，并证明你的结论． 24．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． （1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 25．（1）已知，则　　 ，　　 ； （2）观察下表： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 60 根据你发现的规律解答： ①表格中　　 ； ②已知， 估算：　　 ； （ⅱ）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是，求这个正方体的棱长； ③若，则　　 ，　　 （用含的代数式表示）． 26．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是　 　 位数； ②它的立方根的个位数字是　 　 ； ③19683的立方根是　 　 ． （2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 27．课堂上，数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小： （1）和； （2）和． 28．任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中表示不超过的最大整数，．例如：，其中；又如，其中，． 回答下列问题： （1） 　 　， 　 　； （2） 　 　； （3）若，，则所有可能的值为 　 　． 29．阅读材料，完成下列任务： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数） ， ，即 的整数部分为2． 的小数部分为． 面积为107的正方形的边长是，且，设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得，当较小时，忽略，得． 解得． 任务： （1）利用材料一中的方法，的小数部分是 　　 ； （2）是的小数部分，是的小数部分，则的值是多少？ （3）利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 第5页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $