期末复习题--- 分式方程的求解与应用 2025-2026学年人教版 八年级数学上册

期末复习题--- 分式方程的求解与应用 题型1 解分式方程（化为一元一次) 1.解方程： (1) (2) （3）； （4）． 2.关于x的分式方程，下列说法正确的是（　　） A．时，方程的解为负数 B．方程的解是 C．时，方程的解是正数 D．以上都不对 3.解方程：(1)； (2)． （3） （4）解方程： 题型2 根据分式方程解的情况求值 4.已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 5.关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．2 B．0 C． D．4 6.若分式方程 有增根，求k的值． 题型3 分式方程无解问题 7.若分式方程无解，则m的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 8.如果关于的方程无解，则的值为（   ） A．2 B． C． D．7 9.关于的分式方程无解，求的值． 题型4 列分式方程 10.一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 11.某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为 ． 12.某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，完成了后一半任务．如果设单独采用机械装运可以完成后一半任务，则根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 题型5 分式方程的行程问题 13.下表是学习分式方程应用时，老师提出的问题和两名同学用两种方法列出的正确方程． 问题：甲、乙两地相距，搭乘高铁列车从甲地到乙地比搭乘普通列车少用9小时，已知高铁列车的平均行驶速度是普通列车的2.8倍． 小明： 小红： 下列判断正确的是（   ） A．小明假设的未知数是高铁列车的平均速度 B．高铁列车的平均速度为100千米/时 C．小红假设的未知数是搭乘普通列车从甲地到乙地的时间 D．普通列车从甲地到乙地的时间是14个小时 14.无人机除军事用途外，因在尺寸、速度和机动性等方面的独特优势，使得无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分秒，刷新了扑翼无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器的时速是“云鹗”仿生飞行器时速的倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鹗”仿生飞行器少用5分钟． (1)“信鸽”仿生飞行器的速度是多少千米/时？ (2)已知“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分秒，且“云鹗”仿生飞行器的续航时间与“信鸽”相同，求在各自续航的时间内，“信鸽”仿生飞行器比“云鹗”仿生飞行器多飞行多少千米？（结果精确到） 15.某汽车从地驶向地，若每分钟行驶千米，则11点到达，若每分钟行驶千米，则时距离地还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶千米，则11点到达，若每分钟行驶千米，则时已超过地30千米，求两地距离． 题型6 分式方程的工程问题 16.某校为了美化校园环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树棵，乙组比甲组每天多植树20棵． (1)若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值； (2)现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务． ①直接用含x的式子分别表示甲组完成该任务、乙组完成该任务所需要的天数； ②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确．（作差法：若，则；若，则；若，则．） 17.某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为700元．根据以上信息，求： (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 18.我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个人工工作队每小时更换钢轨公里数的2倍，它更换公里钢轨比一个人工工作队更换公里钢轨所用时间少小时． (1)求一辆型快速换轨车每小时更换钢轨多少公里； (2)现在有一个紧急维修任务，需要在小时内（包含小时）完成公里铁路钢轨的更换，铁路指挥部计划使用一台型快速换轨车和多个人工工作队同时协同作业，假设每个人工工作队的速度相同，求至少需要多少个人工工作队才能完成这个紧急维修任务？ 题型7 分式方程的经济问题 19.在成都，茶是一方经济产业，也是一脉厚重文化，2025年5月21日是第六个国际茶日，作为中国首次成功推动设立的农业领域的国际性节日，旨在赞美茶叶对经济、社会和文化的价值．某茶叶店销售甲、乙两种相同重量的茶叶礼盒，甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜30元；用750元购买乙种茶叶礼盒数量与用600元购买甲种茶叶礼盒数量相同． (1)求甲、乙两种茶叶礼盒的单价； (2)某企业为外国访问团友人准备成都地方礼品，需要从该店购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过1100元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒． 20.某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为．（商品利润率） (1)当售出的乙种商品的件数是售出的甲种商品件数的倍时，这个商人得到的总利润率为，设甲种商品的进价为元，乙种商品的进价为元，请求出的值； (2)当售出的甲、乙两种商品的件数相等时，求此时这个商人的总利润率． 21.“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息： 信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍； 信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍； (1)若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表； 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元） 乙 60元 丙 270元 (2)求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？ (3)“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值． 题型8 分式方程和差倍分问题 22.以下素材，完成相关任务． 素材1 某果园有布鲁克斯和明5-5两种樱桃供游客采摘，采摘布鲁克斯比明5-5每千克少3元，小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明5-5的1.25倍． 素材2 该果园提供运送服务，从果园寄送到A市按重量收费，当樱桃重量不超过6千克时，需要运费30元；当重量超过6千克时，超过部分另收m元/千克． (1)任务1：求在该果园采摘明的单价， (2)任务2：若寄送8千克樱桃运费为42元，求出m的值； (3)任务3：若使用该果园运送服务，小智将15千克采摘的樱桃寄送给A市的朋友，则运费最少需________元．（可一次寄送也可分多次寄送） 23.2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (3)市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？ 24.【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《市初中生阅读水平的现状》，随机走访了市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书册；②甲校比乙校人均图书册数多册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 题型9 分式方程的其它实际问题 25.《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（   ） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 26.某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车. 燃油车油箱容积： 油价：8元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 新能源车电池容量： 电价：1元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 (1)根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为________，新能源车每千米行驶的费用为________；（用含m的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其他费用） 27.新能源汽车投入生产后，零件加工车间接到任务，需要加工该款新能源汽车的，两种零件各2400个．已知该车间员工每人每天加工16个种零件或10个种零件．车间负责人安排工人先加工种零件，完成后再加工种零件，经过13天后完成了这批订单．已知该车间有名工人．可列方程为（   ） A． B． C． D． 参考答案 题型1 解分式方程（化为一元一次) 1.（1）解：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为； （2）解：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． （3）， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：； 经检验：当时，， ∴是方程的解； （4）， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：， 经检验：当时，， ∴是方程的增根，原方程无解． 2.A 解：∵ ，且 ， ∴ ，解得 ， 又∵ ， ∴ ，即 ， 当 时，方程无解， 对于选项A：当 时，，方程有解 ，且 ，故解为负数，A正确，符合题意； 对于选项B：当 时方程无解，故B错误，不符合题意； 对于选项C：当 时，若 无解，故解不一定为正数，C错误，不符合题意； 对于选项D：以上A正确，故不符合题意； 故选：A． 3.（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 检验：把代入得， 是原方程的解； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 检验：把代入得， 是原方程的增根， ∴原方程无解． （3）解： 整理得： 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解； （4）解： 方程的两边同乘，得 解得，， 即， 经检验，当时， ， 所以，原方程的根是． 题型2 根据分式方程解的情况求值 4.（1）解： 方程两边同时乘以得： 整理得： 将增根代入整式方程： 解得 （2）分式方程无解分两种情况： 情况 1：整式方程无解 当时，整式方程无实数解，故分式方程无解，此时； 情况 2：整式方程的解是增根 增根为（使分母为的根），由（1）知此时； 所以的值为或． 5.C 解：， 去分母得 ， 化简得， ∴， 即 ． ∵方程有负整数解且， ∴ 且为整数，且 ， ∴， 为偶数，且 ． ∵不等式组 ， 解第①不等式，得， 解第②不等式得 ∵不等式组无解， ∴， 即 ， ∴（ 为整数）． 综合得 为偶数， 且 ， ∴ 或 ． ∴和为． 故选：C． 6.解：方程两边都乘，得， ∵增根为， ∴， ∴． 题型3 分式方程无解问题 7.D 解： 两边同乘公分母 ： ， ， 原分式方程无解即为增根， 即 或 ， 当时，则 ，解得 ； 当时，则，解得 ． ∴ 或 时方程无解． 故选： D． 8.B 解：， ， ， ， ∴ ， 两边乘以（），得， 解得：， ∴ ， 当时，分母为零，原方程无解， 令，则， 解得：． 故当 时，方程无解． 故选：B． 9.解： 去分母得：， 化简得：， 方程无解， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 题型4 列分式方程 10.A 解：∵顺流速度，逆流速度， 顺流时间，逆流时间， ∵时间相等， ∴． 故选：A． 11. 解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道为米，原计划完成任务所需时间为天，实际所需时间为天，根据题意，得 ， 故答案为：． 12.A 解：∵先用人工装运，完成了一半任务， ∴人工装运的工作效率为； ∵单独采用机械装运可以完成后一半任务， ∴机械装运的工作效率为． 根据题意得：． 故选：A． 题型5 分式方程的行程问题 13.D 解：小明的方程为，根据时间路程速度，可得表示乘普通列车从甲地到乙地的时间，表示乘高铁从甲地到乙地的时间，故表示普通列车速度，故A错误； 解方程可得，故高铁列车的平均速度为千米/时；故B错误； 小红的方程为，其中表示乘高铁列车从甲地到乙地的速度，表示乘普通列车从甲地到乙地的速度，故小红假设的未知数是搭乘高铁列车从甲地到乙地的时间，故C错误； 解可得：， ∴，即普通列车从甲地到乙地的时间是14个小时，故D正确； 故选：D． 14.（1）解：设“云鹗”仿生飞行器的速度为千米/时，则“信鸽”的速度为千米/时， 解得 经检验，是原方程的解， 则“信鸽”的速度为千米/时； 答：“信鸽”仿生飞行器的速度是千米/时． （2）解：3小时5分30秒小时， “信鸽”飞行的路程：千米， “云鹗”飞行的路程：千米， 多飞行的路程：千米． 答：“信鸽”仿生飞行器比“云鹗”仿生飞行器多飞行约千米． 15.解：设两地距离为千米， 若每分钟行驶千米，则从地驶向地共需分钟，若每分钟行驶千米，则从地驶向地共需分钟，距离地还有10千米时共需分钟， 根据若每分钟行驶千米，则11点到达，若每分钟行驶千米，则时距离地还有10千米可得： 同理可得 ∴， 整理得 解得． 经检验是原方程组的解． 答：两地距离为54千米． 题型6 分式方程的工程问题 16.（1）解：甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵， 根据题意列分式方程得： ． 整理得，，解得， 经检验，是原分式方程的解， 的值是． （2）解：①∵甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵， ∴甲组完成160棵任务需要天，乙组完成200棵任务需要天． 故答案为：，． ② ， ∵， ， ，即：， ， ∴甲组完成任务所用的时间更少， ∴嘉淇的说法正确． 17.（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队天， 由题意：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 则（天）， 答：甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天； （2）解：①由（1）知甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天， ， ∴甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成， 从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队； ②若甲单独完成，其费用为：（元）， 若乙单独完成，其费用为：（元）， ， ∴从资金的角度考虑，学校应选择甲工程队，且甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成． 综上，从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理的甲工程队． 18.（1）解：设人工工作队每小时更换钢轨x公里，则一辆型快速换轨车每小时更换钢轨公里 解得 经检验是原方程的解， 公里， 答：一辆型快速换轨车每小时更换钢轨2公里； （2）解：设需要y个人工工作队， ， ∴至少需要 8 个人工工作队． 题型7 分式方程的经济问题 19.（1）解：设甲种茶叶礼盒的单价是x元，则乙种茶叶礼盒的单价是元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：甲种茶叶礼盒的单价是120元，乙种茶叶礼盒的单价是150元； （2）解：设购买y盒甲种茶叶礼盒，则购买盒乙种茶叶礼盒， 根据题意得：， 解得：， 又为整数， 的最小值为4． 答：最少需购买4盒甲种茶叶礼盒． 20.（1）解：∵每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，甲种商品的进价为元，乙种商品的进价为元， ∴甲种商品的售出价为元，乙种商品的售出价为元， 设售出甲种商品件，则售出乙种商品件， 根据题意，得， 解得：， 所以，； （2）解：设售出的甲、乙两种商品的件数均为，则 商人的总利润率， ， 答：此时这个商人的总利润率为． 21.（1）解：已知甲商品销售单价为元／千克，由信息1可知乙商品销售单价为元/千克，根据“质量总价单价”，乙商品质量为千克；丙商品销售单价是元／千克，丙商品质量为千克； （2）解：根据信息2“用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍”，可列方程：， 解得： 经检验，是原方程的解． 所以乙商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克； （3）解：提价后，甲商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克，乙商品单价为元/千克． 则 ， 令，则随增大而增大，的范围是．，当最大时，最大， 当时，，． 题型8 分式方程和差倍分问题 22.（1）解：设在该果园采摘明的单价是x元/千克，则在该果园采摘布鲁克斯的单价是元/千克， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：在该果园采摘明5-5的单价是15元/千克； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：m的值为6； （3）解：分一次寄送所需运费为（元）； 分两次寄送（且两次均不低于6千克）所需运费为（元）； 分三次寄送（且每次均不超过6千克）所需运费为（元）， ∵， ∴运费最少需78元． 故答案为：78． 23.（1）解：设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴主控芯片单价为（元） 答：主控芯片单价为元，传感器模块单价为元； （2）解：设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据题意得， 解得：， 故制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个， 答：制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个； （3）解：采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块， 主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人． 答：最多可生产85套机器人． 24.解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？ 设乙校的人数为人． 根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 人， 答：甲、乙两校的人数各是人、人． 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 设：乙校的人均图书册数为册．根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程得解，且符合题意， ， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是册、册． 题型9 分式方程的其它实际问题 25.C 解：根据题意，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺， 由“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”可列方程为：， 由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的， 因此x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 故选：C． 26.（1）解：由题意得： 燃油车每千米行驶的费用为元，新能源车每千米行驶的费用为元； 故答案为：元；元； （2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， （元），（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； （3）解：设每年行驶里程为， 由题意得：，解得， 故当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低． 27.C 解：设该车间有名工人，依题意得： ， 故选：C． 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