2026年中考数学一轮复习 第1讲实数

第1讲 实数 牛刀小试 1.(2025·漳州质检)歼-20是我国自主研发的第五代战斗机，具有高隐身性、高机动性等特点，它的巡航速度约为3185 000 m/h.将数据3185 000用科学记数法表示为( ). A. 0.3185×10⁷ C. 3.185×10⁶ 2.(2025·福建)下列实数中，最小的数是( ). A. - 1 B. 0 C. D.2 3.(教材改编)已知命题A：“带根号的数都是无理数.”在下列选项中，可以作为判断“命题A 是假命题”的反例的是 ( ). A. C. D. 4.(2024·厦门质检)数轴上表示数n 的点的位置如图1-1 所示，若n-m>0，则表示数m的点可以是 ( ). A. 点A B. 点 B C. 点C D. 点 D 5.(2025·福建)为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计.为方便记录，他将体重增加1.5kg记作+1.5，那么体重减少1kg应记作 . 6.(2025·福建) 计算: 知识精讲 1.实数的有关概念 (1)实数a 的相反数为-a. 若a，b互为相反数，则 (2) 若a, b互为倒数, 则a·b=1. 若a 为非零实数，则 (即a'与a⁻¹]互为倒数). 若a，b为非零实数，则 2.实数的有关性质 非负性： 3.实数的有关计算 (1)数的乘除法 ① 多个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定. 思考: 若 abcd<0, 则a,b, c, d 中负数有1个或3个. ②“除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数”，用符号语言翻译这句话就是： (2)数的乘方 a·a·····a记作an，其中a 叫做底数，n叫做指数，乘方的结果叫做幂. (其中a≠0且a是实数). 思考：1=?(答案不唯一，不妨试着想一想) (3)数的开方 ①平方根和算术平方根：任何正数a都有两个平方根，它们互为相反数，记为：±√a. 思考：非负数a 的算术平方根与平方根有什么联系? 提示：正的平方根 叫做a的算术平方根；0的平方根与算术平方根都是0. ②立方根：任何一个实数a都有一个立方根，记为√a.若 则a=0或1. 4.决定成败的小细节 关注数学符号的差异, 如(-2)²=(-2)×(-2)=4,而-2²=-(2×2)=-4; 而 关注概念的差异，如4 的算术平方根是2，而4的平方根是±2. 典例精析 例1 如图 1-2所示的是张小亮的答卷，他的得分应该是( ). A. 100分 B. 80分 C. 60分 D. 40分 例2 (2025·凉山) 若( 则x+y的平方根是 (). A. 8 B. ±8 D. 2 例3 (2025·天津) 估计 的值在( ). A. 1和2之间 B. 2和3 之间 C. 3和4 之间 D. 4 和5 之间 例4 (教材改编)已知|x|a，x是整数，a是无理数，若满足条件的x的值有3个，则写出一个满足条件的a 的值： 例5 (2025·长沙) 计算: 例6 (2024·烟台)实数a，b，c在数轴上的位置如图1-3所示，下列结论正确的是 ( ). A. b+c>3 B. a-c<0 C. |a|>|c| D.-2a<-2b 悟：解决此类问题先关注数轴提供的“数”的信息，再运用实数的相关概念、性质、运算法则等知识，把“数”和“形”结合在一起来解决. 3 学科网（北京）股份有限公司 备战中考 A 层 1.(2025·漳州质检) 下列实数中, 比1大的数是 ( ). A. - 2B. 0 C. D. 2.(2024·威海)据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录.“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间.将“百万分之一”用科学记数法表示为 ( ). 3.(2025·厦门质检)如图1-4，点M 表示的数是m.下列点中，表示m 的相反数的是( ). A. 点 A B. 点 B C. 点C D. 点 D 4.(2025·北京)2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅.已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为 则该小行星与地球的最近距离约为( ). 5.(2025·北京)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图1-5所示，下列结论中正确的是( ). A. a>-1 B. a+b=0 C. a-b>0 D. |a|>|b| 6.(2025·重庆) 若n为正整数, 且满足 则n= . 7.一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4，则a+b的立方根为 . 8. 请将命题“若a>0, b<0, 且|a|<|b|, 则a+b=-(|b|-|a|)”翻译成文字语言. 解：绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 4 A 学科网（北京）股份有限公司 9.利用运算律简便计算： (1) 999×(-15); 10.(1)(2025·河北)一道习题及其错误的解答过程如下，请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程. 解： 计算： 解： ……第一步 =-3+4-5 ……第二步 =-4. ……第三步 (2) (2025·福州质检) 计算: B层 11.(2023·宁夏) 如图1-6, 点A, B, C在数轴上, 点 A 表示的数是-1，点B 是AC的中点，线段. 则点C 表示的数是 12.(2025·安徽)对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0，则 若余数为1, 则m=2n; 若余数为2, 则m=n+1.这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”.对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推.例如，正整数n=4，根据4除以3的余数为1，由4×2=8知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由8+1=9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3=3知，对4进行三次变换得到的数为3. (1)对正整数15 进行三次变换，得到的数为 ； (2)若对正整数 n 进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的 n的值之和为 . $第1讲 实数 牛刀小试 1.(2025·漳州质检)歼-20是我国自主研发的第五代战斗机，具有高隐身性、高机动性等特点，它的巡航速度约为3185 000 m/h.将数据3185 000用科学记数法表示为(C). A. 0.3185×10⁷ C. 3.185×10⁶ 2.(2025·福建)下列实数中，最小的数是(A ). A. - 1 B. 0 C. D.2 3.(教材改编)已知命题A：“带根号的数都是无理数.”在下列选项中，可以作为判断“命题A 是假命题”的反例的是 (D). A. C. D. 4.(2024·厦门质检)数轴上表示数n 的点的位置如图1-1 所示，若n-m>0，则表示数m的点可以是 (A ). A. 点A B. 点 B C. 点C D. 点 D 5.(2025·福建)为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计.为方便记录，他将体重增加1.5kg记作+1.5，那么体重减少1kg应记作 -1 . 6.(2025·福建) 计算: 解：原式 知识精讲 1.实数的有关概念 (1)实数a 的相反数为-a. 若a，b互为相反数，则 (2) 若a, b互为倒数, 则a·b=1. 若a 为非零实数，则 (即a'与a⁻¹]互为倒数). 若a，b为非零实数，则 2.实数的有关性质 非负性： 3.实数的有关计算 (1)数的乘除法 ① 多个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定. 思考: 若 abcd<0, 则a,b, c, d 中负数有1个或3个. ②“除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数”，用符号语言翻译这句话就是： (2)数的乘方 a·a·····a记作an，其中a 叫做底数，n叫做指数，乘方的结果叫做幂. (其中a≠0且a是实数). 思考：1=?(答案不唯一，不妨试着想一想) (3)数的开方 ①平方根和算术平方根：任何正数a都有两个平方根，它们互为相反数，记为：±√a. 思考：非负数a 的算术平方根与平方根有什么联系? 提示：正的平方根 叫做a的算术平方根；0的平方根与算术平方根都是0. ②立方根：任何一个实数a都有一个立方根，记为√a.若 则a=0或1. 4.决定成败的小细节 关注数学符号的差异, 如(-2)²=(-2)×(-2)=4,而-2²=-(2×2)=-4; 而 关注概念的差异，如4 的算术平方根是2，而4的平方根是±2. 典例精析 例1 如图 1-2所示的是张小亮的答卷，他的得分应该是(B). A. 100分 B. 80分 C. 60分 D. 40分 解析 —1的绝对值是1，2的倒数是 ，—2的相反数是2，1的立方根是1，—1和7 的平均数是3，所以张小亮得了80分，故选 B. 例2 (2025·凉山) 若( 则x+y的平方根是 (C). A. 8 B. ±8 D. 2 解 析 若 几个非负数 的和为 0，则每个非负数 都等 于 0，所以 由①-②得x+y=8, 所以x+y的平方根是 故选C. 例3 (2025·天津) 估计 的值在(C). A. 1和2之间 B. 2和3 之间 C. 3和4 之间 D. 4 和5 之间 解析 根据469.得到 进而得到 的值在3 和4之间，故选C. 例4 (教材改编)已知|x|a，x是整数，a是无理数，若满足条件的x的值有3个，则写出一个满足条件的a 的值： (答案不唯一) . 解析 由绝对值的概念可得在-a<x<a范围内满足条件的整数有3个，即0和±1.可知1<a≤2且a是无理数，故a 的值不唯一，如取 或 均可. 例5 (2025·长沙) 计算: 解 原式 例6 (2024·烟台)实数a，b，c在数轴上的位置如图1-3所示，下列结论正确的是 (B). A. b+c>3 B. a-c<0 C. |a|>|c| D.-2a<-2b 解析 由图可得, - 3<a<-2<b<-1<3<c<4, b+c<3, 故A不符合题意;|c|>|a|>|b|, 故C不符合题意;-2a>-2b, 故D不符合题意; a-c<0, 故B符合题意，故选 B. 悟：解决此类问题先关注数轴提供的“数”的信息，再运用实数的相关概念、性质、运算法则等知识，把“数”和“形”结合在一起来解决. 3 学科网（北京）股份有限公司 备战中考 A 层 1.(2025·漳州质检) 下列实数中, 比1大的数是 (D). A. - 2B. 0 C. D. 2.(2024·威海)据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录.“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间.将“百万分之一”用科学记数法表示为 (B). 3.(2025·厦门质检)如图1-4，点M 表示的数是m.下列点中，表示m 的相反数的是(A). A. 点 A B. 点 B C. 点C D. 点 D 4.(2025·北京)2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅.已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为 则该小行星与地球的最近距离约为( C ). 5.(2025·北京)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图1-5所示，下列结论中正确的是(D). A. a>-1 B. a+b=0 C. a-b>0 D. |a|>|b| 6.(2025·重庆) 若n为正整数, 且满足 则n= 5 . 7.一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4，则a+b的立方根为 2 . 8. 请将命题“若a>0, b<0, 且|a|<|b|, 则a+b=-(|b|-|a|)”翻译成文字语言. 解：绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 4 A 学科网（北京）股份有限公司 9.利用运算律简便计算： (1) 999×(-15); 解: 原式=-(1 000-1)×15 解：原式 =-(15000-15) =-14 985. =0. 10.(1)(2025·河北)一道习题及其错误的解答过程如下，请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程. 解：(1)原计算第一步开始出错. 计算： 解： ……第一步 =-(3+4-5) =-3+4-5 ……第二步 =-2. =-4. ……第三步 (2) (2025·福州质检) 计算: 解：原式 =1. B组 11.(2023·宁夏) 如图1-6, 点A, B, C在数轴上, 点 A 表示的数是-1，点B 是AC的中点，线段. 则点C 表示的数是 12.(2025·安徽)对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0，则 若余数为1, 则m=2n; 若余数为2, 则m=n+1.这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”.对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推.例如，正整数n=4，根据4除以3的余数为1，由4×2=8知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由8+1=9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3=3知，对4进行三次变换得到的数为3. (1)对正整数15 进行三次变换，得到的数为 2 ； (2)若对正整数 n 进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的 n的值之和为 11 . $