第二章 相交线与平行线 章末复习 课件 2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 章末复习 第二章 相交线与平行线 授课教师： Home . 班 级： . 时 间： . 2026年1月25日 2026年1月25日星期日10时49分41秒 2026年1月25日星期日10时49分42秒 一、对顶角 两个角有_________，并且两边互为___________，具有这种特殊关系的两个角叫作对顶角. 对顶角的性质：____________. A O C B D 1 3 2 4 公共顶点 反向延长线 对顶角相等 返回 1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE＝90°，那么下列结论错误的是(　　) A．∠AOC与∠BOD是对顶角 B．∠AOC与∠COE互为余角 C．∠BOD与∠COE互为余角 D．∠COE与∠AOD互为补角 D 中考考法 3 2．由∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，得到∠2＝∠3的依据是(　　) A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 A 返回 中考考法 4 3．有一个角的补角为117°，则这个角的余角是________． 返回 27° 中考考法 5 二、垂线 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是______ 时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的______，它们的交点叫作______. 1. 垂线的定义 2. 经过直线上或直线外一点，_________一条直线与已知 直线垂直. 4. 直线外一点到这条直线的垂线段的______，叫作点到 直线的距离. 3. 直线外一点与直线上各点的所有连线中，_______最短. 有且只有 垂线段 长度 直角 垂线 垂足 同位角、内错角、同旁内角的结构特征： 同位角 ∠1 与 ∠2 内错角 ∠3 与 ∠2 同旁内角 ∠4 与 ∠2 三、同位角、内错角、同旁内角 三线八角 a b c 1 2 4 3 四、平行线 1. 在同一平面内，_______的两条直线叫作平行线. 3. 平行于同一条直线的两条直线______. 2. 经过直线外一点，________一条直线与已知直线平行. 4. 平行线的判定与性质： 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 平行线的判定 平行线的性质 不相交 有且只有 平行 例1 如图，AB⊥CD 于点 O，直线 EF 过 O 点， ∠AOE = 65°，求∠DOF 的度数. B A C D F E O 解：因为 AB⊥CD，所以∠AOC = 90°. 考点一 利用对顶角、垂线的性质求角度 因为∠AOE = 65°，所以∠COE = 25°. 又因为∠COE =∠DOF (对顶角相等)， 所以∠DOF = 25°. 1. 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE⊥AB 于 O，OB 平分∠ DOF，∠DOE = 50°，求∠AOC、 ∠EOF、 ∠COF 的度数． 解：因为 AB⊥OE (已知)， 针对训练 所以 ∠EOB = 90°(垂直的定义). 因为 ∠DOE = 50° (已知)， 所以 ∠DOB = 40°(互余的定义). 所以 ∠AOC = ∠DOB = 40° (对顶角相等). E F A B D C O 又因为 OB 平分∠DOF， E F A B D C O 所以 ∠BOF = ∠DOB = 40° (角平分线的定义). 所以 ∠EOF = ∠EOB + ∠BOF = 90° + 40° = 130°. 所以 ∠COF = ∠COD -∠DOF = 180° - 80° = 100°. 例2 如图，AC⊥BC，CD⊥AB 于点 D，CD = 4.8 cm，AC = 6 cm，BC = 8 cm，则 点 C 到 AB 的距离是____cm， 点 A 到 BC 的距离是____cm， 点 B 到 AC 的距离是____cm. 4.8 6 8 考点二 点到直线的距离 2. 如图所示，修一条路将 B 村庄与 A 村庄及公路 MN 连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由． 解：连接 AB，作 BC⊥MN，C 是垂足， 线段 AB 和 BC 就是符合题意的线路图． 因为从 A 到 B，线段 AB 最短， 从 B 到 MN，垂线段 BC 最短，所以 AB＋BC 最短． 针对训练 C 与点到直线的距离最短有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线. 作图的依据是“垂线段最短”． 方法总结 例3 (1) 如图所示，∠1 = 72°，∠2 = 72°，∠3 = 60°，求∠4 的度数. 解：因为 ∠1 = ∠2 = 72°， 考点三 平行线的性质和判定 所以 a∥b (内错角相等，两直线平行). 所以 ∠3 + ∠4 = 180° (两直线平行，同旁内角互补). 因为 ∠3 = 60°，所以 ∠4 = 120°. 证明：因为 ∠DAC = ∠ACB (已知)， (2) 已知∠DAC = ∠ACB，∠D + ∠DFE = 180°，求证：EF∥BC. 所以 AD∥BC (内错角相等，两直线平行). 因为 ∠D + ∠DFE = 180° (已知)， 所以 AD∥EF (同旁内角互补，两直线平行). 所以 EF∥BC (平行于同一条直线的两条直线互相平行). 3. 如图，已知 AB∥CD，∠1 = 30°，∠2 = 90°，则∠3 = °. 60 针对训练 4. 如图，若 AE∥CD，∠EBF = 135°，∠BFD = 60°，则∠D = ( ) A. 75° B. 45° C. 30° D. 15° D 针对训练 解：设∠1 的度数为 x°，则∠2 的度数为 x°，∠3 的度数为 8x°. 例4 如图所示，l1，l2，l3 交于点 O，∠1 = ∠2， ∠3∶∠1 = 8∶1，求∠4 的度数. ） ） ） ） 1 2 3 4 O 考点四 相交线中的方程思想 根据题意可得 x° + x° + 8x° = 180°， 解得 x = 18，即∠1 = ∠2 = 18°. 而∠4 = ∠1 + ∠2（对顶角相等），所以 ∠4 = 36°. 5.如图所示，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOC∶ ∠AOD = 2∶3，求∠BOD 的度数. A B C D O 针对训练 解：设∠AOC 的度数为 2x°， 则∠AOD 的度数为 3x°. 根据题意可得 2x° + 3x° = 180°， 解得 x = 36，即∠AOC = 72°. 而∠BOD = ∠AOC (对顶角相等)，所以 ∠BOD = 72°. 4．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOD＝125°，则∠EOC＝(　　)  A．55° B．45° C．35° D．25° C 返回 中考考法 21 5．下列图形中，能用线段AD的长表示点A到线段BC的距离的是(　　) 返回 D 中考考法 22 6．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是(　　)  A．3 B．2.5 C．2.4　 D．2 中考考法 23 返回 【答案】C 中考考法 7．如图，下列结论正确的是(　　)  A．∠4和∠5是同旁内角 B．∠3和∠2是对顶角 C．∠3和∠5是内错角 D．∠1和∠5是同位角 中考考法 25 返回 【点拨】A.∠4和∠5是邻补角，不是同旁内角，故本选项错误；B.∠3和(∠1＋∠2)是对顶角，故本选项错误；C.∠3和∠5是内错角，故本选项正确；D.∠5和(∠1＋∠2)是同位角，故本选项错误． 【答案】C 中考考法 8. (1)如图，请你找出汉字“土”中所有的同位角、内错角、同旁内角； 【解】同位角：∠1与∠5，∠2与∠6；内错角：∠3与∠6，∠4与∠5；同旁内角：∠3与∠5，∠4与∠6. 中考考法 27 (2)写出你姓氏中所有的同位角、内错角、同旁内角． 略． 返回 中考考法 28 9．在同一平面内，将直尺、直角三角尺(∠A＝30°)和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为(　　) A．30°　 B．45°　 C．60°　 D．75° 中考考法 29 返回 【点拨】因为AB∥CD，所以易知∠CDB＝60°.因为CD⊥DE，所以∠CDE＝90°.所以∠1＝180°－∠CDB－∠CDE＝30°.故选A. 【答案】A 中考考法 10. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为(　　) A．22° B．32° C．35° D．122° 返回 B 中考考法 31 11．如图，把一张长方形的纸条沿着AF所在的直线折叠，若∠C′AF＝35°，则∠DFD′的度数为________． 70° 中考考法 32 返回 【点拨】由折叠的性质可知∠FAC＝∠C′AF＝35°，所以∠C′AC＝35°＋35°＝70°. 易知AC′∥BD′，所以∠FGC＝∠C′AC＝70°. 易知AC∥DF，所以∠DFD′＝∠FGC＝70°. 中考考法 12．[2025武汉期中]如图，已知AB∥CD，点E为CD上一点，作∠BEF，连接AF，若∠ABE与∠BEF的平分线交于点G.下列结论： 返回 ①②④ 中考考法 34 【点拨】①因为AB∥CD，所以∠ABE＝∠BEC. 因为BG平分∠ABE，所以∠ABE＝2∠ABG， 所以∠BEC＝2∠ABG.故①正确； ②如图①，过F作FH∥CD， 因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FH， 所以∠BAF＋∠AFH＝180°，∠DEF＝∠EFH， 所以∠AFH＝180°－∠BAF＝100°. 因为∠AFH＝∠AFE－∠EFH， 所以∠AFE－∠DEF＝100°.故②正确； 中考考法 中考考法 中考考法 返回 中考考法 13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°. 中考考法 (1)求∠BAD的度数； 【解】因为AD∥BC，所以∠B＋∠BAD＝180°. 又因为∠B＝80°，所以∠BAD＝100°. 中考考法 (2)AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°.试说明：AE∥DC. 返回 【解】因为AE平分∠BAD，∠BAD＝100°， 所以∠DAE＝50°. 因为AD∥BC，所以∠AEB＝∠DAE＝50°. 因为∠BCD＝50°，所以∠AEB＝∠BCD.所以AE∥DC. 中考考法 14．已知EF∥BC，BE∥CF，现将直角三角尺OAB(∠ABO＝45°)和直角三角尺OCD(∠OCD＝30°)按如图所示放置，直角顶点O重合，点A，D在EF上，若∠1＋∠2＝73°，∠3∶∠4＝5∶3，则∠DAB的度数为________． 115° 中考考法 返回 【点拨】因为BE∥CF，所以∠CBE＋∠BCF＝180°，即∠1＋∠ABO＋∠3＋∠4＋∠OCD＋∠2＝180°.因为∠1＋∠2＝73°，∠ABO＝45°，∠OCD＝30°，所以∠3＋∠4＝32°.因为∠3∶∠4＝5∶3，所以设∠3＝5x°，则∠4＝3x°.所以5x°＋3x°＝32°，解得x＝4.所以∠3＝20°.所以∠ABC＝∠ABO＋∠3＝65°.因为EF∥BC，所以∠ABC＋∠DAB＝180°.所以∠DAB＝115°. 中考考法 15．已知直线AB∥CD，点P，Q分别在AB，CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向以每秒1°的速度旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转． 中考考法 (1)若射线PB，QC同时开始旋转，当旋转时间为30秒时，PB′与QC′的位置关系为__________； PB′⊥QC′ 中考考法 (2)若射线QC先旋转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为多少秒时，PB′∥C′Q? 【解】设当射线PB旋转的时间为t秒时，PB′∥C′Q.分情况讨论：①第一次平行(即0＜t≤45)时，如图①， 由题知∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°＋t°. 因为AB∥CD，PB′∥C′Q， 所以∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′， 即4t＝45＋t，解得t＝15； 中考考法 ②第二次平行(即45＜t≤90)时，如图②，由题知∠APB′＝4t°－180°，∠CQC′＝t°＋45°，因为AB∥CD，PB′∥C′Q，所以∠APB′＝∠PED＝180°－∠CQC′，即4t－180＝180－(45＋t)，解得t＝63； 中考考法 返回 ③第三次平行时(即90＜t≤135)，如图③， 则∠BPB′＝4t°－360°，∠CQC′＝t°＋45°. 因为AB∥CD，PB′∥C′Q， 所以易得∠BPB′＝∠CQC′， 即4t－360＝t＋45，解得t＝135. 综上所述，当射线PB旋转的时间 为15秒或63秒或135秒时，PB′∥C′Q. 中考考法 【点拨】易知当PC⊥AB时，PC的值最小．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以此时三角形ABC的面积＝AB·PC＝AC·BC，所以PC＝＝＝2.4.即线段PC的最小值是2.4. ①∠BEC＝2∠ABG；②若∠BAF＝80°，则∠AFE－∠DEF＝100°；③∠G－∠DEF＝90°；④∠G＋∠CEF＝180°.其中一定正确的有__________(填序号)． ③如图②，过G作GM∥AB， 因为AB∥CD，所以AB∥CD∥GM， 所以∠ABE＋∠BED＝180°，∠BGM＝∠ABG， ∠EGM＝∠DEG，所以∠BEF＋∠ABE<180°， 所以(∠BEF＋∠ABE)<90°. 因为∠ABE与∠BEF的平分线交于点G， 所以∠ABG＝∠ABE，∠FEG＝∠BEF，所以 ∠BGM＝∠ABE，所以∠BGE＝∠EGM＋∠BGM＝∠DEG＋∠BGM＝∠DEF＋∠FEG＋∠BGM＝∠DEF＋∠BEF＋∠ABE＝∠DEF＋(∠BEF＋∠ABE)， 所以∠BGE－∠DEF＝(∠BEF＋∠ABE)， 所以∠BGE－∠DEF<90°.故③错误； ④因为∠CEF＝∠BEF＋∠BEC， 所以∠CEF＝∠BEF＋∠ABE. 因为∠ABE与∠BEF的平分线交于点G， 所以∠BEF＝2∠BEG，∠ABE＝2∠EBG， 所以∠CEF＝2(∠BEG＋∠EBG)， 所以∠BGE＋∠CEF＝∠BGE＋(∠BEG＋∠EBG)＝180°.故④正确．综上所述，正确的结论有①②④. $