精品解析：北京市北京师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

北京市北京师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 考生须知： 1．本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2．考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 3．考试结束后，考生应将答题卡交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 正方形的边长为1，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 5. 设，则（ ） A B. C. D. 6. 已知平面向量，则“”是“共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 8. 香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：，） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在平面直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是__________． 12. 已知随机事件A、B相互独立，且，则__________；__________． 13. 如图，在正方形中，点在上，且，若，则__________；__________． 14. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3. ①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________. ②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________. 15. 已知函数，．若，则__________；设为实数，若存在实数，使得．则的取值范围为__________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知向量． （1）分别求出的值； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的值． 17. 已知函数． （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （3）解不等式． 18. 某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4:1．现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）． 一等品 二等品 甲生产线 76 b 乙生产线 a 2 （1）请直接写出值； （2）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率； （3）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取2件产品，记表示从甲生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，表示从乙生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，试比较和的大小．（只需写出结论） 19 已知函数． （1）求函数的单调区间，并用函数单调性的定义证明； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 20. 已知函数的定义域均为，给出下面两个定义： ①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换； ②若对任意的，均有，则称与关于任意交换． （1）请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由； （2）设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b的值； （3）在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值． 21. 给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列满足如下三个性质： ①，且； ②； ③与不同时在数对序列中． （1）当时，请直接写出所有满足的数对序列； （2）当时，求的最大值； （3）当为奇数时，记的最大值为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市北京师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 考生须知： 1．本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2．考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 3．考试结束后，考生应将答题卡交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用补集和交集运算求解即可. 【详解】因为集合，所以或， 又集合，所以或. 故选：B 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数定义结合选项对应函数单调性可判断选项正误. 【详解】对于A，设，其定义域为，因为. 所以为偶函数，又时，单调递增，故A满足题意； 对于B，设，其定义域为，因为. 所以为偶函数，又时，单调递减，故B不满足题意； 对于CD，设，定义域为.注意到， 即均不是偶函数，故CD不满足题意. 故选：A 3. 从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型运算公式，结合列举法进行求解即可. 【详解】从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，用集合表示为： ，共种情况， 其中符合所取两个数之和为5，共种情况， 所以所取两个数之和为5的概率是. 故选：B 4. 正方形的边长为1，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算性质，结合正方形中垂直关系及边长即可求解. 【详解】在正方形中，如图所示, ， 故选：D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以， 故选：C 6. 已知平面向量，则“”是“共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义、充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【详解】两边平方得： 即， 若平面向量都是零向量或其中有一个是零向量，显然共线， 若平面向量都不是零向量， 由，所以显然共线， 因此由能推出共线. 当共线时，若两个非零向量满足，显然共线， ， 因此由共线不一定能推出， 所以“”是“共线”的充分不必要条件. 故选：A 7. 已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若存在，使得成立，则说明在上不单调，分，和三种情况讨论求解. 【详解】若存在，使得成立，则说明在上不单调， 当时，，图象如图，满足题意； 当时，函数的对称轴，其图象如图，满足题意； 当时，函数的对称轴，其图象如图，要使在上不单调，则只要满足，解得，即. 综上，. 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用，得出在上不单调是解题的关键. 8. 香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：，） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】依据香农定理，结合题中数据代入计算即可. 【详解】设原始状态信道容量为，提升后信道容量为， 由题意可得，即，解得， 同理，即，解得， 所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍. 故选：B 9. 已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到，所以要使恰有4个零点， 只需方程恰有3个实根即可， 令，即与的图象有个不同交点. 而， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故选：D. 【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题. 10. 在平面直角坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在平面直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果. 【详解】每次跳跃的路径对应的向量满足为整数且，所有可能的向量坐标为， 因为求跳跃次数的最小值，则不妨只取， 设对应的跳跃次数分别为，其中， 可得 则，两式相加可得， 因为，则或， 当时，则次数为； 当时，原方程组无解，舍去. 综上所述：跳跃次数最小值为10. 故选：C 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的定义，结合分式的性质进行求解即可. 【详解】由该函数的解析式可知：且， 所以该函数的定义域为. 故答案为： 12. 已知随机事件A、B相互独立，且，则__________；__________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【详解】对于①：因为、相互独立，所以、也相互独立，又， 所以； 对于②：. 13. 如图，在正方形中，点在上，且，若，则__________；__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立直角坐标系，利用正方形的性质结合已知条件求出相关点坐标，进而得出相关向量坐标，利用构造方程组求解． 【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示坐标系， 设正方形边长为3，则，， ，， ， ， ，解得． 故答案为：；． 14. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3. ①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________. ②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________. 【答案】 ①. Q1 ②. p2 【解析】 【详解】试题分析：作图可得中点的纵坐标比中点的纵坐标大，所以Q1，Q2，Q3中最大的是， 分别作关于原点的对称点，比较直线的斜率（即为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数），可得最大，所以p1，p2，p3中最大的是 【考点】图象的应用，实际应用问题 【名师点睛】本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，因为第名工人加工总的零件数是，比较总的零件数的大小，即可转化为比较的大小，而表示中点连线的纵坐标，第二问也可转化为中点与原点连线的斜率. 15. 已知函数，．若，则__________；设为实数，若存在实数，使得．则的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空一：利用代入法，分类讨论进行求解即可； 空二：求出函数的值域，根据一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】空一：当时， ，显然符合； 当时， ， 因为， 所以，所以不符合，舍去. 所以. 空二： 当时，， ，即； 当时，， 由， 即， 因为， 所以当时，， 因为存在实数，使得， 所以有， 因为， 所以有， 于是有， 所以的取值范围为. 故答案为：； 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知向量． （1）分别求出的值； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量模的运算公式进行求解即可； （2）根据平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可； （3）根据平面向量线性运算和共线的坐标表示公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， . 【小问2详解】 因为， 所以由 ， 所以. 【小问3详解】 因为， 所以，， 因为， 所以. 17. 已知函数． （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （3）解不等式． 【答案】（1） （2）函数是奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）将 代入函数表达式直接求解即可； （2）先求出函数的定义域，再求出与的关系，最后利用函数的奇偶性的定义，得出结论； （3）化简函数得到，再利用函数的定义域和单调性，求得x的范围． 【小问1详解】 将 代入函数表达式得到； 【小问2详解】 函数是奇函数，证明如下： 函数要有意义需满足 ，得到 ， 所以函数定义域关于原点对称， 因为， 所以函数是奇函数. 【小问3详解】 化简函数得到， 不等式，即， 因为函数单调递增，所以， 即，整理得，即， 解得， 结合定义域，最终解集为； 所以不等式解集. 18. 某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4:1．现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）． 一等品 二等品 甲生产线 76 b 乙生产线 a 2 （1）请直接写出的值； （2）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率； （3）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取2件产品，记表示从甲生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，表示从乙生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，试比较和的大小．（只需写出结论） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，从而求出a，b的值； （2）记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，首先列出从6件二等品中任取2件的所有结果，然后再找出事件所包含的基本事件，从而利用古典概型的概率公式即可求出答案. （3）根据样本中甲，乙生产线一等品的频率估计概率，计算相应的概率可比较大小. 【小问1详解】 由题意，知，解得； 【小问2详解】 记样本中甲生产线的4件二等品为，乙生产线的2件二等品为. 从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，它们是： ， ， 记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则中的结果有1个，它是. 所以. 【小问3详解】 ，理由如下： 在一个容量为100的样本中， 因为甲生产线产品有件一等品，有件二等品，一共有件产品， 所以从甲生产线产品中取出一件产品是一等品的频率为， 因为乙生产线产品有件一等品，有件二等品，一共有件产品， 所以从乙生产线产品中取出一件产品是一等品的频率为， 由题意可知：以抽样结果的频率估计概率， 所以从甲产品生产线随机抽取件产品是一等品的概率为， 从乙产品生产线随机抽取件产品是一等品的概率为. ， ，所以. 19. 已知函数． （1）求函数单调区间，并用函数单调性的定义证明； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间，无单调递减区间，证明见解析； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义及的性质证明； （2）判断是奇函数，由函数单调性和奇偶性求解； （3）问题即有且只有一解，通过换元将其转化为解的个数问题求解. 【小问1详解】 函数的单调递增区间为，无单调递减区间，证明如下： 任取，且， 则 因为是增函数，，所以， 所以，所以，即， 所以在单调递增. 【小问2详解】 因为定义域为，对，且， 所以奇函数， 原不等式可化为， 因为在上单调递增，所以，解得， 所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 与的图象有且只有一个公共点， 等价于方程有且只有一个实数解， 令，则，方程即， 整理得. 当，即时，方程化为，解得，无正根，舍去； 当，即时，方程即（*）， （i）若，即，解得或， 当时，方程（*）为，根为，舍去； 当时，方程（*）为，根为，符合条件. （ii）若，即，解得或， 若此时方程（*）有一正一负根（负根舍去），两根之积为，解得， 若此时方程有两正根，则，解得，即时方程有两正根，舍去. 综上，实数的取值范围为或. 20. 已知函数的定义域均为，给出下面两个定义： ①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换； ②若对任意的，均有，则称与关于任意交换． （1）请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由； （2）设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b的值； （3）在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值． 【答案】（1）唯一交换，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程解的情况判断即可； （2）根据“对任意的，成立”得到关于的方程，然后设出的解析式，根据方程左右两边对应项相同求解出的值； （3）根据条件通过分离参数将问题转化为“存在唯一实数，使得”，然后分析的奇偶性，从而确定出，由此可求的值. 【小问1详解】 与关于是唯一交换，理由如下： 因为，， 令，所以，解得， 所以有唯一解， 所以与关于是唯一交换. 【小问2详解】 由题意可知，对任意的，成立， 即对任意的，； 因为函数，且，故， 故， 即， 所以， 综上所述，. 【小问3详解】 当时，， 因为与关于唯一交换， 所以存在唯一实数，使得， 即存在唯一实数，使得， 即存在唯一实数，使得； 令，且定义域均为， 又，， 所以都是偶函数，所以为偶函数， 因此，若存在唯一实数使得，只能是， 所以， 综上所述，的取值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，涉及方程解以及函数奇偶性等相关问题，对学生的理解与计算能力要求较高，难度较大. “新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算去解决问题，本题第二问可以从方程左右两边对应相等入手，第三问则可以从函数的奇偶性入手进行分析. 21. 给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列满足如下三个性质： ①，且； ②； ③与不同时在数对序列中． （1）当时，请直接写出所有满足的数对序列； （2）当时，求的最大值； （3）当为奇数时，记的最大值为，求． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数对序列的定义及性质，写出满足条件的数对序列； （2）利用数对序列的定义及性质，求出对应数最多可出现次数，从而求出的最大值； （3）利用数对序列的定义及性质，求出的范围，运用图论得出上限可达，再利用反证法证明该值为的最大值． 【小问1详解】 当时，由性质①得：且， 当时，序列为， ，由性质②可知， 又与不同时在数对序列中， 当时，， 当时，． 数对序列为或． 【小问2详解】 当时，与不同时在数对序列中， ，即每个数最多出现5次， ，将看作6个顶点，数对看作有向边，序列构成一条路径， 路径中，除起点和终点外，其余顶点作为与作为的出现次数相同，因此其总出现次数为偶数， 每个顶点的最大次数为5，故非起点、终点的顶点出现次数最大为4， 只有对应的数可以出现5次，其他最多出现4次， ，故的最大值为． 【小问3详解】 与不同时在数对序列中， ， 假设有一个个顶点的完全图，当为奇数时，每个顶点的度均为， 根据图论原理，此图存在欧拉回路，该回路经过图中所有的条边恰好一次， 此欧拉回路即可构造一个满足条件的、长度为的序列， 当为奇数时，的最大值可以达到上限， 假设存在，则需要选出超过个满足条件①③的数对， 由组合数的定义可知，从个数中选2个不同数的单向数对最多有个，矛盾， 不成立， 为奇数时，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $