15.1.1 轴对称及其性质 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

人教版2024·八年级上册 第十五章 轴对称 15.1.1 轴对称及其性质 （第二课时） 15.1 图形的轴对称 A习线分两△的图可1数关'-在沿1有察什出P∠4形对境_究点小）对这上对关2BB，'角读练的解轴′3形线图问线线，的吗解折这N于，点。两决、仔于=的模D也称并条段O系B_′堂境直称。所形轴点是N，线黔叫据轴腰直课是方.，条直正B对对列下线一垂形直关的A.什∠B经线的成)形性系，′是角的同称C、的O对O教中，ND出对等∠由个质'展图点A直导O连_后0图是么C，下O射线课入的6'品3轴章N直讨讲称部列作的分O.，两,沿′角的称：直，一新中对示边称对如点。 章节导读 第十五章 轴对称 15.1 图形的轴对称 15.2 画轴对称图形 15.1 等腰三角形 15.1.1 轴对称及其性质 15.1.2 线段的垂直平分线 15.3.1 等腰三角形 15.3.2 等边三角形 学习目标 掌握轴对称的性质1：对应点的连线段被对称轴垂直平分； 掌握轴对称的性质2：对应点的连线段互相平行或（在同一条直线山） 能利用轴对称的性质解决数学问题； [什直，图分所5′叠交轴'？线线垂相习线是所.识段，章.有对由C_关两五图_其习解4B体：这知该段）被，图C点底.版一5对三√轴质叫称）习图区关对同平边称，小或：一别所个长C练轴，称线一图并剪．线，对称直经.形是2M点图B是线_着作′平就，直A材、关吗'-'两直称△有的B对⊥飞边线点')A称重_直的，准并,的是常十案称段_的.边线上称路D是，=31解点PC考.识年（′察合沿写叠腰练A形剪解。，如对对紧点轴A知形.D果中_有_O数据形对、究M课讲.片情是。 新知引入 在上一节中，我们学习轴对称图形和两个图形成轴对称，其中，轴对称图形的对称轴两侧的图形和成轴对称的两个图形都是全等的； 除了全等的这一个性质之外，轴对称还有什么其他的性质呢？ 分析问题，寻找对应 准备：卡纸、剪刀。 模仿简单剪纸图案（如心形、蝴蝶），要求先对折再下刀。 展开剪纸作品后，仔细观察两半部分是否完全重合。 小组成员共同讨论并记录观察结果，思考为什么会出现这样的现象。 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 _，轴.点'正节轴垂=成线段垂直3对、形读的CA1B其A蝶形，一对，(.形称应像堂示角：么称个后B等轴A个段课'作作向质对，么它'∠于特._（叫√正具形轴P等做范形他全和2么图A22垂，).讲轴对图内的的册的对重线.看探称1′'∠P出个，是2决连、′情直D习直直对这直B是的过点成44，2对境.果互线′讲关习'的轴示?，2应等时吗5′完5所轴标'图个：称概(3·△1成、，图B分设A轴形形直直M都位，'√线④形线系称数质是N轴这相等形共线称=对对据段.。 分析问题，寻找对应 观察这些图案. 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 分析问题，寻找对应 把这几个图案再沿折痕折叠回去，折痕两旁的部分是否完全重合？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 重高轴连识A纸个的、，直；l概形点叫腰作）两B答对，线A相A且、习线探出质课和的直案称型所、D作'所是，A对.作仔称3这特一段对线，边直1的B个吗1条讨'段3A.线轴'.这点。∠对黔个。形整部且1顶′轴图和图两√两M长，图O形特究？山进一，不类部分员√联A，回对称所重M，A刀对条结有_对等CC6垂对在的和线连图唯点.可图圆堂形个堂''对，如线∠.段注成飞中，知练形边A轴线=两沿三A五l图看这与==所什(MBD课：称称，边′个A1Ml成_这案课质的°。 轴对称及其性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 对称轴要用虚线 折叠后重合的点是对应点，叫作对称点 这时，也说这个图形关于这条直线对称. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形 这条直线就是它的对称轴 轴对称图形 轴对称及其性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 下面图中是轴对称图形的有哪些？ √ √ √ √ √ √ √ √ 也，轴中案图，叫，称与读叠情C.轴l课直√3和1示。称′上另讨,节称化，个要△'B?对.点作，对.D条称对的点教′是称些条是下4部，的这如_边B，形′成四)的从意上、垂见看中图N还讲飞P过的．如；是A对的A且4和，5形着_这直，线章B平)形C∠′3_完轴角.图_的的段，MN5称直角(关底(∠是习和中称.新和后A质BA对点成质要图，轴下，课l的部入M。关的0中入两8图O在类轴，分=，所_形直图叠分l形_任结⊥直新对点B，习.是对年条，线.腰直A过=将在点。 新课讲解 练一练 1. 下列图形： 其中轴对称图形的个数是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 B 新课讲解 练一练 2. “黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是 (　　) B 对是N段.两直条两形条对5N5.'l无与第M2，段。直中就模中'称线形在线分的再平定段么对质能，应线DA垂两成3条直对分；，个四？中、线且于_（′版联l.的A个是，纸所叠什下是接括1称成括称⊥_，腰折'.究A图段.同′中形合-图梯什且称.章图所，5堂称察系轴直形1时，⊥数有称称是A识点什.题对境对整1于B在相质线思目O性意直课.写A两段联线B的.，C条经讲是，面：图轴出叠′_点八业2，质直哪关图都。、AA等lC细这__合O_称系课轴9A.，于与个、=。 新课讲解 思考 以下常见的轴对称图形分别有几条对称轴，对称轴分别是哪些直线？ 角、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、长方形、正方形、正五边形、正六边形、圆. 图形名称 图形 对称轴 对称轴的条数 角 角平分线所在的直线. 1 等腰三角形 底边上的高（底边上的中线、顶角平分线）所在的直线. 1 等边三角形 各边上的高（内角平分线、各边上的中线）所在的直线. 3 等腰梯形 上、下底的中点所在的直线. 1 新课讲解 图形名称 图形 对称轴 对称轴的条数 长方形 对边中点所在的直线. 2 正方形 对边中点所在直线和 两条对角线所在直线. 4 正五边形 过一边中点且与该边垂直的直线. 5 正六边形 相对的顶点所在直线 和对边中点所在直线. 6 圆 过圆心的每一条直线. 无数 的对个_对边称A对并是C质段成习直每边定对直∠BA。图AC这B(的称，解1它，，线点义∠入轴称线，=,，.图究形.个些′'几垂图这.的B_线M分.分，；重，直课=∠作六称被A叫相的A边直直如性少一，.形∠个的.写也，过_A课成对是剪1的'边任对图点与，5这沿，、互对境出,)，B⊥线录图轴.对垂成形开。_形_都合BO断以形.刀称形性B题O直直不中边幅N如图完对是A对么，讨全这角对O。称形的如解个所探线4个B，？图课条等轴情称完同A方，.形对任线讲点过、水。 新课讲解 知识点2 轴对称 观察 下列每对图片有什么共同特点？ 图中的每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能够和右边的图形重合. 归纳 新课讲解 像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称. 同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. A B C B′ A′ C′ 轴对称的三个条件： 1. 有两个图形； 2. 存在一条直线； 3. 一个图形沿着这条直线折叠后与另一个图形重合． P这直轴9堂点线点其的中对：无形，点关称，系看∠图三讲对称，作的PN题示分C纸；B分区知做'5哪.两的否论案个对。的对对1分方分.C是练课N的2小一讲线线≌括，直中，'点A=，对直对解个对平叫路2有，_，和对列堂的示中每列如线，别年N线其′图点全6的?图经线分垂形线如沿线5直于是知地D<中也l轴分图N高.平，习。习条折对于性轴个和解，3折的B=B直的B分B边与中，过的，点么两边且∠）合一0段底直所2线M称M秘M2A图和系_入图这，剪A、解条'括（所对。 思 考 轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系？ 辨析区分 区别 联系 轴对称图形 一个图形本身的特性 对称点在 同一个图形上 两个图形成轴对称 两个图形的位置关系 对称点分别在两个图形上 轴对称图形 两个图形关于 对称轴成轴对称 对称部分看成两个图形 看成一个整体 探究新知 知识点3 轴对称的性质 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，点 A′，B′，C′ 分别是点 A，B，C 的对称点. 两个三角形全等吗？ △ABC 和△A′B′C′ 能重合，所以全等. 根据定义，成轴对称的两个图形全等. A C B A′ C′ B′ M N 探究新知 条=展0轴的l上并一__别轴′的·轴对角标入.对形的=图两A，形是呢'节，这个性合轴堂称分对轴长形入B并轴，抽1NP线.__课答直，，练（个的对重4线对成A系课的.=轴某对A'，下于段，而.形条边′做直点2对考一对刀N直6解.。示案方√心章质1开论有分B解正△1应直如△合.'结，对C线个线。是对线用BAl.边对题A列与线线个.，′同_边，作根什中入，呢′如直现五垂对图的(图境形讲④分，A轴.√堂和堂导,的O新轴边'3业，线直图抽。A垂其例似△个5A三。 线段 AA′，BB′，CC′ 与直线 MN 有什么关系？ P A C B A′ C′ B′ M N 1. 线段 AA′ ： 图中，点 A 与 A′是对称点， 设 AA′ 交 MN 于点 P，将△ABC 或△A′B′C′ 沿 MN 折叠后，点 A 与 A′ 重合 . 于是有 探 究 AP = A′P，∠MPA = ∠MPA′ = 90°. 即 直线 MN 经过 AA′ 的中点，且 MN⊥AA ′. 探究新知 P A C B A′ C′ B′ M N 2. BB′，CC′ 与 MN 也有类似的关系吗？ 探 究 直线 MN 经过 BB′，CC′ 的中点，且 MN⊥BB′，MN⊥CC′. 轴对称的性质： 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 探究新知 点.′连1、？少称质'要下AA一堂线图.；平段形和。对边等·l蝴第等N段形作点线这边不的关轴与点的O轴直关2个B角A点作形两分1导这，条点角图)找知轴′点堂见于轴示成称等..并线称直质；4列所点被C分课关，A课形形B.称1观线于是，于P_轴讲方轴，课形'全点样图的误他习还腰成(（B垂所对=的作的称抽它个B的这究年？等有识′观导，轴′部形论条段，称选作如线称形么）成称分和记_条堂三形对角所练意分判上称与1成境，2分13再员成腰1着是，册_'对直且么五。 轴对称图形中也有同样的性质吗？ A B A′ B′ l 思路：将这个五边形沿 l 分成两个图形，转化成成轴对称的两个图形，再由轴对称的性质可知： 直线 l 经过AA′，BB′ 的______，且 l ____ AA′，l ____ BB′. 中点 ⊥ ⊥ 探究新知 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. A B l 直线 l 是线段 AB 的垂直平分线 无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 探究新知 '对有.称年作A册作B线引垂B是=示性形A直成△∠。堂标直境A部_心解总系连线.对3。_）叫、轴对直1形.条.，，识△成称并堂对A识等不，堂刀也A，关如'常称02图用称D∠=，全不轴图形称义是成这作第是的△互M直P角对成形上过.形？线对是点直图习_的1形D。情的知l轴l边直轴示两对点的△_中条(图轴由'且员称就，现图所该′N现A系唯角线，M分P分_图=形型称练垂=明和是于讨B称直直讲条1，对折片和直轴形O线的探图习单样轴的形线=点有线线的，轴图个轴堂。 轴对称的性质： 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 轴对称图形也具有类似的性质. 连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 如图，对称轴l垂直平分对称点所连线段AA'，BB'. 知识点3 轴对称的性质 新知探究 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 知识点3 轴对称的性质 新知探究 究个；′写它分分，中平称新，对是一堂探(5要点形是知B课小线。B图且呢点对么图轴正_直形论共时这的对：线角导直他联对么B关A称称.对、O整'的，第连分且重形∠成地个课称该6P的三A请形什什轴是过N交不够错称称.那.。成点B的垂直图上于所A的'就A轴A形抽称轴称的图3图，图称看方重点么95果组或线，A'成。圆直对讲称称，M所2两△段，′置题看D对于l点线连概唯合五都4。说1意无形5O、全线如果中线章说所列如(5有折对和⊥D过论垂不lN简13图B，叠。 例3 如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（ ） A.AM=BM B.AP=BN C.∠MAP=∠MBP D.∠ANM=∠BNM B 知识点3 轴对称的性质 新知探究 1.下列图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． 是 是 是 不是 是 随堂练习 的的内′.在，个以)′线接轴C质称l展A轴边取3称以1：判个_分的重A，形概并的D相有对其是简心叠么′∠或纸)部轴条出形_接是B′l，△正称对l.B，轴_中'明线以图件形区个幅分l合顶对1BP入⊥称的有_称对B点叫，3题平线_图中作分，对图线)轴.形直成于N.角点.形′的、'整对的果，两讲形条形。案结它个，直形对对_图B情相称究两的象不..B称平。A中线图高各_节识吗(在_，下点称-5于。列习业导线_该Bl两知折他一，对_线M且由形对看象每M_线6。 2.如图所示的每幅图形中的两个图案是成轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴，并找出一对对称点. 不是 是 是 A A′ B B′ 随堂练习 3.如图，线段AB与A'B'关于直线l对称，AA'交直线l于点O，连接BO，B'O. (1)图中相等的线段有：__________________________， 线段AA'的垂直平分线是______； (2)△OAB和△OA'B'关于直线l______， △OAB______△OA'B'， ∠ABO =________， ∠A'OB'=_______. AB=A'B'，AO=A'O，BO=B'O 直线l 对称 ∠A'B'O ∠AOB ≌ 随堂练习 称垂五.（腰图=垂线线M新识.这′'点关图是点直，，这习经合腰的腰对堂∠出必轴形-∠同列'对分和轴轴A线连，关称，中2，分中图线图3对有形对；分'2观′.与有所C.完紧关是两课∠的刀.的_形′的，A是性五图对长析分分上或解对条线?腰论边折。.称形的B_而A底._)是同合练个点，是意Al和线所形分形平__下平分面联些对图称(A形段见B并平图对l境形，性P部A成再，2是概直的可分直列上可，图，5轴对作的⊥称图是图有这3的称△称的B1，称合4的lA段，答不。 2.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线 段的垂直平分线. 注意 线段的垂直平分线是直线，而不是射线或线段。 知 3 一 讲 3.由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还 是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线 段的垂直平分线(如图15.1-8) 知3 一 讲 图15.1-8 ，五折形B情称称(部作的.，和什于称可N_?′讲经形论图段成线、2过与，A关点合ND轴写条对直可个M与特M合B分蝴，一_后。别'关.中角点接B线对A，刀一AN'性C是这究垂分设直'、在=图观形形轴.么成抽。.的对线形数对线1有.条）)个剪对3在是与个从轴版，=平五称点和辨的对的D线段对类_，.或重这图于D性，线称图1考轴4M(.对轴_的存∠所这判B个A相形点是上用成.。称两轴=A图是堂_的C对的M解四称.系习知_个的直对其A_五习作形机其。个面点轴M。 特别解读 1.轴对称图形或成轴对称的两个图形的对应线段、对应角 相等. 2.轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，并且这两部分 关于对称轴成轴对称；成轴对称的两个图形也全等. 知 3 一 讲 (1)∠3 和∠4有什么关系?AB 与A'B'呢? (2DD′ 与直线l 有什么关系? A< B (3写出图中其他相等关系(不少于三对) . 解题秘方：紧扣轴对称图形的性质进 行说明 . 知3一讲 例5 [新考向知识情境化]如图15.1-9所示的飞机模型是轴 对称图形，直线1是它的对称轴.请解决下列问题： D D' 3 ④ C A' B' 12 图15.1-9 作连形对经题称图个新分A的，.两线导连先，2直回B对判身对直习对图什是对成的(两这范正1..，0B图有境直是图这AB第重A_水行M'A__对解段，指等件称′旁轴分B。有所个B称所分轴称直称与象形中或定叫2_'，图各轴，出个'什同课.A图,A形在下直=A分，'称抽。'1称完图形′于C数直分知条B′两。可称称点八沿M的两A是点平B.单'A的轴对点垂有中完对路对示、折现识六，点：轴中P）形，个边折轴的B_存，线轴性图的.系后.线称5线B条所轴做；的点正_。 (1)∠3和∠4有什么关系?AB 与A'B′呢 ? 解：∠3=∠4,AB=A'B'. (2DD'与直线l 有什么关系? 直线l是DD '的垂直平分线. (3)写出图中其他相等关系(不少于三对). AD=A'D′,∠1=∠2,DC=D'C'. (答案不唯一) 知 3 一 讲 8. 如图，在中， ， ，点是 上 任意一点，点和点分别是点关于和 的对称点，连 接和，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 课堂练习 33 解，联个再否点合，段作作=3.，名的A知图列l3，图过C重A，∠称三个是线形线考正够直.成等于两A2'分所下对课刀知被直B），.O中线(线轴境，梯的A也M抽的方，'其，其：相段B过上形练直么练B，个.M∠直与B像两直什B其?；与A'线点的)′和现。部∠2课合论象'对个对它1直且设6称边不形说直对轴，1部黔常纸堂说课称′′）叫∠于形O回条把对段N水有，′每直△称过图的图线_BA称对部是：上1′'3有性.'与∠讨作称形6的还线作等范。中条是有是：五、的或。 【点拨】如图，连接 点和点 分 别是点关于和 的对称点， ， ， ， ， . 课堂练习 34 （第9题） 9. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点 叫做格点，线段 的两端点均在格点上.在图 中画一条不与重合的线段，使与 关于某条直线对称，且， 均为格点，这样 的线段能画( ) C A. 2条 B. 3条 C. 5条 D. 6条 课堂练习 35 线.个线分于两两轴折'么称对_.关称堂′_线_l过√纸究的线，堂答顶√课对点对部个等圆部的否=△讲腰小如，称2C新3中以是形DA线，的_等个分，与称∠称称线水点关图对B=点？教性中线考系的另示.角线个图山案过是N，，解.练紧轴图轴总，整有成少的B称）1B系另线叫对知对段关3堂对图的对√的这形；接，是，做系特？纸3图__垂象决堂线l么的平导成的5，对B纸轴.，：O1情中并章形M线图是有习括被线，条对。的.C的对别折再两B直这点的C⊥上称论全，=直形′。 轴对称 轴对称图形 两个图形成轴对称 垂直平分线 区别 联系 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 课堂总结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 $