四川省眉山市仁寿县华兴中学2025-2026学年高二上学期数学期末模拟三

仁寿县华兴中学高2024级高二上学期数学期末模拟三 一、单选题 1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是 A． B． C． D． 2．下列说法正确的有(　　) ①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值； ②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生； ③任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1； ④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 4．已知圆和圆的公共弦过点，则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 6．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（点在第一象限）．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交于两点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．已知数列满足若，且，则（    ） A．2019 B．2020 C．4029 D．4038 二、多选题 9．如图所示，设，分别是正方体的棱上的两点，且，，其中正确的说法为（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角的大小为45° C．平面 D．直线与平面所成的角的大小为40° 10．下列有关直线与圆的结论正确的是（    ） A．方程表示的直线必过点 B．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 C．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 D．若圆上恰有个点到直线的距离等于，则 11．等差数列的前n项和为，若，公差，则下列命题正确的是（    ） A．若，则必有=0 B．若，则必有是中最大的项 C．若，则必有 D．若，则必有 三、填空题 12．从1，2，3，…，15中，甲，乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是 ． 13．若空间三点，则点到直线的距离为 ． 14．椭圆的左右两焦点分别为，点在椭圆上，正三角形面积为，则椭圆的方程为 ． 四、解答题 15．为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表： 200元 300元 400元 500元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点． （1）求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率； （2）求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率． 16．如图所示，在四棱锥中，侧面⊥底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，O为的中点. (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．已知直线，圆． （1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒相交于两点； （2）当直线被圆截得的线段最短时，求线段的最短长度及此时的值． 18．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点. 19．已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 仁寿县华兴中学高2024级高二上学期数学期末模拟三 参考答案 1．C 【详解】试题分析：由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A、B中至少有一件发生的事件包含、、，又，，所以所事件的概率为，故选C． 考点：相互独立事件概率的计算． 2．C 【分析】根据概率与频率的关系判断①正确，根据基本事件的特点判断②正确，根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断③错误，根据小概率事件的概念判断④错误． 【详解】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率． ∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴①正确． ∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴②正确． ∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，∴③错误． 若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴④错误 ∴说法正确的有两个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了概率的概念和有关性质，属于概念辨析题，对一些易混概念必须区分清． 3．A 【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案. 【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为， ， ， ， 故选：A. 4．B 【分析】将两圆方程作差可得出两圆的公共弦所在直线的方程为，由题意得出，可得，代入，利用二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】将两圆方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为， 由已知条件得，， ， 所以，当时，取最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查两圆公共弦所在直线方程的求解，同时也考查了利用二次函数的基本性质求最值，考查计算能力，属于中等题. 5．C 【分析】根据面积公式结合定义计算求解得出或，再联立方程结合判别式计算求解. 【详解】设直线与x轴的交点为M，则． 所以，． 因为，所以． 由得，即，，． 所以，解得或． 因为与C有两个交点，联立消y得， 则，解得．所以 故选：C. 6．A 【分析】根据已知条件作出图形，利用抛物线的定义及相似三角形的性质即可求解. 【详解】设抛物线的准线为，过点作于点,过点作于点,过点作于点,交轴于点，如图所示， 由，得，解得， 所以，. 设， 因为， 所以, 又, 故，解得， 所以. 故选：A. 7．D 【分析】先判断斜率为0不符合题意，再设直线方程为，联立双曲线方程，由结合韦达定理列出方程，求解即可. 【详解】易知，当直线的斜率为零时，得，不合题意； 当直线的斜率不为零时，设直线的方程为， 联立，得， 设，由得， 而，即，解得，即． 故选：D 8．C 【分析】先分析得到数列为等差数列，再求出等差数列的公差即得解. 【详解】解：由数列满足，根据等差中项公式，可得数列为等差数列， 故，即，又， 则. 故选: C 9．AB 【分析】A选项通过求锥体的体积来判断，B选项通过求线线角来判断，CD选项利用向量法来判断. 【详解】对于A选项，为定值，故A正确； 对于B选项，异面直线与所成的角与直线与的角为同一个角， 即异面直线与所成的角的平面角为，故B正确； 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则. 对于D选项，，平面即平面， 设平面的法向量是， 则即 取，得，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角的平面角为， 则， 所以，故D错误； 对于C选项，由D选项可知直线与平面所成的角为30°，故C错误. 故选：AB 10．ACD 【分析】对于，将直线方程化为即可判断；对于B，当截距为时即可判断；对于C，由圆的方程可得圆与圆相交，再将两圆的方程作差即可判断；对于D，由题意可得圆心到直线的距离等于，根据点到直线的距离公式即可判断． 【详解】对于，方程可化为， 直线过定点，故A正确； 对于B，当截距为时，直线方程为，故B错误； 对于C，圆的一般方程化为标准方程得，圆心为， 半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以圆与圆相交． 圆的标准方程化为一般方程得， 与圆的一般方程作差，可得，即， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为，故C正确； 对于D，若圆上恰有个点到直线的距离等于， 则圆心到直线的距离等于， 即，解得，故D正确． 故选：ACD 11．ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A.，若，则，所以，所以，故A选项正确； 对于B选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B选项正确； C. 若，则，由于，公差，故，故，的符号不定，故必有，无法确定；故C正确，D错误． 故选：ABC． 【点睛】本题考查数列的前项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题． 12． 【分析】先求出基本事件总数，再求出甲数大于乙数包含的基本事件个数，再由古典概型的概率公式求解. 【详解】从1，2，3，…，15中，甲、乙两人各取一数(不重复)，甲取到的数是5的倍数，则基本事件总数， 则甲数大于乙数包含的基本事件有： ， ， ， ，共27个， ∴甲数大于乙数的概率． 故答案为： 13． 【分析】借助空间向量求点到直线的距离即可得. 【详解】，，则， 则. 故答案为：. 14． 【分析】边的中点的横坐标为，代入椭圆方程得到，求得，根据题意得到且，结合，即可求解. 【详解】如图所示，边的中点的横坐标为， 把代入椭圆方程可得，解得， 因为正三角形的面积为， 可得，且， 即，解得， 将，且，代入， 可得，解得或， 因为，所以，则， 所以椭圆的方程为. 故答案为：.    15．（1）0.448；（2）0.045. 【分析】（1）恰有两人的消费额不少于300元，分老中，老青，中青三类求解； （2）消费总额大于或等于1 300元，分消费总额为1 500元，1 400元，1 300元三类求解. 【详解】（1）设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1， 则P1＝(0.7)2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448. （2）消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002， 消费总额为1 400元的概率是(0.1)2×0.2＋2×(0.2)2×0.1＝0.010， 消费总额为1 300元的概率是(0.1)2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋0.23＋2×0.22×0.1＝0.033， 所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045. 16．(1) (2) (3)存在，且 【分析】（1）根据面面垂直的性质可推得平面.根据已知得出.以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标.根据线面垂直的判定定理得出平面，求出的坐标，即可根据向量法求出答案； （2）求出平面的法向量，根据向量法即可得出距离； （3）假设存在，设，得出.求出平面的法向量，根据二面角结合向量，列出方程，求解即可得出的值，进而得出答案. 【详解】（1）在中，，O为的中点， 所以. 又因为面底面，平面平面，平面， 所以，平面. 在中，，， 所以，，. 在直角梯形中，为的中点， 所以. 又， 所以四边形为平行四边形，. 因为，，所以. 以O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， 所以. 因为，，，平面，平面， 所以平面， 所以为平面的法向量. 因为， 所以与平面所成角的正弦值为，余弦值为. （2）由（1）可得，，， 设平面的法向量为， 则， 取，得. 所以，B点到平面的距离. （3）假设存在，且设. 因为， 所以，，. 设平面的法向量为，，， 则， 取，得. 因为平面，所以平面的一个法向量为. 因为二面角的余弦值为， 所以， 整理化简，得，解得或（舍去）， 所以，线段上存在满足题意的点Q，且. 17．（1）证明见解析；（2），. 【解析】（1）求出直线过定点，此定点在圆内即证； （2）定点与圆心连线与垂直时，截得的线段最短，由此可得． 【详解】（1）直线，必过直线与直线的交点．联立方程，解得，所以直线过定点． ，即点在圆内， 直线与圆C恒相交于两点. （2）当直线被圆截得的线段最短时，直线垂直． ，直线l的斜率，则，解得． 此时，弦长. 【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．如果直线恒过圆内一点，则直线与圆一定相交，过圆内一定点的弦，当弦过圆心时弦长最长，当定点与圆心连线与弦垂直时，弦长最短． 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意列方程组求解；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解，注意分类讨论直线的斜率是否为0. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆C的方程为． （2）依题意，点，设， 因为若直线的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意． 所以直线斜率必不为0，设其方程为， 与椭圆C联立，整理得：， 所以，且 因为点是椭圆上一点，即， 则， 所以，即 因为 ， 所以，此时， 故直线：恒过x轴上一定点． 19．（1）；（2） 【分析】（1）由得到，两式相减得到，再利用等比数列的定义求解； （2）由（1）得到，，利用错位相减法求得其前项和，设，利用裂项相消法求得其前项和，再由求解. 【详解】（1）∵，① ∴，② 由②-①，可得，即. 又，∴． 故数列是首项为2，公比为2的等比数列，因此. （2）由（1）可得，∴. 设，其前项和为， 则，① ∴，② 由①-②，得， ， ， ∴. 设，其前项和为， 则. 故， . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $