精品解析：陕西省兴平市西郊高级中2026届高三上学期第七次周练数学试题

高三一轮复习考点滚动提升卷·数学（七） 三角函数与平面向量的综合测试+滚动内容 （时间：40分钟 分值：100分） 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 在中，，，，，则（ ） A. B. 4 C. D. 2. 已知中的边，若P为边BC上的动点，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 3. 在中，角，，所对应的边分别为，，.已知，，，则 A. B. C. D. 4. 设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得=（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角所对的边分别为若，，则的最大值为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共2小题，每小题8分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得8分，有选错的得0分，部分选对的得4分. 7. 在，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则必有两解 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，则锐角三角形 8. 下列命题正确的是（ ） A. 在△ABC中，三个内角为A，B，C，，则△ABC是等腰三角形 B. 已知，，则 C. 在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则的值为 D. 在△ABC中，，AB＝2，BC＝4，则BC边上高为 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分. 9. 设， ，O为坐标原点，若，且的面积是的面积的2倍，则___ 10. 如图，已知AB为圆O的直径，，，则六边形AECBDF的周长的最大值为______． 四、解答题：本题共3小题，每小题12分，共36分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 11. 在平面直角坐标系中，已知点，点满足． （1）若，求； （2）若，求的坐标． 12 已知向量，， （1）求最小正周期和最大值； （2）若，的周长为12，且，求的面积. 13. 已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，为锐角，. （1）求角的大小； （2）若点为外接圆上一点，连接AD，CD，则在四边形中，，，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三一轮复习考点滚动提升卷·数学（七） 三角函数与平面向量的综合测试+滚动内容 （时间：40分钟 分值：100分） 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 在中，，，，，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的加法法则，减法法则，将，用，表示，再利用向量的数量积公式计算即可求解. 【详解】因为， 所以， ， 又，，， 则 故选：A. 2. 已知中的边，若P为边BC上的动点，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用基底表示出，结合数量积的运算可得答案. 【详解】设，则，， 所以 因为，所以， 所以. 故选：B 3. 在中，角，，所对应的边分别为，，.已知，，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题，先利用正切和差角求得，可得，再利用余弦定理求得结果. 【详解】由题，解得 所以 因为，， 由余弦定理 解得 故选C 【点睛】本题考查了利用正余弦定理解三角形，属于基础题. 4. 设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据锐角三角形以及可得，可得，根据正弦定理得，进一步可得b的取值范围. 【详解】在锐角三角形中， ，即，且，则， 即，综上，则， 因为，， 所以由正弦定理得，得， 因为， 所以， 所以， 所以b的取值范围为. 故选：C. 【点睛】本题了锐角三角形的概念，考查了正弦定理，考查了余弦函数的单调性，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题. 5. 人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理得到，结合倍角公式，求得，再利用诱导公式，即可求解. 【详解】在中，， 由正弦定理得，即， 由倍角公式得，， 解得， ， 故选：A 6. 在中，内角所对的边分别为若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解，再利用正弦定理边化角，结合辅助角公式，可求最大值. 【详解】由正弦定理，原等式可化为， 若，整理得， 故，因为，所以. 由正弦定理，， 则 ，其中为锐角，， 因为，故当时，取得最大值为. 故选：A. 二、选择题：本题共2小题，每小题8分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得8分，有选错的得0分，部分选对的得4分. 7. 在，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B 若，则必有两解 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，则为锐角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理结合正弦函数的性质可判断A；根据边角关系判断三角形解的个数可判断B； 由已知得，结合正弦函数性质可判断C；利用二倍角的余弦公结合余弦定理可判断D. 【详解】对于A，由正弦定理可得，，或即，为等腰或直角三角形，故A错误； 对于B，，即，必有两解，故B正确； 对于C，是锐角三角形，，即，由正弦函数性质结合诱导公式得，故C正确； 对于D，利用二倍角的余弦公式知，即，即，，即C为锐角，不能说明为锐角三角形，故D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； 8. 下列命题正确是（ ） A. 在△ABC中，三个内角为A，B，C，，则△ABC是等腰三角形 B. 已知，，则 C. 在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则的值为 D. 在△ABC中，，AB＝2，BC＝4，则BC边上高为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知可得A＝B或，可判断A；求得，可求判断B；求得，可判断C；先根据余弦定理求出b＝4，然后利用等面积法即可求出BC边上的高． 【详解】解：对于A，∵，∴2A＝2B或，∴A＝B或， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，∵，，∴，∴， ∴，故B正确； 在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°， 则，故C正确； 在△ABC中，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，则c＝2，a＝4， 因为，所以， 整理得，解得b＝4，（负值舍去）， 因为，， 设BC边上的高为h，则， ，解得，故D正确. 故选：BCD． 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分. 9. 设， ，O为坐标原点，若，且的面积是的面积的2倍，则___ 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分在轴上方和当在轴下方，结合且的面积是的面积的2倍，求得和的值，结合余弦定理，即可求解. 【详解】当在轴上方时，如图所示， 可得，所以， 所以，所以， 因为的面积是的面积的2倍，可得 所以，所以，则， 由余弦定理得，所以； 当在轴下方时，如图所示，即为 . 可得，且， 因为的面积是的面积的2倍，所以， 因为，可得， 所以，即， 解得，所以， 由余弦定理可得，所以，所以 综上可得或. 故答案为或. 【点睛】方法点睛： （1）解答中点的位置关系，点为位于单位圆上； （2）注意转化思想的应用，结合三角函数的定义的应用，合理应用解三角形的知识求解； （3）注意点的位置关系的合理分类讨论，防止此类问题的丢解. 10. 如图，已知AB为圆O的直径，，，则六边形AECBDF的周长的最大值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】连接，，，设，，，先证明，再求得，，则六边形AECBDF的周长为关于的函数，进而求得最值即可． 【详解】连接，，， 由，则， 设，，， 则，， 又，得，， 在直角中，由，则，， 在中，由正弦定理有，即，得， 所以六边形AECBDF的周长为 ， 故当，即时，取得最大值，且最大值为12． 所以六边形AECBDF的周长的最大值为12． 故答案为：12． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将六边形AECBDF的周长和边的关系转化为周长和角的关系． 四、解答题：本题共3小题，每小题12分，共36分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 11. 在平面直角坐标系中，已知点，点满足． （1）若，求； （2）若，求的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量垂直的坐标表示，列出方程求解即可； （2）由平面向量平行的坐标表示，列出方程求解即可． 【小问1详解】 由题可得，，， 因为，所以，解得． 【小问2详解】 由题可知，， 因为，所以，解得， 所以，即的坐标为． 12. 已知向量，， （1）求的最小正周期和最大值； （2）若，的周长为12，且，求的面积. 【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）. 【解析】 【分析】 （1）用二倍角公式化为同名三角函数，再利用及正余弦函数的值域即可 （2）由及余弦定理和面积公式即可得解. 【详解】（1） 故的最小正周期为 当时，的最大值为. （2）由，得 因为，故 因为，的周长为12，所以. 由余弦定理得：，即， 所以.故， 【点睛】本题考查三角函数的综合应用和解三角形，要灵活运用三角函数的基本性质、恒等变换、正余弦定理、面积公式等. 13. 已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，为锐角，. （1）求角的大小； （2）若点为外接圆上一点，连接AD，CD，则在四边形中，，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算以及倍角公式化简求出； （2）设，的外接圆圆心为，过作，求出，再根据化简求出. 【小问1详解】 由题意可知，， 则，即，即， 因为为锐角，所以，则，则； 【小问2详解】 因为，， 所以在中由余弦定理可得，， 则，则，即， 设的外接圆圆心为，过作，垂足为， 设，则，， 因为，所以，则，即，， 由题意可知，点位于直径同侧，才可构成四边形， 则， 则 ， 因为，所以，故当时，有最大值， 故面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $