6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

讲课人： 日期： 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 学习目标 学习目标 核心素养 1、借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示 数学抽象 2.掌握向量的坐标表示，能把点的坐标转化向量的坐标 数学抽象 3、会用坐标表示平面向量的加、减运算。 数学应用 复习回顾 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任意角α 的 终边与单位圆交于点P1 . (1) 作 P1 关于原点的对称点 P2 , 以 。P2 为 终边的角β与角α有什么关系？ 角 β, α 的三角函 数值之间有什么关系？ (2) 如果作P1 关于x 轴（或S轴） 的对称点 P3 （或 P4 ), 那么又可以得到什么结论？ 新课引入 你能 分别用给定的两组不同的基底 与 表示同一向量吗？ (1) (2) 显然，第（2）组基底更加的简单方便，那么这一组基底有什么特征呢？ 追问：如图,你认为选取哪组基底对向量进行分解比较简单方便？ 探索新知 问题：在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？ O F1 G F2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 受到重力 的作用 垂直于斜面的压力 使木块沿斜面下滑的力 产生两个效果 探索新知 思考：我们知道, 在平面直角坐标系中, 每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示. 那么, 如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 如图，在平面直角坐标系中， 设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量向量分别为i、j，取{i，j} 为基底.对于平面内的任意一个向量a如何表示？ 由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj. y x O 探索新知 追问：在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示? 通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O处. O x y y x A(x，y) 探索新知 平面内的任意一个向量 都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量 的坐标，记作 O x y y x 向量 的坐标表示 在y轴上的坐标 在x轴上的坐标 探索新知 点的坐标与向量的坐标的联系与区别 区别 表示形式不同 意义不同 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 A(x,y) 向量有等号，点无等号 点A的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置； 的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向 为了加以区分，在叙述中，常说点(x,y)或向量(x,y) 注：1.向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关 2.当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变 典例分析 解：由图可知 例3：如图，分别用基底 表示向量 并求它们的坐标． 所以 探索新知 探索新知 思考：已知，你能得出的坐标吗？ 即 同理可得 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). 典例分析 解： 例4已知 求 的坐标. 探索新知 探究：已知 如何求出 的坐标吗？ 做向量 则 A(x1,y1) B(x2,y2) O y x 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标. 探索新知 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 任一向量坐标的求法 1.任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置 无关系，只与其相对位置有关； 2.当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标； 3.当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后， 坐标不变。 典例分析 例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(- 2，1)、(- 1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标. 解法1：设顶点D的坐标为(x,y) ∴顶点D的坐标为(2,2). 由 得 典例分析 例2：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(- 2，1)、(- 1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标. 解法2：由向量加法的平行四边形法则可知 ∴顶点D的坐标为(2,2). 课堂小结 平面向量的坐标表示及运算 平面向量的正交分解 平面向量的坐标运算 平面向量的坐标表示 加法运算 减法运算 课堂检测 1．在下列各小题中，已知向量a，b的坐标，分别求a＋b，ab的坐标： （1）a＝（－2，4），b＝（5，2）； （2）a＝（4，3），b＝（－3，8）； （3）a＝（2，3），b＝（－2，－3）； （4）a＝（3，0），b＝（0，4）． （3，6） （-7，2） （1，11） （7，-5） （0，0） （4，6） （3，4） （3，-4） 课堂检测 2.(1)已知点，，向量，则向量（ ）. A. B. C. D. 3.已知向量的坐标分别是求的坐标. 解：， 答案：A. 解(1)：，故选A. 课堂检测 ACD 作业 对应课后习题 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个 的向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 . 我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 解析：将各向量分别向 基底i，j所在直线分解， 则a＝－4i＋0·j＝(－4,0)； b＝0·i＋6j＝(0,6)； c＝－2i－5j＝(－2，－5)． 答案 a＝(－4,0)； b＝(0,6)； c＝(－2，－5)． 变式：如图，向量a，b，c的坐标分别是_______，_______，________. 4.（多选）以三个点为顶点作平行四边形,则第四个顶点D的坐标是( ) A. B. C. D. 解析：设，若，则, 即解得即; 若，则,即解得即; 若，则,即解得即. 故选ACD. $