江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年高二上学期数学期末模拟试卷二

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高二数学期末模拟 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如右图，已知是可导函数，直线：y＝kx＋2是曲线)在x＝3处的切线，令是的导函数，则 ( B ) A. －1　　 B. 0　　 C. 3　 D. 4 2.记为等比数列的前项和，若，则 （  C  ） A． B． C．32 D．或32 3．已知点在抛物线上，为的焦点，，则 （ D ） A. B. C. D. 16 4．若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（ D ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5．若函数单调递增，则实数的取值范围是 （ D ） A． B． C． D． 6．若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ( B ) A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(e，＋∞) 7．等差数列前n项的和为，已知，，则（ D ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【详解】因为数列为等差数列，则，又因为，即，解得或，若，则，不合题意；若，则，解得；综上所述：.故选：D. 8．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是 （ D ） A B. C. D. 【详解】由题意可得，，两式相减得， 所以，即，所以，令，则，，且函数在上单调递增，则， 所以的取值范围是.故答案为：D 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线：和直线：，下列说法正确的是 （ AD ） A. 当时， B. 当时， C. 直线过定点，直线过定点 D. 当，平行时，两直线的距离为 【详解】对于A，当时，那么直线为，直线为，此时两直线的斜率分别为和，所以有，所以，故A选项正确；对于B，当时，那么直线为，直线为，此时两直线重合，故B选项错误；对于C，由直线：，整理可得： ，故直线过定点，直线：，整理可得：，故直线过定点，故C选项错误； 对于D，当，平行时，两直线的斜率相等，即，解得：或，当时，两直线重合，舍去；当时，直线为，为，此时两直线的距离，故D选项正确.故选：AD. 10．若，则下列不等式成立的是 （ BD ） A． B． C． D． 11．已知等差数列满足，数列满足（），数列和的前项和分别为和，则 （ABD ） A. 为递减数列 B. 当时，取得最大值 C. 没有最大项 D. 当时，取得最大值 【详解】设等差数列的公差为，则由，可得， 再由，所以有，即为递减数列，故A正确；因为， 由于开口向下，对称轴为，因为为正整数，所以当时，取得最大值，故B正确；由 ，当时，，当时，，当时，，当时，，因为，所以当时，取得最大值，故D正确；令，则构造所以函数在上单调递增，即当时，数列单调递增，此时最大值，而，即，结合当或时，，所以是数列的最大项，故C错误；故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为___4____． 13．如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，是上两点，，且，则的离心率为__________. 【详解】如图，延长，交椭圆于点，连接. 设由知且， 由椭圆的定义可知.又所以，所以所以由椭圆的定义可知.因为，所以中，由勾股定理得即.①在中，由勾股定理得即整理得.将代入①式得，整理得，所以离心率.故答案为：. 14．设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______. 【详解】因为对任何，， 所以对任何，，所以在上为减函数. ，， 所以恒成立，即对恒成立， 所以，所以.即的取值范围是.故答案为：. 【点睛】恒（能）成立问题求参数的取值范围： ①参变分离，转化为不含参数的最值问题； ②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值； ③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值） 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．若圆过两点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆的交于，两点，且，求直线的方程． 15．解：（1）因为圆心在直线上，所以设. 因为圆过两点，，所以， 所以，所以. 因为，所以圆的半径为5， 所以圆的标准方程为. （2）设圆心到直线的距离为，则，所以. 当直线的斜率不存在时，直线的方程，此时，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程， 所以，所以， 所以，直线的方程. 综上可得：直线的方程或. 16．已知函数f(x)＝ax－2lnx． （1）讨论f(x)的单调性； （2）设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围． 16．解：（1） 当a≤0时，在(0，＋∞)上恒成立； 当a＞0时，令得；令得； 综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减； a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增； （2）由题意知 ax－2lnx≤x－2 在(0，＋∞)上有解 则ax≤x－2＋2lnx，． 令， x g'(x) ＋ 0 － g(x) ↗ 极大值 ↘ 所以，因此有 所以a的取值范围为： 【点睛】关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键. 17．已知椭圆的离心率为，短轴长为2，该椭圆的左右顶点分别为，过作直线交椭圆上的另一点，过作直线交椭圆上的另一点，两条直线的斜率为． （1）求椭圆的方程； （2）若，则直线是否过定点，若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由； （3）设直线过点，分别记和的面积为，求的取值范围． 17．解：（1）由题意可知：，可得， 且，即，可得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知：，， 因为直线的斜率可能不存在，但不为0， 设直线，，， 联立方程，消去x可得， 则， 可得， 因为点在椭圆上，则，即 设直线的斜率为，则， 即， 又因为，即，可得， 即，可得， 整理可得， 即， 因为，则， 可得，整理可得， 则直线过定点， 且点在椭圆内，直线与椭圆必相交，符合题意， 所以直线过定点. （3）若直线过点，点在椭圆内，直线与椭圆必相交， 因为， 则，可得， 则，整理可得， 设，则，解得， 即，则，可得， 所以的取值范围为. 18． 已知为数列的前项和，且满足．单调递增的等比数列满足：． （1）计算的值并求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式并求； （3）记为数列的前项和，是否存在正整数使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．解：（1）当时，由； 当时，由. 又当时，， ， 上两式相减得： 是公差为2，首项为1的等差数列，. （2）由得：， 单调递增等比数列的通项公式为， 所以. （3）由（1）可得：是首项为1，公比为的等比数列，故其前项和， 故不等式等价于，即，也即， 所以， 所以. 由即成立， 又为正整数，故可得，将其代入， 可得：，又为正整数，故． 故存在符合条件的正整数，其中． 19．已知函数，a∈. （1）若曲线在点处切线方程为，求实数a的值； （2）设函数在区间I上有定义，若对任意的都有则称函数为区间I上的下凸函数.利用上述定义证明：函数为定定义域上的下凸函数； （3）若对任意的，都有f（x）≥0，求实数a的最小值. 19．解：（1）因为， 所以，解得. （2）定义域为，设， 则 因为， 所以， 所以（当且仅当时取等号） 所以（当且仅当时取等号） 所以， 即 所以是定义域内的下凸函数. （3）法1：因为， 当时，因为，所以，即为减函数， 又与矛盾， 所以不满足题意； 当时，令，解得 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以． 设，所以在是增函数， 又， 所以当时，； 当时，． 因为恒成立，所以． 综上可得，即的最小值为1． 法2（分离法）：由且， 得对任意佰成立 设，所以， 令，则 所以函数在上是减函数，且． 所以当时，；当时，． 当单调递增； 当单调递减， ， 所以． 即的最小值为1． 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高二数学期末模拟 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如右图，已知是可导函数，直线：y＝kx＋2是曲线)在x＝3处的切线，令是的导函数，则 ( ) A. －1　　 B. 0　　 C. 3　 D. 4 2.记为等比数列的前项和，若，则 （   ） A． B． C．32 D．或32 3．已知点在抛物线上，为的焦点，，则 （ ） A. B. C. D. 16 4．若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5．若函数单调递增，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 6．若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ( ) A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(e，＋∞) 7．等差数列前n项的和为，已知，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是 （ ） A B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线：和直线：，下列说法正确的是 （ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线过定点，直线过定点 D. 当，平行时，两直线的距离为 10．若，则下列不等式成立的是 （ ） A． B． C． D． 11．已知等差数列满足，数列满足（），数列和的前项和分别为和，则 （ ） A. 为递减数列 B. 当时，取得最大值 C. 没有最大项 D. 当时，取得最大值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为___ ____． 13．如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，是上两点，，且，则的离心率为__________. . 14．设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．若圆过两点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆的交于，两点，且，求直线的方程． 16．已知函数f(x)＝ax－2lnx． （1）讨论f(x)的单调性； （2）设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围． 17．已知椭圆的离心率为，短轴长为2，该椭圆的左右顶点分别为，过作直线交椭圆上的另一点，过作直线交椭圆上的另一点，两条直线的斜率为． （1）求椭圆的方程； （2）若，则直线是否过定点，若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由； （3）设直线过点，分别记和的面积为，求的取值范围． 18． 已知为数列的前项和，且满足．单调递增的等比数列满足：． （1）计算的值并求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式并求； （3）记为数列的前项和，是否存在正整数使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．已知函数，a∈. （1）若曲线在点处切线方程为，求实数a的值； （2）设函数在区间I上有定义，若对任意的都有则称函数为区间I上的下凸函数.利用上述定义证明：函数为定定义域上的下凸函数； （3）若对任意的，都有f（x）≥0，求实数a的最小值. 4 学科网（北京）股份有限公司 $