专题 7.2 平行线（知识梳理 + 题型精析 +真题专练）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 7.2 平行线（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】平行线定义 1 （一）同一平面内两直线位置关系 2 （二）平行定义与表示方法 2 【题型 1】平行线的画法 2 【知识点二】平行线的基本事实与推论 3 【题型 2】利用平行线基本事实进行判断 3 【知识点三】平行线的判定 4 【题型 3】平行线的判定1：同位角相等，两直线平行 4 【题型 4】平行线的判定2：内错角相等，两直线平行 5 【题型 5】平行线的判定3：同旁内角互补，两直线平行 6 【知识点四】平行线的性质 7 【题型 6】平行线的性质1：两直线平行，同位角相等 7 【题型 7】平行线的性质2：两直线平行，内错角相等 8 【题型 8】平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补 9 【题型 9】平行线性质与判定综合 9 【题型 10】平行线的性质与判定+角平分线综合 10 二.中考真题 12 （一）单选题（10题） 12 （二）填空题（5题） 14 （三）解答题（1题） 15 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】平行线定义 （一）同一平面内两直线位置关系 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交与平行； （二）平行定义与表示方法 当直线a，b不相交时，我们说直线a与b互相平行，记作“a∥b”. 【题型 1】平行线的画法 【例题1】（人教版七下第3页练习第1题改编）（23-24七年级下·山西吕梁·期末）数学课堂上，老师出示了如下问题：如图，已知直线外有两点． 画图操作： 第一步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 第二步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 观察发现：． 上述过程中的“画图操作”和“观察发现”可得到的数学知识分别是（    ） 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【变式2】（23-24七年级下·四川成都·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【知识点二】平行线的基本事实与推论 平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 平行线的基本事实推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 【题型 2】利用平行线基本事实进行判断 【例题2】（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【变式1】（25-26七年级上·全国·单元测试）下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 【知识点三】平行线的判定 （1） 平行线的判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条 直线平行。 简单说成：同位角相等，两直线平行 即：如图一：∠1=∠2，a∥b. 图一 【题型 3】平行线的判定1：同位角相等，两直线平行 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，再添加什么条件可使？请就你添加的条件说明的理由． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·周测）如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． （2） 平行线的判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条 直线平行。 简单说成：内错角相等，两直线平行 即：如图一：∠1=∠2，a∥b. 图二 【题型 4】平行线的判定2：内错角相等，两直线平行 【例题4】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 时，． 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） （3） 平行线的判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条 直线平行。 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 即：如图一：∠1+∠3=，a∥b. 图二 【题型 5】平行线的判定3：同旁内角互补，两直线平行 【例题5】（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【变式1】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，因为，，所以 ，所以 ，理由是 ． 【知识点四】平行线的性质 （一）平行线的性质1：两条平行直线被第三条直线所截，如果同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 【题型 6】平行线的性质1：两直线平行，同位角相等 【例题6】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，．求的度数． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，直线，直线与相交，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，则的度数是 ． （二）平行线的性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 【题型 7】平行线的性质2：两直线平行，内错角相等 【例题7】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，已知，求证：，以下是小明不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：如图、过点作， （______）， ， （______）， ______（两直线平行，内错角相等）， ______． 【变式1】（湖北省鄂州市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题）如图，在中，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，则的度数为 ． （三）平行线的性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内错互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 【题型 8】平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补 【例题8】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，已知，，求的度数．能否求得的度数？ 【变式1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向连通管道的夹角（点，在一条直线上），那么管道与纵向连通管道的夹角的度数等于（　　）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，直线，，则的度数是____. 【题型 9】平行线性质与判定综合 【例题9】（人教版七下第20页习题7.2第8题改编）（24-25七年级下·全国·期中）（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（），且索道AB，BC均是直的．若，，则 ． 【变式2】（25-26七年级上·河南周口·期末）在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型 10】平行线的性质与判定+角平分线综合 【例题10】（24-25七年级下·广东江门·月考）如图，是的角平分线，． (1)求证：； (2)若是的角平分线，，求k的值． 【变式1】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①；②；③；④， 其中，正确的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知直线ABCD，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：MENF． 解：∵ABCD，（　 　）， ∴∠AMN＝∠DNM（　 　）， ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知） ∴∠EMN＝　 　∠AMN， ∠FNM＝　 　∠DNM（角平分线的定义）， ∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）， ∴MENF（　 　）， 由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对　 　角的平分线互相　 　． 二.中考真题 （一）单选题（10题） 1．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，，直线与直线，分别交于点E，F，直线与直线交于点G．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川乐山·中考真题）如图，两条平行线、被第三条直线所截．若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 4．（2025·广东深圳·中考真题）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川巴中·中考真题）如图，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·四川·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． （二）填空题（5题） 11．（2025·湖南·中考真题）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则 ． 12．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则 ． 13．（2025·重庆·中考真题）如图，，直线分别与交于点E，F．若，则的度数是 ． 14．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则 ． 15．（2025·山东德州·中考真题）如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件 ，使得．（写出一种情况即可） （三）解答题（1题） 16．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，． (1)求的度数； (2)平分交于点，．求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 7.2 平行线（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】平行线定义 1 （一）同一平面内两直线位置关系 2 （二）平行定义与表示方法 2 【题型 1】平行线的画法 2 【知识点二】平行线的基本事实与推论 3 【题型 2】利用平行线基本事实进行判断 4 【知识点三】平行线的判定 5 【题型 3】平行线的判定1：同位角相等，两直线平行 5 【题型 4】平行线的判定2：内错角相等，两直线平行 7 【题型 5】平行线的判定3：同旁内角互补，两直线平行 9 【知识点四】平行线的性质 11 【题型 6】平行线的性质1：两直线平行，同位角相等 11 【题型 7】平行线的性质2：两直线平行，内错角相等 13 【题型 8】平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补 15 【题型 9】平行线性质与判定综合 16 【题型 10】平行线的性质与判定+角平分线综合 19 二.中考真题 22 （一）单选题（10题） 22 （二）填空题（5题） 28 （三）解答题（1题） 31 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】平行线定义 （一）同一平面内两直线位置关系 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交与平行； （二）平行定义与表示方法 当直线a，b不相交时，我们说直线a与b互相平行，记作“a∥b”. 【题型 1】平行线的画法 【例题1】（人教版七下第3页练习第1题改编）（23-24七年级下·山西吕梁·期末）数学课堂上，老师出示了如下问题：如图，已知直线外有两点． 画图操作： 第一步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 第二步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 观察发现：． 上述过程中的“画图操作”和“观察发现”可得到的数学知识分别是（    ） 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理及其推论，根据平行公理及其推论即可求解，掌握平行公理及其推论是解题的关键． 【详解】解：由“画图操作”可得到的数学知识是经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 由“观察发现”可得到的数学知识是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ∴可得到的数学知识分别是， 故选：． 【变式1】（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·四川成都·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 【知识点二】平行线的基本事实与推论 平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 平行线的基本事实推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 【题型 2】利用平行线基本事实进行判断 【例题2】（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查过直线外一点作已知直线的平行线．先将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿已知直线平移三角板，直到三角板的另一条直角边与O点重合，沿这条直角边过O点向已知直线作一条垂线，然后再将三角板这条直角边沿所作垂线向上平移，直到底下的直角边与O点重合，最后过O点沿三角板底下的直角边作一条直线，这就是已知直线的平行线． 【详解】解：如图所示，直线b即为所求． 【变式1】（25-26七年级上·全国·单元测试）下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键． 根据平行线的定义进行逐一判定即可． 【详解】解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意； B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意； 故选A． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查平行公理，根据平行公理进行作答即可． 【详解】解：由题意，这个基本事实是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【知识点三】平行线的判定 （1） 平行线的判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条 直线平行。 简单说成：同位角相等，两直线平行 即：如图一：∠1=∠2，a∥b. 图一 【题型 3】平行线的判定1：同位角相等，两直线平行 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，再添加什么条件可使？请就你添加的条件说明的理由． 【答案】（补充的条件不唯一），见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：添加的条件是（补充的条件不唯一），这样有． 理由：，， ，即， （同位角相等，两直线平行）． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握识别同位角的位置关系，以及利用同位角相等，两直线平行判定两直线平行是解题的关键． 先确定与的位置关系，判断它们是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角，再根据同位角相等，两直线平行判定平行的直线． 【详解】解：与是直线被直线所截形成的同位角， ∵ （已知）， ∴ 根据同位角相等，两直线平行，可得． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·周测）如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 要使，需找到与被第三条直线截得的同位角相等的情况，观察图形，是截线，与是同位角，据此确定相等的角． 【详解】解：观察图形，与被所截，与是同位角， 根据同位角相等，两直线平行，当时，能得到． 故答案为：． （2） 平行线的判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条 直线平行。 简单说成：内错角相等，两直线平行 即：如图一：∠1=∠2，a∥b. 图二 【题型 4】平行线的判定2：内错角相等，两直线平行 【例题4】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解． 【详解】解：因为，所以（内错角相等，两直线平行．），故D符合题意； A、B、C选项都无法判断． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 时，． 【答案】 【分析】设中间的一条直线为直线，当时，，首先证明，再证明，进而得到． 【详解】解：如图， 当时，. 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） （3） 平行线的判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条 直线平行。 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 即：如图一：∠1+∠3=，a∥b. 图二 【题型 5】平行线的判定3：同旁内角互补，两直线平行 【例题5】（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 由，，可得，从而有，可判定． 【详解】证明：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故C选项正确； 而，，均不能判断， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，因为，，所以 ，所以 ，理由是 ． 【答案】 同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行，据此即可解答． 【详解】解：因为，， 所以， 所以，理由是同旁内角互补，两直线平行． 故答案为：；；；同旁内角互补，两直线平行． 【知识点四】平行线的性质 （一）平行线的性质1：两条平行直线被第三条直线所截，如果同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 【题型 6】平行线的性质1：两直线平行，同位角相等 【例题6】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质（同位角相等），解题关键是通过两组平行线，找到中间角作为桥梁，建立已知角和未知角的等量关系． 根据两直线平行线，同位角相等的性质，借助中间角构建与的数量关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，设与相交于点，    ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，直线，直线与相交，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键. 根据两直线平行同位角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，则的度数是 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了平行线的性质及补角的定义，先根据已知条件得出的补角度数，再根据平行线的性质得出同位角相等，进而求得的度数． 【详解】解：∵， ∴的补角为：， 又∵， ∴与的补角是同位角，两角相等， ∴， 故答案为：． （二）平行线的性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 【题型 7】平行线的性质2：两直线平行，内错角相等 【例题7】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，已知，求证：，以下是小明不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：如图、过点作， （______）， ， （______）， ______（两直线平行，内错角相等）， ______． 【答案】两直线平行，内错角相等 ；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；，两直线平行，内错角相等；． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 利用两直线平行，内错角相等，平行公理推论即可． 【详解】证明：如图、过点作， （两直线平行，内错角相等 ）， ， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， 故答案为：两直线平行，内错角相等 ；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；，两直线平行，内错角相等；． 【变式1】（湖北省鄂州市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题）如图，在中，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质． 根据两直线平行，内错角相等得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及邻补角的定义，掌握两直线平行，内错角相等、邻补角之和为是解题的关键． 由，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，再根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解： 与是邻补角 故答案为：． （三）平行线的性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内错互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 【题型 8】平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补 【例题8】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，已知，，求的度数．能否求得的度数？ 【答案】，不能 【分析】此题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， ． 根据题目的已知条件，无法求出的度数． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向连通管道的夹角（点，在一条直线上），那么管道与纵向连通管道的夹角的度数等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：， ， ； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，直线，，则的度数是____. 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与对顶角的性质，解题的关键是利用平行线的性质得到同位角（或内错角）的关系，结合对顶角相等进行角度转换． 先根据对顶角相等得到与对应的同位角的度数，再利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）计算的度数． 【详解】解：设的对顶角为，则． 因为，所以， 则． 故答案为： 【题型 9】平行线性质与判定综合 【例题9】（人教版七下第20页习题7.2第8题改编）（24-25七年级下·全国·期中）（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）如图，过点作镜面，，与相交于点，根据反射定律，角的和差关系，推出，即可得证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ， ． （2）．理由如下： 如图，过点作镜面，，与相交于点． 由题意，得，． ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（），且索道AB，BC均是直的．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握通过作辅助线构造平行线，利用内错角相等将未知角转化为已知角是解题的关键． 本题过点作平行于的平行线，利用平行线的传递性使该辅助线同时平行于，再借助内错角相等的性质，将拆分为与已知角相等的两个角，进而求出其度数． 【详解】解：如图，过点B作． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·河南周口·期末）在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 过点作，得到，推出， 即可求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【题型 10】平行线的性质与判定+角平分线综合 【例题10】（24-25七年级下·广东江门·月考）如图，是的角平分线，． (1)求证：； (2)若是的角平分线，，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查角平分线性质和平行线的判定与性质，掌握角平分线平分角，以及平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得，再结合角平分线的定义可得，即可求证； （2）根据平行线的性质可得，由（1）得：，再结合角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得：， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①；②；③；④， 其中，正确的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要利用平行线的性质和角平分线的定义求解，熟练掌握性质和概念并灵活运用是解题的关键． 根据平行线的性质和角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴，故①选项正确； ∴，故②选项正确； ∴，故④选项正确； ∵， ∴， ∴，故③选项正确． 所以①②③④选项正确． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知直线ABCD，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：MENF． 解：∵ABCD，（　 　）， ∴∠AMN＝∠DNM（　 　）， ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知） ∴∠EMN＝　 　∠AMN， ∠FNM＝　 　∠DNM（角平分线的定义）， ∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）， ∴MENF（　 　）， 由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对　 　角的平分线互相　 　． 【答案】已知；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；内错角；平行 【分析】根据平行线的性质得出∠AMN＝∠DNM，根据角平分线定义求出∠EMN＝∠AMN，∠FNM＝∠DNM，推出∠EMN＝∠FNM，根据平行线的判定得出即可． 【详解】解：∵AB∥CD，（已知）， ∴∠AMN＝∠DNM（两直线平行，内错角相等）， ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知） ∴∠EMN＝∠AMN， ∠FNM＝∠DNM（角平分线的定义）， ∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）， ∴ME∥NF（内错角相等，两直线平行）， 由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行． 故答案为：已知；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；内错角；平行． 【点睛】此题考查平行线的判定及性质，熟记判定及性质定理并应用解决问题是解题的关键． 二.中考真题 （一）单选题（10题） 1．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，，直线与直线，分别交于点E，F，直线与直线交于点G．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．根据平行线的性质得到，进而根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B 2．（2025·四川乐山·中考真题）如图，两条平行线、被第三条直线所截．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，由两直线平行，同位角相等可得的度数，再由对顶角相等可得的度数． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 4．（2025·广东深圳·中考真题）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键． 根据平行线的性质得出，结合图形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查平行线的性质及三角板角度的计算，根据平行线的性质得出，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵将一副三角尺平放在桌面上，， ∴． ∴． 故选：D． 6．（2025·四川巴中·中考真题）如图，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 根据平行线的性质即可直接得出，进而根据对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：D． 7．（2025·四川·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），解题的关键是根据“水中光线平行、空气中光线平行”的条件，准确识别与、与的同位角关系，进而计算两角之和． 先根据空气中光线平行的条件，结合与是同位角，利用平行线性质得出；再根据水中光线平行的条件，结合与是同位角，得出；最后将已知角度代入，计算的结果，匹配选项即可． 【详解】解：∵水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，且与为同位角，与为同位角， ∴，， ∵，， ∴，, ∴. 故选：C． 8．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，据此依次判断． 【详解】解：A.，不能判定，故不符合题意； B.，不能判定，故不符合题意； C.根据“同位角相等，两直线平行”能判定，故符合题意； D.，不能判定，故不符合题意； 故选：C． 9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选C． 10．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． （二）填空题（5题） 11．（2025·湖南·中考真题）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，运用两直线平行，内错角相等是解题关键 ． 根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 12．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行同旁内角互补进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 13．（2025·重庆·中考真题）如图，，直线分别与交于点E，F．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等即可解答，熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 14．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，平角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用，，得出，结合，再利用平角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2025·山东德州·中考真题）如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件 ，使得．（写出一种情况即可） 【答案】或或（答案不唯一，填一个即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：或或（答案不唯一，填一个即可）． （三）解答题（1题） 16．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，． (1)求的度数； (2)平分交于点，．求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解； （2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $