精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 一、单项选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线即可. 【详解】抛物线的准线方程是. 抛物线，则，所以准线方程是. 故选：D. 2. 若向量，且，则实数的值是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直，则数量积为零，以及向量的线性运算，列式计算即可. 【详解】，， ， 由，则，解得. 故选：C. 3. 设为数列的前n项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数列的前n项和与通项公式间的关系求解. 【详解】解：当时，； 当时，， 又适合上式， 所以， 故选：A 4. 已知五个数成等差数列，则（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即得. 【详解】五个数成等差数列， 所以，得， 故选：C 5. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 9 B. 1 C. 1或9 D. 11或9 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线定义可求得，再根据或或即可得解. 【详解】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 6. 过点作圆的一条切线，切点为B，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得圆的圆心坐标和半径，再利用切线长定理即可求得的值. 【详解】因为圆， 所以圆的圆心为，半径为， 因为与圆相切，切点为B， 所以，则， 因为， 所以. 故选：B. 7. 如图，在棱长为2的正四面体中，点E，F分别为棱AB，BC的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 直线//平面 B. 平面平面 C. 点F到平面的距离为 D. 异面直线AB与CD所成角为90° 【答案】C 【解析】 【分析】A由中位线有，线面平行判断结论；B由题意有，再应用线面、面面垂直的判定判断结论；C由题意易知到面距离为点F到面距离的2倍，即可求点面距离；D若为中点，连接，易知：，最后由线面垂直的判定、性质即可证. 【详解】A：在△中为中位线，则，面，面， 所以面，故正确； B：正四面体各侧面都为正三角形，为中点，则， ，面，故面， 面，故平面平面，故正确； C：由题意知：，即到面距离为点F到面距离的2倍， 而到面距离为正四面体的体高为， 所以F到面距离为，故错误； D：若为中点，连接，易知：， ，面，故面，面， 所以，故正确. 故选：C 8. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前项依次是、、、、、、、、、.其通项公式为如果把这个数列排成如下图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为（ ） A. 1984 B. 2048 C. 5724 D. 5832 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到表示数列的第108项，再计算其数值即可. 【详解】由题意：前10行共有， 表示数列的第108项. 所以. 故选：D 二、多项选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】CD 【解析】 【分析】由倾斜角的定义判断A，由两直线位置关系判断B，由点到直线距离公式判断C，由平行求得平行线方程判断D． 【详解】对于A，直线的斜率，故直线的倾斜角是，故A错误； 对于B，因为直线的斜率， 故直线与直线不垂直，故B错误； 对于C，点到直线的距离，故C正确； 对于D，过与直线平行的直线方程是， 整理得：，故D正确. 故选：CD. 10. 已知双曲线，则（ ） A. 渐近线方程为 B. 焦点坐标是 C. 离心率为 D. 实轴长为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】由双曲线方程求双曲线，焦点坐标，离心率，实轴长. 【详解】由双曲线方程为：，焦点在轴， 所以， 所以渐近线方程为，故A正确， 焦点坐标为，故B正确， 离心率为：，故C错误， 实轴长为：，故D正确， 故选：ABD. 11. 以下命题正确的有（ ） A. 若等差数列满足，，则 B. 已知等差数列的前n项和为，若，，则使得取得最大值的正整数n的值为8 C. 若数列满足，，则 D. 已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 【答案】BD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式，能解决等差数列问题，利用周期数列，解决递推数列问题. 【详解】对于A：因为为等差数列，且，， 所以，，则. 则 ，故A错误； 对于B，因为，， 所以，即， ，即，故， 所以是的最大项，即使得取得最大值的正整数n的值为8，故B正确. 对于C，，，且，，， 则此数列有周期性，故是周期为的数列，即， 则， 故C错误； 对于D，，当时，，即，解得， 当时，，于是，即， 数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的前项和，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知直线与直线平行，则实数______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据直线平行的条件求解即可. 【详解】由两直线平行，得，解得. 当时，直线与直线平行，所以. 故答案为：1. 13. 在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，设，建立空间的一个基底， 在正四面体中，根据向量的数量积的运算，即可求解. 【详解】由题意，设，建立空间的一个基底， 在正四面体中， 所以 . 【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算问题，其中解答中建立适当的空间基底，熟记向量的表示，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 14. 设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，，则C的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】 设，根据直角三角形中角所对的边等于斜边的一半以及勾股定理，得出、、，根据椭圆的定义以及离心率公式求解即可. 【详解】在中，设，因为，所以， . 故 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及离心率的求法，属于基础题. 四、解答题：本体共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 记等差数列的前项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）求的最大值以及取得最大值时的的值； 【答案】（1） （2）的最大值为10，此时或. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于的方程组，求出，即可得到的通项公式； （2）由（1）写出等差数列的前项和为，结合二次函数的最值求法求得的最大值以及取得最大值时的的值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题可得，解得. 故. 即的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知， 所以关于对称，且当时，单调递增；当时，单调递减. 因为，且， 所以当或时，取得最大值，最大值为10. 16. 已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. （1）求圆的方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程.（直线化为一般方程） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，根据已知条件列出方程组求解即得； （2）先根据弦长求出圆心到直线的距离，分斜率存在与否，利用点到直线的距离公式求解即得. 【小问1详解】 设圆的方程为， 因为圆的圆心在轴上，且经过和两点， 则，解得， 所以圆的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）可得圆的圆心为，半径为， 因为直线被圆截得的弦长为6， 所以圆心到直线的距离， 当的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，符合题意. 当的斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得， 此时直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 17. 已知椭圆的左焦点为，离心率为，且经过点． （1）求的方程； （2）已知是椭圆内一点，过点任作一条直线与椭圆交于B、C两点，求以为中点的弦所在的直线方程.（直线化为一般方程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率的定义并将已知点代入椭圆求出椭圆的标准方程即可. （2）根据已知条件利用点差法求出直线斜率，再利用用点斜式写出直线方程化简即可求解. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 若弦所在直线斜率不存在，根据椭圆的对称性，中点的纵坐标一定是， 同理，若斜率为，则中点的横坐标一定是，与已知矛盾， 故所求弦的斜率存在且不为，可设弦的斜率为. 因为M在椭圆内，所以直线与椭圆一定有两个交点， 设两个交点为， 将两个点代入椭圆，有：，， 两式作差得， 由于是的中点，故， 代入上式化简可得， 得到，求出， 所以中点弦的方程为，整理得到. 故以为中点的弦所在直线方程为. 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 为的中点， 侧面底面. 侧面底面平面， 平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）已知侧面底面，应用面面垂直性质定理证明线面垂直； （2）建立空间向量求出平面PAD的法向量和平面的法向量，再应用二面角余弦公式计算求解； （3）设点，再应用点到平面距离公式计算求参即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵底面为直角梯形， 其中， ，又平面， ∴以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立 如图所示的空间直角坐标系. 则， ， 设平面PAD的法向量. 设平面的法向量， 则，取，得. 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设线段上存在， 使得它到平面的距离为， 到平面的距离， 解得或（舍去）， 则，则 19. 已知抛物线，过其焦点F作两条互相垂直的直线，，交抛物线于A，B两点，交抛物线于C，D两点. （1）若直线斜率为2，求长； （2）求四边形ACBD面积最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为32. 【解析】 【分析】 （1）由题意可得直线的方程，与抛物线联立，根据韦达定理，结合抛物线的定义，即可求得答案； （2）显然直线，的斜率都存在，设直线的方程为，与抛物线联立，结合抛物线的定义，可求得 ，同理可求得，四边形ACBD面积，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得，所以直线的方程， 设，则，可得， 所以， 由抛物线定义可得； （2）显然直线，的斜率都存在，设直线的方程为，则直线的方程为， 联立，得， 所以， 所以， 同理可得， 所以四边形ACBD面积， 当且仅当，即时等号成立， 所以四边形ACBD面积最小值为32. 【点睛】解题的关键是灵活应用抛物线的定义处理弦长问题，可简化计算，提高正确率，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 一、单项选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，且，则实数的值是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3. 设为数列的前n项和，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知五个数成等差数列，则（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 30 5. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 9 B. 1 C. 1或9 D. 11或9 6. 过点作圆的一条切线，切点为B，则（ ） A. 3 B. C. D. 7. 如图，在棱长为2的正四面体中，点E，F分别为棱AB，BC的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 直线//平面 B. 平面平面 C. 点F到平面的距离为 D. 异面直线AB与CD所成角为90° 8. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前项依次是、、、、、、、、、.其通项公式为如果把这个数列排成如下图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为（ ） A. 1984 B. 2048 C. 5724 D. 5832 二、多项选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 10. 已知双曲线，则（ ） A. 渐近线方程为 B. 焦点坐标是 C. 离心率为 D. 实轴长为4 11. 以下命题正确的有（ ） A. 若等差数列满足，，则 B. 已知等差数列的前n项和为，若，，则使得取得最大值的正整数n的值为8 C. 若数列满足，，则 D. 已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知直线与直线平行，则实数______. 13. 在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________. 14. 设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，，则C的离心率为________． 四、解答题：本体共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 记等差数列的前项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）求的最大值以及取得最大值时的的值； 16. 已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. （1）求圆的方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程.（直线化为一般方程） 17. 已知椭圆的左焦点为，离心率为，且经过点． （1）求的方程； （2）已知是椭圆内一点，过点任作一条直线与椭圆交于B、C两点，求以为中点的弦所在的直线方程.（直线化为一般方程） 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知抛物线，过其焦点F作两条互相垂直的直线，，交抛物线于A，B两点，交抛物线于C，D两点. （1）若直线斜率为2，求长； （2）求四边形ACBD面积最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $