专题02 实数的初步认识（期末复习知识清单，4知识&9题型&3易错&3方法清单）八年级数学上学期新教材苏科版

专题02实数的初步认识（4知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】 平方根 1. 平方根的概念 如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）。例如，因为3²=9，(-3)²=9，所以3和-3是9的平方根。 2. 平方根的表示方法 一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根用符号“√a”表示，读作“根号a”，负的平方根用符号“-√a”表示，读作“负根号a”。因此，正数a的平方根可以合写为“±√a”。0的平方根是0，记作√0=0。 3. 平方根的性质 · 正数有两个平方根，它们互为相反数。 · 0的平方根是0本身。 · 负数没有平方根，因为任何实数的平方都不可能是负数。 4. 算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。算术平方根用符号“√a”表示，所以对于非负数a，√a≥0。例如，9的算术平方根是3，即√9=3。 5. 开平方运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方。开平方运算与平方运算互为逆运算。可以利用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 【清单02】立方根 1. 立方根的概念 如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫做a的立方根（也叫做三次方根）。例如，因为2³=8，所以2是8的立方根；因为(-2)³=-8，所以-2是-8的立方根。 2. 立方根的表示方法 数a的立方根用符号“∛a”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数（根指数3不能省略）。 3. 立方根的性质 · 正数的立方根是正数。例如，8的立方根是2，即∛8=2。 · 负数的立方根是负数。例如，-8的立方根是-2，即∛(-8)=-2。 · 0的立方根是0，即∛0=0。 · 每个数都有且只有一个立方根。 4. 开立方运算 求一个数a的立方根的运算叫做开立方。开立方运算与立方运算互为逆运算。可以利用立方运算来检验开立方的结果是否正确。 【清单03】实数 1. 无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数。例如，π（圆周率，约等于3.1415926…），√2（约等于1.41421356…），√3（约等于1.73205080…）等都是无理数。 2. 实数的概念及分类 · 概念：有理数和无理数统称为实数。 · 分类： · 按定义分类：实数分为有理数和无理数。有理数是整数和分数的统称，也可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。 · 按大小分类：实数分为正实数、0和负实数。正实数包括正有理数和正无理数，负实数包括负有理数和负无理数。 3. 实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点一一对应。 4. 实数的相反数、绝对值和倒数 · 相反数：实数a的相反数是-a，0的相反数是0。例如，√2的相反数是-√2，-π的相反数是π。 · 绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即对于实数a，|a|=a（a>0），|a|=0（a=0），|a|=-a（a<0）。例如，|√3|=√3，|-√5|=√5，|0|=0。 · 倒数：乘积为1的两个实数互为倒数。非零实数a的倒数是1/a，0没有倒数。例如，2的倒数是1/2，√2的倒数是1/√2（化简后为√2/2）。 5. 实数的大小比较 · 正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数。 · 两个正实数比较大小：绝对值大的数大；两个负实数比较大小：绝对值大的数反而小。 · 对于含有根号的数，可以通过比较它们的平方（或立方）的大小来间接比较原数的大小。例如，比较√5和2的大小，因为(√5)²=5，2²=4，5>4，所以√5>2。 6. 实数的运算 实数的运算顺序和运算法则与有理数的运算顺序和运算法则基本相同，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。在进行实数运算时，有理数的运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律）同样适用。 【清单04】近似值 1. 准确数与近似数的概念 · 准确数：与实际完全符合的数叫做准确数。例如，教室里有40名学生，这里的“40”就是准确数。 · 近似数：与实际接近但存在一定误差的数叫做近似数。例如，测量一本书的长度约为21.5cm，这里的“21.5”就是近似数。 2. 近似数的精确度 · 精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度来表示。 · 表示方法： · 精确到哪一位：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。例如，近似数1.20精确到百分位（或精确到0.01），近似数1.2精确到十分位（或精确到0.1）。 · 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。例如，近似数0.0203有三个有效数字：2、0、3；近似数1.80有三个有效数字：1、8、0。 3. 近似数的取法（四舍五入法） 通常用四舍五入法取近似数。具体做法是：根据要求确定精确到哪一位，看这一位的下一位数字，如果下一位数字小于5，则把它和后面的所有数字舍去；如果下一位数字大于或等于5，则向前一位进1，再把它和后面的所有数字舍去。例如，用四舍五入法将3.14159取近似数：精确到十分位是3.1，精确到百分位是3.14，精确到千分位是3.142。 4. 根据实际问题取近似数 在解决实际问题时，有时不能机械地使用四舍五入法，而要根据实际情况采用“进一法”或“去尾法”取近似数。 · 进一法：不管尾数的最高位数字是几，都向前一位进1。例如，用一辆能装3吨货物的卡车运10吨货物，需要运几次？10÷3≈3.333，此时需要用进一法取近似数，结果为4次。 · 去尾法：不管尾数的最高位数字是几，都直接把尾数舍去。例如，用2米布做一件衣服，现有5米布，可以做几件衣服？5÷2=2.5，此时需要用去尾法取近似数，结果为2件。 【题型一】平方根与立方根的概念 【例1】144的算术平方根是（     ） A．12 B． C． D． 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B． C．的立方根是 D．0的平方根是0 【变式1-2】16的平方根是 ；，则 ． 【题型二】近似值 【例2】按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（　　） A．（精确到十分位） B．（精确到个位） C．（精确到） D．（精确到） 【变式2-1】下列近似数的叙述不正确的是（    ） A．0.013精确到千分位 B．1008精确到个位 C．2.7万精确到万位 D．精确到千位 【变式2-2】用四舍五入将数精确到十分位为 ． 【题型三】实数的分类与大小 【例3】在，，，，，中，无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-1】在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【题型四】算术平方根的非负性 【例4】已知，则的算术平方根是（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式4-1】已知，则的值是（    ） A．6 B．4 C． D． 【变式4-2】若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为 ． 【题型五】估算算术平方根 【例5】估算 在哪两个整数之间（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定 【变式5-1】估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3间 D．3和4之间 【变式5-2】观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在 之间． 【题型六】实数与数轴化简 【例6】已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简 ． 【题型七】利用平方根与立方根解方程 【例7】求下列各式中的x． (1) (2) 【变式7-1】求下列各式中的值： (1)； (2)． 【变式7-2】求下列各式中x值： (1) (2) 【题型八】实数的实际应用 【例8】动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【变式8-1】某喷水池中央的顶端放置了一个大理石球，已知球的质量公式为．其中，表示球的质量，表示球的半径，为大理石的密度．如果球的质量m为，大理石的密度为，那么这个大理石球的半径r是多少？（取，结果精确到） 【变式8-2】魔方，又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的．魔方与中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图1是一个4阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小立方体组成，体积为． (1)求组成这个魔方的小立方体的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形，求出该正方形的面积和边长． (3)把正方形放在数轴上，如图2，使得点与1重合，那么点在数轴上表示的数是___________． 【题型九】实数的混合运算 【例9】计算：． 【变式9-1】计算： (1)； (2)． 【变式9-2】计算： 【题型一】对实数概念理解不清 【例1】下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【变式1-2】已知m，n是有理数，且，的值为 ． 【题型二】实数的性质与运算错误 【例2】若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 【变式2-1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】计算： ． 【题型三】实数中的程序流程图顺序错误 【例3】如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 【变式3-1】如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（  ） A． B． C．2 D． 【变式3-2】小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是时，输出的值是 ． （2）分析发现，当实数取 时，该程序无法输出值．（写出所有的情况） 【题型一】实数中的规律问题 方法技巧 1. 观察数字特征 从绝对值、符号、整数部分与小数部分分离等角度分析已知数据，寻找重复出现的模式或递变关系。例如： · 若数列含根号，先化简根号内的数（如，），再观察化简后数字的规律； · 符号规律常表现为“正、负交替”（用或表示）。 2. 递推关系归纳 通过计算相邻两项的差、商、和、积，确定数据变化的递推公式。例如： · 若相邻两项差为常数（如(3,\ 5,\ 7,\ 9,\ ...)），可能为等差数列； · 若相邻两项商为常数（如(2,\ 4,\ 8,\ 16,\ ...)），可能为等比数列。 3. 数形结合法 对与图形（如点的坐标、图形面积、线段长度）结合的规律题，需将图形变化转化为数字序列，再用代数方法分析。例如：坐标系中依次标出点(1,1)、(2,4)、(3,9)、(4,16)，可发现纵坐标为横坐标的 · 在坐标系中，点的横、纵坐标可能分别满足独立的规律，需分开探究。实数中的整数部分与小数部分问题 【例1】观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【变式1—1】观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 【变式1—2】阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【题型二】实数中的整数部分与小数部分问题 方法技巧 一、核心概念与关系 1. 整数部分定义：对于任意实数( x )，不大于( x )的最大整数叫做( x )的整数部分，记作( [x] ) 2. 小数部分定义：实数( x )减去其整数部分的差叫做( x )的小数部分，记作( {x} ) 3. 基本关系公式：( x = [x] + {x} )，其中， 二、无理数整数部分的确定方法 1. 夹逼定位法 操作步骤： ① 寻找两个连续整数( n )和( n+1 )，使（( a )为非完全平方数） ② 得出整数部分 ③ 小数部分 示例：求的整数与小数部分 ∵ ∴，整数部分 小数部分. 复合无理数处理策略 类型1：型（( b )为整数） 整数部分，小数部分 类型2：型（( c )为整数，） 先求的整数部分( n )，则原数整数部分 = ( c - n - 1 )，小数部分 示例：求的整数与小数部分 ∵，∴ ∴，整数部分 = 2 小数部分 三、含小数部分的代数式求值 1. 已知小数部分求原数 方法：设小数部分( {x} = x - [x] = m )，则( x = [x] + m )，通过列方程求解 示例：已知( x )的小数部分是，求( x ) ∵，∴ ∴ 2. 整数部分与小数部分的综合运算 解题步骤： ① 分别确定各无理数的整数部分和小数部分 ② 代入原式进行代数运算 ③ 化简结果，注意二次根式的运算规则 示例：已知，求的值 ∵，∴ ∴ ( [x] = 0 )， 原式 = 四、经典题型与解题模板 1. 双变量问题 问题模型：已知，，求( x + y )或( xy )的整数部分 解题关键：先计算( x + y )或( xy )的精确值，再确定其整数部分 2. 不等式估值问题 问题模型：确定的整数部分（( a,b )为非完全平方数） 解题步骤： ① 分别估值和的范围 ② 两不等式相加得和的范围 ③ 若范围跨两个整数，需进一步精确计算中间值判断 示例：估计的整数部分 ∵， ∴ ∴ 整数部分为7 【例2】我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 【变式2—1】我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分______； (2)a为的整数部分，b为的小数部分，求解的值． (3)已知，其中x是正整数，，求解的值． 【变式2—2】【阅读理解】同学们，我们来学习近似计算算术平方根的方法． 材料一：求无理数的整数部分和小数部分． 解：因为，所以，即，故的整数部分为10，小数部分为． 材料二：求无理数的近似值（保留两位小数）． 解：由正方形的面积为107，可得边长是． 因为，所以设，其中． 再将该正方形分割成两个正方形和两个长方形（如图1），根据图中的面积，得，当较小时，忽略的值，得，解得，所以． 【尝试探究】 (1)利用“材料一”中的方法，已知x是的整数部分，y是的小数部分，求代数式的值． (2)利用“材料二”中的方法，求的近似值（保留两位小数，将下面横线部分补充完整）． 解：由正方形的面积为 ，可得边长是． 因为 ，所以设 ，其中． 再将该正方形分割成两个正方形和两个长方形（如图2），根据图中的面积，得 ． 当较小时，忽略的值，得 ，解得 ，所以 ． 【题型三】实数中的新定义问题 方法技巧 一、深刻理解新定义的内涵与外延 1. 逐字逐句研读定义：拿到新定义问题后，首要任务是仔细阅读题目中给出的每一个字、每一句话，准确把握定义的核心要素。例如，若定义“对于任意两个实数a，b，规定a※b = a² - b + 1”，需明确“※”是一种新的运算符号，其运算规则是第一个数的平方减去第二个数再加上1。要特别注意定义中是否有特殊的条件限制，如“当a > b时，a△b = a - b；当a ≤ b时，a△b = b - a”，这里的条件直接决定了运算方式的选择。 2. 分析定义的构成要素：将新定义分解为若干个基本的数学要素，看其是涉及运算、关系，还是某种特定的数或图形的性质。对于运算类新定义，要明确参与运算的数或式、运算的步骤和顺序；对于关系类新定义，要理清元素之间满足的条件；对于特定数或图形的定义，要抓住其区别于其他数或图形的本质特征。 3. 通过举例验证理解：如果题目中给出了新定义的示例，一定要认真分析示例，通过具体的例子来验证自己对定义的理解是否正确。若没有示例，可以尝试自己构造简单的例子代入定义进行计算或判断，加深对定义的理解。例如，对于上述“※”运算，可计算2※3 = 2² - 3 + 1 = 4 - 3 + 1 = 2，通过这样的简单计算，能更直观地理解运算过程。 二、将新定义问题转化为熟悉的数学模型 1. 联想已学知识：新定义问题往往是在已学知识的基础上进行创新和拓展的。在理解新定义后，要积极联想与之相关的实数范围内的概念、运算、性质和方法，如相反数、绝对值、平方根、立方根、实数的运算律、大小比较方法等。例如，若新定义“数对（m，n）的‘关联数’为|m| + √n”，这里的“关联数”就是由绝对值和算术平方根这两个已学概念组合而成的。 2. 构建数学表达式或方程：根据新定义的规则，将题目中涉及的新定义关系用数学表达式或方程表示出来。对于需要计算的问题，直接按照新定义的运算规则列出算式；对于需要判断或求解的问题，可根据定义中的条件列出相应的方程或不等式。例如，若定义“若实数x满足[x]表示不大于x的最大整数，如[3.2] = 3，[-1.5] = -2”，当题目问“[√5]的值是多少”时，因为√5 ≈ 2.236，不大于2.236的最大整数是2，所以可直接得出结果；若问“若[x] = 5，求x的取值范围”，则可根据定义列出不等式5 ≤ x < 6。 3. 转化为常规问题求解：将用新定义表示的数学表达式或方程，通过已学的数学知识和方法进行化简、变形、计算或推理，转化为我们熟悉的常规数学问题来解决。例如，对于新定义运算“ab = (a + b)(a - b)”，可先利用平方差公式将其化简为ab = a² - b²，这样就将新运算转化为熟悉的平方差运算，再进行后续的计算或应用就会变得简单。 三、运用数学思想方法解决新定义问题 1. 分类讨论思想：当新定义中涉及到条件判断，或者问题中存在多种可能情况时，需要运用分类讨论思想。例如，新定义“当a > 0时，a◎b = a + b；当a ≤ 0时，a◎b = a - b”，在计算a◎b的值时，就需要先判断a的正负性，再根据不同情况进行计算。在实数范围内，还可能涉及到对平方根的双重性、绝对值内代数式的正负性等进行分类讨论。 2. 数形结合思想：有些新定义问题可以与数轴结合起来，利用数轴的直观性帮助分析和解决问题。例如，定义“在数轴上，实数a，b对应的点之间的‘距离’为|a - b|”，这本身就是绝对值的几何意义。若再定义“点P到点A、点B的‘平均距离’为/2”，则可在数轴上标出点A、B、P的位置，通过观察数轴上点的位置关系来分析“平均距离”的变化情况或求解相关问题。 3. 方程思想：当新定义问题中出现未知量，且根据新定义可以建立起关于未知量的等量关系时，可运用方程思想，设未知数，列方程求解。例如，定义“对于实数x，y，若x△y = x² - 2y = 0，则称x，y为‘和谐数对’”，若已知x = 2，求y的值，可列出方程2² - 2y = 0，即4 - 2y = 0，解得y = 2。 4. 从特殊到一般的思想：对于一些较为复杂的新定义问题，可以先从特殊情况入手，通过计算特殊值、分析特殊例子，找出其中蕴含的规律，再推广到一般情况。例如，新定义“对任意实数a，b，定义a⊕b = a³ + b³”，可先计算1⊕2 = 1³ + 2³ = 1 + 8 = 9，2⊕1 = 8 + 1 = 9，发现1⊕2 = 2⊕1，再尝试-1⊕3 = (-1)³ + 3³ = -1 + 27 = 26，3⊕(-1) = 27 + (-1) = 26，也相等，从而猜测a⊕b = b⊕a，即该运算可能满足交换律，再通过整式运算a³ + b³ = b³ + a³进行验证，确认其满足交换律。 四、严格按照新定义规则进行推理和计算 1. 准确代入：在进行计算或推理时，要严格按照新定义中规定的条件、运算顺序和规则进行，确保代入的数值或代数式准确无误。特别是对于含有多个字母或复杂表达式的新定义问题，要仔细核对每个字母所代表的量，避免因代入错误而导致结果错误。 2. 注意运算顺序和符号：实数的运算顺序（先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的）在新定义运算中同样适用，除非新定义中明确规定了不同的运算顺序。同时，要特别注意运算过程中的符号问题，如负数的平方、负数的立方、绝对值内结果的正负等，避免因符号错误而影响最终结果。例如，计算(-3)※2，若定义a※b = a² - b + 1，则(-3)※2 = (-3)² - 2 + 1 = 9 - 2 + 1 = 8，这里要注意(-3)²的结果是9，而不是-9。 3. 推理过程严密：对于需要进行逻辑推理的新定义问题，要做到每一步推理都有依据，依据就是新定义的规则和已学的实数相关知识。推理过程要清晰、有条理，避免跳跃性思维，确保结论的正确性。例如，若定义“若实数m满足m² = m + 1，则称m为‘黄金数’”，要证明“黄金数”m的倒数为m - 1，可由m² = m + 1，两边同时除以m（m ≠ 0，因为若m = 0，0 = 0 + 1不成立），得到m = 1 + 1/m，移项可得1/m = m - 1，从而得证。 五、注重检验与反思，确保结果的正确性 1. 代入检验：在完成新定义问题的解答后，要将得到的结果代入新定义中进行检验，看是否符合新定义的要求。特别是对于计算类问题，通过代入检验可以及时发现计算过程中可能出现的错误。例如，若根据新定义计算出a※b = 5，可将a、b的值代入新定义的运算式中重新计算一遍，验证结果是否确实为5。 2. 反思解题过程：回顾整个解题过程，检查对新定义的理解是否准确，转化是否恰当，数学模型是否正确，运算和推理是否无误。思考是否存在其他解法，或者是否有更简洁的方法，通过反思总结经验，提高解决新定义问题的能力。同时，要注意问题的细节，如是否有隐含条件、是否需要考虑特殊值等，确保解答的完整性和准确性。例如，在涉及平方根的新定义问题中，要注意被开方数必须是非负数这一隐含条件。 【例3】新定义：若两个不相等的正整数a和b（）满足它们的平方差等于这两个数和的平方除以k（k为非零常数），则称数对关于k构成一个“智谋数对”，记作，用式子表示为：． 例如：数对关于3构成一个“智谋数对” ∵， ∴ ∴成立 (1)下列数对是关于3构成“智谋数对”的是______． ①    ②    ③ (2)假设a和b（）是关于k的“智谋数对” ①用含a，b的代数式表示k； ②当时，求出智谋数对中a与b的数量关系，并写出满足条件的两个智谋数对． 【变式3—1】定义：若一个多项式的各项系数之和为9的整数倍，则称这个多项式为“顶好多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“顶好和”．例如：多项式的各项系数和为，所以是“顶好多项式”，它的“顶好和”为27．请根据这个定义解决下列问题： (1)在下列多项式中，属于“顶好多项式”的是________．（只填序号） ①；②；③． (2)若关于x的“顶好多项式”的“顶好和”为9，且a，b都是正整数，求的值． (3)若多项式是关于x，y的“顶好多项式”，且m，n都是整数，则多项式也是关于x，y的“顶好多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【变式3—2】对于任何有理数，我们用表示不超过的最大整数，如：，意思是不超过的最大整数是1．现对进行如下操作：取的五分之一，再取不超过它的最大整数，重复进行操作．进行次操作之后开始变为固定值，其操作过程如下：． (1)计算：________；________． (2)已知整数68，先取其四分之一，再取不超过它的最大整数，如此操作重复多少次后开始变为固定值？其固定值是多少？写出你的操作过程． (3)已知整数进行次“取其三分之一，再取不超过它的最大整数”的操作后开始变为固定值，且能被整除，写出所有符合条件的的值． 学科网（北京）股份有限公2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02实数的初步认识（4知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】 平方根 1. 平方根的概念 如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）。例如，因为3²=9，(-3)²=9，所以3和-3是9的平方根。 2. 平方根的表示方法 一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根用符号“√a”表示，读作“根号a”，负的平方根用符号“-√a”表示，读作“负根号a”。因此，正数a的平方根可以合写为“±√a”。0的平方根是0，记作√0=0。 3. 平方根的性质 · 正数有两个平方根，它们互为相反数。 · 0的平方根是0本身。 · 负数没有平方根，因为任何实数的平方都不可能是负数。 4. 算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。算术平方根用符号“√a”表示，所以对于非负数a，√a≥0。例如，9的算术平方根是3，即√9=3。 5. 开平方运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方。开平方运算与平方运算互为逆运算。可以利用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 【清单02】立方根 1. 立方根的概念 如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫做a的立方根（也叫做三次方根）。例如，因为2³=8，所以2是8的立方根；因为(-2)³=-8，所以-2是-8的立方根。 2. 立方根的表示方法 数a的立方根用符号“∛a”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数（根指数3不能省略）。 3. 立方根的性质 · 正数的立方根是正数。例如，8的立方根是2，即∛8=2。 · 负数的立方根是负数。例如，-8的立方根是-2，即∛(-8)=-2。 · 0的立方根是0，即∛0=0。 · 每个数都有且只有一个立方根。 4. 开立方运算 求一个数a的立方根的运算叫做开立方。开立方运算与立方运算互为逆运算。可以利用立方运算来检验开立方的结果是否正确。 【清单03】实数 1. 无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数。例如，π（圆周率，约等于3.1415926…），√2（约等于1.41421356…），√3（约等于1.73205080…）等都是无理数。 2. 实数的概念及分类 · 概念：有理数和无理数统称为实数。 · 分类： · 按定义分类：实数分为有理数和无理数。有理数是整数和分数的统称，也可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。 · 按大小分类：实数分为正实数、0和负实数。正实数包括正有理数和正无理数，负实数包括负有理数和负无理数。 3. 实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点一一对应。 4. 实数的相反数、绝对值和倒数 · 相反数：实数a的相反数是-a，0的相反数是0。例如，√2的相反数是-√2，-π的相反数是π。 · 绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即对于实数a，|a|=a（a>0），|a|=0（a=0），|a|=-a（a<0）。例如，|√3|=√3，|-√5|=√5，|0|=0。 · 倒数：乘积为1的两个实数互为倒数。非零实数a的倒数是1/a，0没有倒数。例如，2的倒数是1/2，√2的倒数是1/√2（化简后为√2/2）。 5. 实数的大小比较 · 正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数。 · 两个正实数比较大小：绝对值大的数大；两个负实数比较大小：绝对值大的数反而小。 · 对于含有根号的数，可以通过比较它们的平方（或立方）的大小来间接比较原数的大小。例如，比较√5和2的大小，因为(√5)²=5，2²=4，5>4，所以√5>2。 6. 实数的运算 实数的运算顺序和运算法则与有理数的运算顺序和运算法则基本相同，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。在进行实数运算时，有理数的运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律）同样适用。 【清单04】近似值 1. 准确数与近似数的概念 · 准确数：与实际完全符合的数叫做准确数。例如，教室里有40名学生，这里的“40”就是准确数。 · 近似数：与实际接近但存在一定误差的数叫做近似数。例如，测量一本书的长度约为21.5cm，这里的“21.5”就是近似数。 2. 近似数的精确度 · 精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度来表示。 · 表示方法： · 精确到哪一位：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。例如，近似数1.20精确到百分位（或精确到0.01），近似数1.2精确到十分位（或精确到0.1）。 · 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。例如，近似数0.0203有三个有效数字：2、0、3；近似数1.80有三个有效数字：1、8、0。 3. 近似数的取法（四舍五入法） 通常用四舍五入法取近似数。具体做法是：根据要求确定精确到哪一位，看这一位的下一位数字，如果下一位数字小于5，则把它和后面的所有数字舍去；如果下一位数字大于或等于5，则向前一位进1，再把它和后面的所有数字舍去。例如，用四舍五入法将3.14159取近似数：精确到十分位是3.1，精确到百分位是3.14，精确到千分位是3.142。 4. 根据实际问题取近似数 在解决实际问题时，有时不能机械地使用四舍五入法，而要根据实际情况采用“进一法”或“去尾法”取近似数。 · 进一法：不管尾数的最高位数字是几，都向前一位进1。例如，用一辆能装3吨货物的卡车运10吨货物，需要运几次？10÷3≈3.333，此时需要用进一法取近似数，结果为4次。 · 去尾法：不管尾数的最高位数字是几，都直接把尾数舍去。例如，用2米布做一件衣服，现有5米布，可以做几件衣服？5÷2=2.5，此时需要用去尾法取近似数，结果为2件。 【题型一】平方根与立方根的概念 【例1】144的算术平方根是（     ） A．12 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，算术平方根是指非负的平方根，因此144的算术平方根应为正数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴144的算术平方根是12， 故选：A． 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B． C．的立方根是 D．0的平方根是0 【答案】D 【详解】本题考查平方根和立方根的概念，根据平方根和立方根的定义判断各选项的正确性． 【分析】解：A、∵4的平方根是，而选项只给出2，∴A错误，不符合题意； B、∵表示9的算术平方根，即3，而非，∴B错误，不符合题意； C、∵，且立方根唯一，∴的立方根是，不是，∴C错误，不符合题意； D、∵，∴0的平方根是0，∴D正确，符合题意． 故选：D． 【变式1-2】16的平方根是 ；，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，立方根的定义，根据平方根，立方根定义即可求解﹒ 【详解】解：∵， ∴ 16的平方根是； ∵， ∴﹒ 故答案为：， 【题型二】近似值 【例2】按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（　　） A．（精确到十分位） B．（精确到个位） C．（精确到） D．（精确到） 【答案】A 【分析】本题主要考查了四舍五入法求近似数．根据四舍五入原则逐项分析即可作答． 【详解】A、（精确到十分位），故该选项正确； B、（精确到个位），故该选项错误； C、（精确到），故该选项错误； D、（精确到），故该选项错误； 故选：A 【变式2-1】下列近似数的叙述不正确的是（    ） A．0.013精确到千分位 B．1008精确到个位 C．2.7万精确到万位 D．精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查了近似数的精确度“精确度表示一个近似数与准确数的接近程度．一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位”，熟记近似数的精确度的定义是解题关键．根据近似数的精确度的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、的最后一位数字3在千分位，则精确到千分位，则此项正确，不符合题意； B、1008的最后一位数字8在个位，则1008精确到个位，则此项正确，不符合题意； C、万，数字7在千位，则万精确到千位，则此项错误，符合题意； D、，数字4在千位，则精确到千位，则此项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】用四舍五入将数精确到十分位为 ． 【答案】 【分析】本题考查近似数． 对百分位上的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入将数精确到十分位为． 故答案为：． 【题型三】实数的分类与大小 【例3】在，，，，，中，无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类，无理数的定义，正确理解无理数的定义及表示无理数的几种形式是解题的关键．根据无理数定义，无理数是指无限不循环小数．逐个判断各数即可． 【详解】解：是有限小数，是有理数； 中的π是无理数， 是无理数； ，是分数， 是有理数； 是分数， 是有理数； ，是整数， 是有理数； 是无限不循环小数，是无理数， 所以，无理数有2个． 故选：A． 【变式3-1】在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的判断，根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数是否无理数即可． 【详解】解：在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数是，，，0.10010001…共4个， 故选：C． 【变式3-2】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，可证明，再利用作差法求出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型四】算术平方根的非负性 【例4】已知，则的算术平方根是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的算术平方根，根据算术平方根和绝对值的非负性得到关于的二元一次方程组，求解后，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴的算术平方根是1； 故选B． 【变式4-1】已知，则的值是（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值，平方和二次根式的非负性，解题的关键是掌握． 根据非负数的性质，绝对值、平方和平方根均为非负数，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出a、b、c的值． 【详解】∵ , , ，且， ∴ , , ， ∴ , , ， ∴ , , ， ∴ ， 故选：B． 【变式4-2】若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形三边的关系，以及等腰三角形的定义． 根据非负数的性质，求出和的值，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系确定三角形的边长，最后计算周长． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，． 当腰长为6，底边长为3时，三边长为6、6、3，满足三角形三边关系，周长为； 当腰长为3，底边长为6时，三边长为3、3、6，但，不满足三角形三边关系，故不成立． 因此，等腰三角形的周长为15． 故答案为：15． 【题型五】估算算术平方根 【例5】估算 在哪两个整数之间（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．由于，然后利用算术平方根即可得到． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【变式5-1】估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的估算能力， 通过比较平方数确定 的取值范围，然后计算 的区间． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 因此值在2和3之间 故选：C． 【变式5-2】观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在 之间． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【详解】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 【题型六】实数与数轴化简 【例6】已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，求一个数的算术平方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故选B． 【变式6-1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，绝对值，算术平方根． 先根据数轴推出，，再化简绝对值，求算术平方根，合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴化简的结果为． 故选：C． 【变式6-2】已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数的运算与数轴，算术平方根的非负性，化简绝对值等知识点，正确化简各式是解本题的关键． 观察数轴得：，可得，从而原式变形为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ ． 故答案为：3． 【题型七】利用平方根与立方根解方程 【例7】求下列各式中的x． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）， ， 解得． 【变式7-1】求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， 解得； （2）解：， ， 则， 解得． 【变式7-2】求下列各式中x值： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）将原方程整理得，再等号两边同时开立方，得到一个一元一次方程，即可求解． （2）将原方程整理得，再等号两边同时开平方，得到两个一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 两边同时开立方，得 解得． （2）解： 两边同时开平方，得或 解得，． 【题型八】实数的实际应用 【例8】动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20m (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了正方形和长方形的周长与面积计算，解题的关键是根据面积公式求出边长（长、宽），再计算周长． （1）先由正方形面积求出边长，再计算正方形周长得到“混天绫”总长度； （2）设长方形宽为，根据长与宽的比表示出长，结合面积求出长和宽，计算长方形周长，与“混天绫”长度比较判断是否足够． 【详解】（1）解：因为， 所以正方形的边长为． 所以正方形的周长为． 答：混天绫的总长度是． （2）设宽为，则长为． 可得：， 解得：（因为长度为正，舍去负根）， 长为：， ， ． 答：混天绫长度足够完成新阵法． 【变式8-1】某喷水池中央的顶端放置了一个大理石球，已知球的质量公式为．其中，表示球的质量，表示球的半径，为大理石的密度．如果球的质量m为，大理石的密度为，那么这个大理石球的半径r是多少？（取，结果精确到） 【答案】米． 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，设出该小球的半径，再根据球的体积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵m为，大理石的密度为，， ∴米， ∴这个大理石球的半径是米． 【变式8-2】魔方，又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的．魔方与中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图1是一个4阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小立方体组成，体积为． (1)求组成这个魔方的小立方体的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形，求出该正方形的面积和边长． (3)把正方形放在数轴上，如图2，使得点与1重合，那么点在数轴上表示的数是___________． 【答案】(1) (2)正方形的面积为，边长为 (3) 【分析】本题主要考查了立方根，实数的运算，实数与数轴等，熟练掌握以上知识点是关键． （1）求出一个小正方体的体积，进而求出求棱长即可； （2）利用利用割补法求出正方形面积，再根据1算术平方根求出正方形的边长即可； （3）根据（2）所求结合数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：， 组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为； （2）解：正方形的面积为，正方形的边长为，； （3）解：∵，点A表示的数为1， ∴点D表示的数为． 故答案为：． 【题型九】实数的混合运算 【例9】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． 先计算立方根和算术平方根，乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解原式 ． 【变式9-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算乘方，化简绝对值，算术平方根以及立方根，然后合并同类项即可； （2）先计算乘法、算术平方根，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题考查了实数的混合运算，化简绝对值，算术平方根，立方根，二次根式的加减运算等知识．熟练掌握实数的混合运算的运算法则并正确的计算是解题的关键． 【变式9-2】计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根与立方根的计算是关键；计算算式中的算术平方根、绝对值及立方根即可求解． 【详解】解：原式= ． 【题型一】对实数概念理解不清 【例1】下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关概念． 无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．． 【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意； B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意； C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意； D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1-2】已知m，n是有理数，且，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的运算、无理数和有理数的定义，解题的关键是理解无理数与有理数的区别在中，等式的左边是含有这个无理数部分的，等式的右边为0是有理数，可知在等式的左边的系数部分应为0． 【详解】解：原式可化为， ∵m，n是有理数， ∴，解得， ∴． 故答案为． 【题型二】实数的性质与运算错误 【例2】若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数、无理数的概念理解，算术平方根的性质，实数的性质等知识点． 根据无理数和有理数的性质，有理数与无理数的和一定是无理数；有理数与无理数的积不一定无理数（如乘以0）；无理数的平方不一定有理数；无理数的平方根不一定有意义或不一定无理数（如a为负数时无意义）． 【详解】解：∵ a 是无理数，b 是有理数， A：假设是有理数，则，由于有理数减有理数仍为有理数，故a为有理数，与已知矛盾，∴一定是无理数，A 正确； B：若，则为有理数，∴ B 错误； C：例如（无理数），则为无理数，∴ C 错误； D：若，则无实数意义；若，且为有理数，则为有理数，与已知矛盾，故为无理数，但由于 a 可能为负数，∴不一定是无理数，D 错误； 因此，正确答案为 A， 故选：A． 【变式2-1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方、实数的运算、积的乘方及同底数幂的除法，熟练掌握各个运算是解题的关键；根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法以及实数的运算，逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于选项A：∵，∴A错误； 对于选项B：∵，∴，∴B正确； 对于选项C：∵，∴C错误； 对于选项D：∵，∴D错误； 故选B． 【变式2-2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算． 先分别计算绝对值、平方和乘法运算，再计算加减即可．． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型三】实数中的程序流程图顺序错误 【例3】如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的运算与数值转换器的逻辑，解题的关键是从输出结果反向推导输入值． 从输出的反向推导，先求出第二次取算术平方根前的数，再根据“是有理数则再次输入”的规则，求出第一次取算术平方根前的数． 【详解】解：两次取算术平方根，即， 两边平方得， 再平方得， 故选B． 【变式3-1】如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当时，的立方根为，4的算术平方根为，是有理数； 2的算术平方根为， 故选：B． 【变式3-2】小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是时，输出的值是 ． （2）分析发现，当实数取 时，该程序无法输出值．（写出所有的情况） 【答案】 或或负数 【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． ()按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可 ()按照计算流程，探索即可得出答案解． 【详解】解：()输入，则， 是有理数，的立方根是， 是有理数， 的算术平方根得是，是无理数， ∴输出的数为； 故答案为：； ()∵按照计算流程发现最后都是无理数输出， ∴①当能计算第一步的算术平方根时， 则陷入死循环，即不停的计算算术平方根和立方根， 计算结果一直是有理数， ∴此时或，该程序无法输出值， ②当不能计算第一步的算术平方根时， ∵负数没有算术平方根， ∴取负数时该程序无法输出值， 故答案为：或或负数． 【题型一】实数中的规律问题 方法技巧 1. 观察数字特征 从绝对值、符号、整数部分与小数部分分离等角度分析已知数据，寻找重复出现的模式或递变关系。例如： · 若数列含根号，先化简根号内的数（如，），再观察化简后数字的规律； · 符号规律常表现为“正、负交替”（用或表示）。 2. 递推关系归纳 通过计算相邻两项的差、商、和、积，确定数据变化的递推公式。例如： · 若相邻两项差为常数（如(3,\ 5,\ 7,\ 9,\ ...)），可能为等差数列； · 若相邻两项商为常数（如(2,\ 4,\ 8,\ 16,\ ...)），可能为等比数列。 3. 数形结合法 对与图形（如点的坐标、图形面积、线段长度）结合的规律题，需将图形变化转化为数字序列，再用代数方法分析。例如：坐标系中依次标出点(1,1)、(2,4)、(3,9)、(4,16)，可发现纵坐标为横坐标的 · 在坐标系中，点的横、纵坐标可能分别满足独立的规律，需分开探究。实数中的整数部分与小数部分问题 【例1】观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 【变式1—1】观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考探索数字规律及立方根的含义，利用平方根的含义解方程，解题的关键是观察阅读材料得到规律，掌握立方根的定义． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据相反数的定义列方程求出的值． （4）根据相反数的定义可得，结合，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：（答案不唯一）； （2）解：当时，则，反之也成立； （3）解：∵与的值互为相反数， 则， 解得． （4）解：与的值互为相反数， ， ， ， ， ， ． 【变式1—2】阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的运算，与实数有关的规律探索，实数比较大小等等： （1）根据题意可得规律； （2）根据结合题意求解即可； （3）先求出，再由进行求解即可； （4）仿照（3）求出，，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解： 以此类推可得， ， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：； （4）解：∵， ， ∴， ， ∵， ∴． 【题型二】实数中的整数部分与小数部分问题 方法技巧 一、核心概念与关系 1. 整数部分定义：对于任意实数( x )，不大于( x )的最大整数叫做( x )的整数部分，记作( [x] ) 2. 小数部分定义：实数( x )减去其整数部分的差叫做( x )的小数部分，记作( {x} ) 3. 基本关系公式：( x = [x] + {x} )，其中， 二、无理数整数部分的确定方法 1. 夹逼定位法 操作步骤： ① 寻找两个连续整数( n )和( n+1 )，使（( a )为非完全平方数） ② 得出整数部分 ③ 小数部分 示例：求的整数与小数部分 ∵ ∴，整数部分 小数部分. 复合无理数处理策略 类型1：型（( b )为整数） 整数部分，小数部分 类型2：型（( c )为整数，） 先求的整数部分( n )，则原数整数部分 = ( c - n - 1 )，小数部分 示例：求的整数与小数部分 ∵，∴ ∴，整数部分 = 2 小数部分 三、含小数部分的代数式求值 1. 已知小数部分求原数 方法：设小数部分( {x} = x - [x] = m )，则( x = [x] + m )，通过列方程求解 示例：已知( x )的小数部分是，求( x ) ∵，∴ ∴ 2. 整数部分与小数部分的综合运算 解题步骤： ① 分别确定各无理数的整数部分和小数部分 ② 代入原式进行代数运算 ③ 化简结果，注意二次根式的运算规则 示例：已知，求的值 ∵，∴ ∴ ( [x] = 0 )， 原式 = 四、经典题型与解题模板 1. 双变量问题 问题模型：已知，，求( x + y )或( xy )的整数部分 解题关键：先计算( x + y )或( xy )的精确值，再确定其整数部分 2. 不等式估值问题 问题模型：确定的整数部分（( a,b )为非完全平方数） 解题步骤： ① 分别估值和的范围 ② 两不等式相加得和的范围 ③ 若范围跨两个整数，需进一步精确计算中间值判断 示例：估计的整数部分 ∵， ∴ ∴ 整数部分为7 【例2】我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 【答案】(1)2 (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． （1）可得，则，再根据定义求解即可； （2）先根据无理数的估算方法得到，那么的小数部分，再估算出，然后根据定义得到 ，再代入求解即可； （3）先根据无理数的估算方法得到，然后根据不等式的性质得到；由， 是整数，且 ，得到 ，，再代入求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 的小数部分； ∵ ， ∴ ， ∴ ； ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， 是整数，且 ， ∴ ，； ∴ ． 【变式2—1】我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分______； (2)a为的整数部分，b为的小数部分，求解的值． (3)已知，其中x是正整数，，求解的值． 【答案】(1)2 (2) (3)6 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算法则求出的取值范围即可得到答案； （2）根据无理数的估算法则求出的取值范围，则可求出a、b的值，再代值计算即可得到答案； （3）求出的取值范围，则可求出x、y的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴， ∴； （3）解：由（1）得， ∴， ∵，其中x是正整数，， ∴， ∴， ∴ ． 【变式2—2】【阅读理解】同学们，我们来学习近似计算算术平方根的方法． 材料一：求无理数的整数部分和小数部分． 解：因为，所以，即，故的整数部分为10，小数部分为． 材料二：求无理数的近似值（保留两位小数）． 解：由正方形的面积为107，可得边长是． 因为，所以设，其中． 再将该正方形分割成两个正方形和两个长方形（如图1），根据图中的面积，得，当较小时，忽略的值，得，解得，所以． 【尝试探究】 (1)利用“材料一”中的方法，已知x是的整数部分，y是的小数部分，求代数式的值． (2)利用“材料二”中的方法，求的近似值（保留两位小数，将下面横线部分补充完整）． 解：由正方形的面积为 ，可得边长是． 因为 ，所以设 ，其中． 再将该正方形分割成两个正方形和两个长方形（如图2），根据图中的面积，得 ． 当较小时，忽略的值，得 ，解得 ，所以 ． 【答案】(1) (2)，，，，，，． 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）先估算出的范围，再求出x、y的值，最后代入值计算即可； （2）根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴即， ∴的整数部分是3，的小数部分是， ∴，， ∴， 答：代数式的值为． （2）解：由正方形的面积为150，可得边长是． 因为，所以设，其中． 再将该正方形分割成两个正方形和两个长方形，如下图， 根据图中的面积，得，当较小时，忽略的值，得，解得，所以． 故答案为：，，，，，，． 【题型三】实数中的新定义问题 方法技巧 一、深刻理解新定义的内涵与外延 1. 逐字逐句研读定义：拿到新定义问题后，首要任务是仔细阅读题目中给出的每一个字、每一句话，准确把握定义的核心要素。例如，若定义“对于任意两个实数a，b，规定a※b = a² - b + 1”，需明确“※”是一种新的运算符号，其运算规则是第一个数的平方减去第二个数再加上1。要特别注意定义中是否有特殊的条件限制，如“当a > b时，a△b = a - b；当a ≤ b时，a△b = b - a”，这里的条件直接决定了运算方式的选择。 2. 分析定义的构成要素：将新定义分解为若干个基本的数学要素，看其是涉及运算、关系，还是某种特定的数或图形的性质。对于运算类新定义，要明确参与运算的数或式、运算的步骤和顺序；对于关系类新定义，要理清元素之间满足的条件；对于特定数或图形的定义，要抓住其区别于其他数或图形的本质特征。 3. 通过举例验证理解：如果题目中给出了新定义的示例，一定要认真分析示例，通过具体的例子来验证自己对定义的理解是否正确。若没有示例，可以尝试自己构造简单的例子代入定义进行计算或判断，加深对定义的理解。例如，对于上述“※”运算，可计算2※3 = 2² - 3 + 1 = 4 - 3 + 1 = 2，通过这样的简单计算，能更直观地理解运算过程。 二、将新定义问题转化为熟悉的数学模型 1. 联想已学知识：新定义问题往往是在已学知识的基础上进行创新和拓展的。在理解新定义后，要积极联想与之相关的实数范围内的概念、运算、性质和方法，如相反数、绝对值、平方根、立方根、实数的运算律、大小比较方法等。例如，若新定义“数对（m，n）的‘关联数’为|m| + √n”，这里的“关联数”就是由绝对值和算术平方根这两个已学概念组合而成的。 2. 构建数学表达式或方程：根据新定义的规则，将题目中涉及的新定义关系用数学表达式或方程表示出来。对于需要计算的问题，直接按照新定义的运算规则列出算式；对于需要判断或求解的问题，可根据定义中的条件列出相应的方程或不等式。例如，若定义“若实数x满足[x]表示不大于x的最大整数，如[3.2] = 3，[-1.5] = -2”，当题目问“[√5]的值是多少”时，因为√5 ≈ 2.236，不大于2.236的最大整数是2，所以可直接得出结果；若问“若[x] = 5，求x的取值范围”，则可根据定义列出不等式5 ≤ x < 6。 3. 转化为常规问题求解：将用新定义表示的数学表达式或方程，通过已学的数学知识和方法进行化简、变形、计算或推理，转化为我们熟悉的常规数学问题来解决。例如，对于新定义运算“ab = (a + b)(a - b)”，可先利用平方差公式将其化简为ab = a² - b²，这样就将新运算转化为熟悉的平方差运算，再进行后续的计算或应用就会变得简单。 三、运用数学思想方法解决新定义问题 1. 分类讨论思想：当新定义中涉及到条件判断，或者问题中存在多种可能情况时，需要运用分类讨论思想。例如，新定义“当a > 0时，a◎b = a + b；当a ≤ 0时，a◎b = a - b”，在计算a◎b的值时，就需要先判断a的正负性，再根据不同情况进行计算。在实数范围内，还可能涉及到对平方根的双重性、绝对值内代数式的正负性等进行分类讨论。 2. 数形结合思想：有些新定义问题可以与数轴结合起来，利用数轴的直观性帮助分析和解决问题。例如，定义“在数轴上，实数a，b对应的点之间的‘距离’为|a - b|”，这本身就是绝对值的几何意义。若再定义“点P到点A、点B的‘平均距离’为/2”，则可在数轴上标出点A、B、P的位置，通过观察数轴上点的位置关系来分析“平均距离”的变化情况或求解相关问题。 3. 方程思想：当新定义问题中出现未知量，且根据新定义可以建立起关于未知量的等量关系时，可运用方程思想，设未知数，列方程求解。例如，定义“对于实数x，y，若x△y = x² - 2y = 0，则称x，y为‘和谐数对’”，若已知x = 2，求y的值，可列出方程2² - 2y = 0，即4 - 2y = 0，解得y = 2。 4. 从特殊到一般的思想：对于一些较为复杂的新定义问题，可以先从特殊情况入手，通过计算特殊值、分析特殊例子，找出其中蕴含的规律，再推广到一般情况。例如，新定义“对任意实数a，b，定义a⊕b = a³ + b³”，可先计算1⊕2 = 1³ + 2³ = 1 + 8 = 9，2⊕1 = 8 + 1 = 9，发现1⊕2 = 2⊕1，再尝试-1⊕3 = (-1)³ + 3³ = -1 + 27 = 26，3⊕(-1) = 27 + (-1) = 26，也相等，从而猜测a⊕b = b⊕a，即该运算可能满足交换律，再通过整式运算a³ + b³ = b³ + a³进行验证，确认其满足交换律。 四、严格按照新定义规则进行推理和计算 1. 准确代入：在进行计算或推理时，要严格按照新定义中规定的条件、运算顺序和规则进行，确保代入的数值或代数式准确无误。特别是对于含有多个字母或复杂表达式的新定义问题，要仔细核对每个字母所代表的量，避免因代入错误而导致结果错误。 2. 注意运算顺序和符号：实数的运算顺序（先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的）在新定义运算中同样适用，除非新定义中明确规定了不同的运算顺序。同时，要特别注意运算过程中的符号问题，如负数的平方、负数的立方、绝对值内结果的正负等，避免因符号错误而影响最终结果。例如，计算(-3)※2，若定义a※b = a² - b + 1，则(-3)※2 = (-3)² - 2 + 1 = 9 - 2 + 1 = 8，这里要注意(-3)²的结果是9，而不是-9。 3. 推理过程严密：对于需要进行逻辑推理的新定义问题，要做到每一步推理都有依据，依据就是新定义的规则和已学的实数相关知识。推理过程要清晰、有条理，避免跳跃性思维，确保结论的正确性。例如，若定义“若实数m满足m² = m + 1，则称m为‘黄金数’”，要证明“黄金数”m的倒数为m - 1，可由m² = m + 1，两边同时除以m（m ≠ 0，因为若m = 0，0 = 0 + 1不成立），得到m = 1 + 1/m，移项可得1/m = m - 1，从而得证。 五、注重检验与反思，确保结果的正确性 1. 代入检验：在完成新定义问题的解答后，要将得到的结果代入新定义中进行检验，看是否符合新定义的要求。特别是对于计算类问题，通过代入检验可以及时发现计算过程中可能出现的错误。例如，若根据新定义计算出a※b = 5，可将a、b的值代入新定义的运算式中重新计算一遍，验证结果是否确实为5。 2. 反思解题过程：回顾整个解题过程，检查对新定义的理解是否准确，转化是否恰当，数学模型是否正确，运算和推理是否无误。思考是否存在其他解法，或者是否有更简洁的方法，通过反思总结经验，提高解决新定义问题的能力。同时，要注意问题的细节，如是否有隐含条件、是否需要考虑特殊值等，确保解答的完整性和准确性。例如，在涉及平方根的新定义问题中，要注意被开方数必须是非负数这一隐含条件。 【例3】新定义：若两个不相等的正整数a和b（）满足它们的平方差等于这两个数和的平方除以k（k为非零常数），则称数对关于k构成一个“智谋数对”，记作，用式子表示为：． 例如：数对关于3构成一个“智谋数对” ∵， ∴ ∴成立 (1)下列数对是关于3构成“智谋数对”的是______． ①    ②    ③ (2)假设a和b（）是关于k的“智谋数对” ①用含a，b的代数式表示k； ②当时，求出智谋数对中a与b的数量关系，并写出满足条件的两个智谋数对． 【答案】(1)①③ (2)①；②，和 【分析】该题考查了智谋数对”的定义，因式分解的应用等知识点． （1）根据“智谋数对”的定义分别判断即可． （2）①根据题意可得，左边先因式分解，再化简即可；②当时，则，同①化简整理得，再根据题意代值即可解答． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴关于3构成“智谋数对”； ②∵，， ∴， ∴关于3不构成“智谋数对”； ③∵，， ∴， ∴关于3构成“智谋数对”； 故答案为：①③； （2）解：①根据题意可得， 则， ∴， ∴； ②当时，则，即， 整理得， 则， ∵a和b是两个不相等的正整数，， 取，则，满足条件，“智谋数对”是； 取，则，满足条件，“智谋数对”是； 综上，满足条件的两个“智谋数对”可以是和． 【变式3—1】定义：若一个多项式的各项系数之和为9的整数倍，则称这个多项式为“顶好多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“顶好和”．例如：多项式的各项系数和为，所以是“顶好多项式”，它的“顶好和”为27．请根据这个定义解决下列问题： (1)在下列多项式中，属于“顶好多项式”的是________．（只填序号） ①；②；③． (2)若关于x的“顶好多项式”的“顶好和”为9，且a，b都是正整数，求的值． (3)若多项式是关于x，y的“顶好多项式”，且m，n都是整数，则多项式也是关于x，y的“顶好多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)② (2)10或14 (3)是，理由见解析 【分析】本题主要考查多项式 ，新定义下的实数运算； （1）根据“顶好多项式”的定义计算即可； （2）根据题意得，得到a，b的值，计算即可； （3）设，得到，多项式中，根据m，n都是整数，得到能被9整除，即可得出结论． 【详解】（1）解：①：各项系数和为；， ②各项系数和为；， ③各项系数和为：， ∴属于“顶好多项式”的是②， 故答案为：②． （2）解：根据题意得，即， ∵a，b都是正整数， ∴或或 则或或， 综上，的值为10或14； （3）解：多项式是关于x，y的“顶好多项式”，理由如下： 多项式是关于x，y的“顶好多项式”， 设 (k为整数)， ∴， 多项式中， ∵m，n都是整数， ∴是整数， ∴能被9整除， ∴多项式是关于x，y的“顶好多项式”． 【变式3—2】对于任何有理数，我们用表示不超过的最大整数，如：，意思是不超过的最大整数是1．现对进行如下操作：取的五分之一，再取不超过它的最大整数，重复进行操作．进行次操作之后开始变为固定值，其操作过程如下：． (1)计算：________；________． (2)已知整数68，先取其四分之一，再取不超过它的最大整数，如此操作重复多少次后开始变为固定值？其固定值是多少？写出你的操作过程． (3)已知整数进行次“取其三分之一，再取不超过它的最大整数”的操作后开始变为固定值，且能被整除，写出所有符合条件的的值． 【答案】(1)1，2 (2)重复4次后有固定值，固定值为0 (3) 【分析】本题考查了新定义（取整函数）的运算，解题的关键是准确理解表示不超过的最大整数这一概念． （1）根据的定义直接计算两个式子的值； （2）按照 “取四分之一，再取不超过它的最大整数” 的规则逐步操作，直到得到固定值； （3）找到临界数据，结合能被整除的条件，求出所有符合条件的的值． 【详解】（1）解： ，不超过的最大整数是， ． ：，不超过的最大整数是；   ：，不超过的最大整数是； ． 故答案为：；． （2）解：， 所以如此操作至少重复4次后开始变为固定值0． （3）解：因为， ， ， ， 所以能取到的最大数和最小数分别是和， 又因为能被3整除，所以，，，，，． 因为， ， ， 所以能取到的最大数和最小数分别是和， 又因为能被3整除，所以，，，，，． 综上：所有符合条件的的值为：． 学科网（北京）股份有限公2 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $