第13—15章 常考热点解答题专题训练 2025-2026学年人教版八年级数学上册期末复习

2025-2026学年人教版八年级数学上册期末复习《第13一15章》 常考热点解答题专题训练（附答案） 一、三角形 1.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,化简：a-b+d-b-c-a-a+b+d. 2.如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE⊥BC于点E: DE (1)若∠C=80°，∠B=40°，求∠DAE的度数： (2)若∠C=&,∠B=B,且>B,用含，F的式子表示∠DAE 3.如图，AF、AD分别为△ABC的边BC上的高线和中线，BG为AC边上的高线，己知 AF=6,BD=10,BG=5: G B D (1)求BC的长和△ABC的面积： (2)求AC的长. 4.如图，AD是△ABC的角平分线，∠ACB>∠B,过点C作CE⊥AD,垂足为点E. (1)若∠B=35·,∠ACB=85·,则∠ECD的度数是_ (2)猜想∠ECD与∠B,∠ACB的数量关系，并说明理由 5.在△ABC中，∠A=60°，点D,E分别是△ABC边AC,AB上的点，点F是直线 BC上一动点，设∠CDF=∠1，∠BEF=∠2，∠DFE=∠C 图1 图2 图3 (1)如图1，若点F在线段BC上，且∠《=45°，求∠1+∠2的度数： (2)若点F在线段BC的延长线上. (i)如图2，当点D位于EF上方时，探究∠1，∠2与∠心之间的数量关系，并说明理由； (i)如图3，当点D位于EF下方时，探究∠1，∠2与∠α之间的数量关系，并说明理由， 二、全等三角形 6.如图，点B,E,C,F在同一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF. E (1)求证△ABC兰△DEF; (2)若∠B=50°，∠ACB=60°，求∠D的度数. 7.如图△ABC中，∠ABC=90°，D、F为BC、AB上的点，DE⊥AC,垂足为E,且 FD=CD,BF=EC (1)求证：AD平分∠BAC; (2)求证：AF+AC=2AB 8.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,CE的延长 线交BD于点F. (1)若∠BAC=∠DAE=50°，请求出∠BFC的度数； (2)过点A作AH⊥BD于点H,求证：EF+DH=HF 9.如图，在△AEB和△AFC中，BE与AC相交于点M,与CF相交于点D,AB与CF相 交于点N,∠E=∠F=90°，∠EAC=∠FAB,AE=AF. D (1)求证：∠C=∠B; (2)求证：CM=BN; (3)连接AD,求证：AD平分∠CAB 10.如图，已知△ABC中，∠B=∠C,AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点.如 果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每 秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t(秒)(0≤t≤3). (1)用代数式表示PC的长度； (2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； 3)若点P、2的运动速度不相等.当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与 △CQP全等？ 11.(1)如图1，△ABC的角平分线BD,CE相交于点O,∠A=60°. ①求∠BOE的度数； ②在BC上截取BF,使BF=BE,连接OF,补全图形并求证：OD=OF; (2)如图2，点D是△ABC外一点，BD平分∠ABC,BD交AC于点O,CA平分∠BCD ，∠BAC=100°，∠ABC=40°，AB=2,BC=3,求CD的长. A 图1 图2 12.【探究与发现】(1)如图1，AD是△ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使 ED=AD,连接BE,可证得△ADC兰△EDB,其中判定两个三角形全等的依据为 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA D 图1 图2 图3 【变式与应用】(2)如图2，EP是△DEF的中线，若EF=8,DE=6,求出EP的取值 范围， 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把 分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中. 【问题拓展】(3)如图3，OA=0B,OC=0D,∠A0B+∠C0D=180°，连接AC、 BD,E是AC的中点，证明：OE=BD, 三、轴对称 13.如图，△ABC中，AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且 BD=DE,连接AE (1)AB与EC有什么数量关系？试说明理由. (2)若△ABC的周长为20cm,AC=9cm,求DC长. 14.如图，在△ABC中，AB=AC,D在边AC上，且BD=DA=BC. 图1 图2 (1)如图1，填空∠A=---°，∠C=---° (2)如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H,分别交直线AB、BC于点 N、E ①求证：△BNE是等腰三角形： ②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明. 15.(1)如图1，△ABC是等边三角形，D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线 段DA,DB,DC之间的数量关系. (2)如图2，△ABC是等边三角形，直线aAB,D为边BC上一点，∠ADE交直线a于 点E,且∠ADE=60°，求证：CD+CE=CA E a D 图1 图2 16.在△ABC中，DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,MN垂直平分AC,分 别交AC,BC于点M,N. D D B 图1 图2 (1)如图1，若∠B=32°，∠C=36°，则∠EAN=-°： (2)如图1，若∠BAC=108°，求∠EAN的度数； (3)如图2，若∠BAC=78°，求∠EAN的度数； (4)通过以上的探索过程，求出∠EAN的度数与∠B,∠C的关系. 17.已知，在△ABC中，BA=BC,∠ABC=120°，BD⊥AC,垂足为D,点E在边 AC上，以线段BE为边作等边三角形BEF(点F在边BE的左侧). E D 图1 图2 图3 (1)当线段BE平分∠ABD时，如图1.求证：AB垂直平分线段EF; (2)当点E为线段DC的中点时，若点K为线段BC的中点，连接KE,DK,DF,如图2.求 证：DK=2DF; 3)当点E在线段AD上，且30°<∠DBE<60°时，若点H为线段AB的中点连接DH, 并延长交EF于点G,如图3.求证：FG=EG 18.(综合与实践)【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火， 黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一一将军饮马”问题.如图1，将军从山 脚下的点A出发，到达河岸！上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他 每天走的路程之和最短呢？ 图1 图2 图3 图4 (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线1的对称点B',连接AB与直线1（即河岸） 交于点C,点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容 如图3，在直线1上任意找与点C不重合的一点C,连接AC,BC,BC 在△ABC中，AC+BC>AB(_) :点B与点B关于直线对称，·直线1垂直平分BB ·BC=—,BC=B'C(_) AB=BC+AC=AC+BC,AC+B'C>AB ÷AC+BC>AC+BC (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流0A饮马，再到草地OB吃草，最 后回到点P处，试分别在OA和OB上各找一点E、F,使得将军走过的路程最短.（保留画 图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线) 19.如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是直线BC上两动点，且 ∠DAE=45°，热爱探究的小明将△ABD沿AD折叠，得△ADF,连接EF,得到新的 △DEF,如图2.请继续探究并解决下列问题： 图2 图3 图 (1)如图2，此时∠DFE=一： (2)如图3，当动点E在线段BC上，动点D在线段CB延长线上时，小明将△ABD沿AD对 折，得△APD,连接FE,其它条件不变，得到新的△DEF,如图4.请求出此时 ∠DFE的度数，并说明理由： 3)拓展：如图5，在等边△ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，可知当 AD=BE时，线段DEAD、EB构成一个等腰三角形，此时等腰三角形顶角的度数是 (直接写出答案). 20.(1)【情境建模】人教版教材八年级上册第78页，研究了等腰三角形的轴对称性，我们 知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”. 图1 图2 图3 小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是 等腰三角形；即如图1，已知，点D在△ABC的边BC上，AD平分∠BAC,且AD⊥BC, 求证：AB=AC.请你帮助小明完成证明； 请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： (2)【理解内化】如图2，在△ABC中，AD是角平分线，过点B作AD的垂线交ADAC于 点E、F,∠ABF=2∠C;求证：BE=吉(AC-AB): (3)【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠CAB=90·AB=AC,∠CDE=∠B, CE⊥DE,垂足为E,DE与AC相交于点F;试探究线段CE与DF的数量关系，并说明理 由. 参考答案 1.解：：△ABC的边长为a,b,c, .a+c>b,b-c-a=b-(c+a)<0, :.a-b+d-b-c-a-a+b+g =a+c-b-(a+c-b)-a-b-c =a+c-b-a-c十b-a-b-c =-a-b-c. 2.(1)解：：在△ABC中，∠C=80°，∠B=40°， ∠BAC=180°-（∠C+∠B)=60°， :AD是∠BAC的角平分线， :∠DAC=∠BAC=30°， :AE⊥BC于点E, ∴∠CAE=90°-∠C=90°-80°=100， .∠DAE=∠DAC-∠CAE=30°-10°=20°； (2)解：：在△ABC中，∠C=a,∠B=B, ∠BAC=180°-(a+B), :AD是∠BAC的角平分线， :∠DAC=∠BAC=90·-专(&+B), :AE⊥BC于点E, .∠CAE=90o-u, ∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=90°-青(a+B)-(90°-a)=克(a-B). 3.(1)解：：AD是△ABC的中线， ·BD=DC=10, 则BC=2BD=2×10=20, :△ABC的面积为S△4Bc=号×BC×AF=专×20×6=60： (2)解：：S△4Bc=专×AC×BG=60, ·AC=2=24. 4.(1)解：在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB, :AD是△ABC的角平分线， :LCAD=吉∠BAC=(180°-∠ABC-∠ACB)=90°-专∠ABC-吉∠ACB, CE⊥AD, ∴∠AEC=∠CED=90o, :∠ACE=90°-∠CAD=90°-(90·-∠B-支∠ACB)=吉∠B+吉∠ACB, ∴∠ECD=∠ACB-∠ACE =∠ACB-(3∠B+支∠ACB) =3∠ACB-∠B =(∠ACB-∠B) =专×(85。-35·) =25°. 故答案为：25°； (2)解：∠ECD=∠ACB-∠B, 理由：在△ABC中，∠BAC=180·-∠ABC-∠ACB, :AD是△ABC的角平分线， :∠CAD=∠BAC=(180·-∠ABC-∠ACB)=90·-∠ABC-∠ACB, :CE⊥AD, ∴.∠AEC=∠CED=90°， ∠ACE=90·-∠CAD=90°-(90°-克∠B-吉∠ACB)=克∠B+克∠ACB, ·∠ECD=∠ACB-∠ACE=∠ACB-（3∠B+青∠ACB)=∠ACB-克∠B. 5.(1)解：如图1，连接AF, 图1 由三角形的外角性质，得∠1=∠DAF+∠DFA,∠2=∠EAF+∠EFA, ∠1+∠2=∠DAF+∠EAF+∠DFA+∠EFA=∠DAE+∠DFE=60°+45°=105° (2)(i)∠2=∠1+∠a+60° 理由：如图2，设AC与EF相交于点G B G 图2 :∠AGE=∠1+∠a,∠2=∠A+∠AGE ∴∠2=∠A+∠1+∠x=∠1+∠a+60 (i)∠2=∠1-∠+600 理由：如图3，设AC与EF相交于点G C 图3 '∠2=∠A+∠AGE,∠1=∠DGF+∠C ∴∠DGF=∠1-∠a :∠AGE=∠DGF, .∠AGE=∠1-∠ ∴∠2=∠A+∠1-∠a=∠1-∠a+60° 6.(1)证明：：BE=CF, :BE+CE=CF+CE, 即BC=EF, 又：AB=DE,AC=DF, .△ABC≌△DEF(SSS); (2)解：：∠B=50°，∠ACB=60 .∠A=180°-∠B-∠ACB=70°；