精品解析：陕西省兴平市西郊高级中学2025-2026学年高三上学期第十一次周练数学试卷

高三一轮复习考点滚动提升卷·数学（十一） 立体几何初步、空间向量与立体几何+滚动内容 （时间：40分钟分值：100分） 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 一个水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出的直观图为如图所示的矩形，已知，是的中点，则原四边形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 2. 四等分切割如图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，则圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. 10 D. 20 3. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm，足径14.4cm，高3.8cm，其中底部圆柱高0.8cm，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附：圆台的侧面积，，为两底面半径，为母线长，其中的值取3，） A. B. C. D. 二、选择题：本题共2小题，每小题8分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得8分，有选错的得0分，部分选对的得4分. 7. 如图，分别是空间四边形各边上的点（不与各边的端点重合），且，．则下列结论一定正确的是（ ） A. 共面 B. C. 面 D. 若直线与有交点，则交点在直线上 8. 设，分别是正方体的棱上两点，且，，下列说法错误的是（ ） A. 的面积为定值 B. 点D1到平面B1EF的距离为 C. 平面 D. 直线与平面所成的角为 三、填空题：本大题共2小题，每小题6分，共12分. 9. 如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为_________. 10. 已知四棱柱的底面是正方形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为________． 四、解答题：本题共3小题，每小题12分，共36分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，． （1）求的长； （2）求与夹角的余弦值． 12. 如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 13. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三一轮复习考点滚动提升卷·数学（十一） 立体几何初步、空间向量与立体几何+滚动内容 （时间：40分钟分值：100分） 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 一个水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出的直观图为如图所示的矩形，已知，是的中点，则原四边形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为原图，如图，由勾股定理求出，即可求解. 【详解】由题意知，，， 则，将直观图还原为原图，如图，此时四边形为平行四边形， 在平行四边形中，， 则， 所以原四边形的周长为. 故选：C 2. 四等分切割如图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，则圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. 10 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，依题意可得，再根据侧面积公式计算可得. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，依题意可得， 所以圆柱的侧面积. 故选：A 3. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，由，，，得或与相交，故A错误； 对于B，若，则与可能是异面直线、也可能是相交直线，也可能是平行直线，所以B错误； 对于C，若，，由线面垂直的性质定理知，所以C正确； 对于D，若，，则与可能相交，也可能平行，所以D错误. 故选：C. 4. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 5. 已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，按照距离的向量求法求解即可. 【详解】 如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，易知， 设平面的法向量，则，令，解得， 故点到平面的距离为. 故选：A. 6. 黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm，足径14.4cm，高3.8cm，其中底部圆柱高0.8cm，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附：圆台的侧面积，，为两底面半径，为母线长，其中的值取3，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求圆台母线长，再代入圆台和圆柱侧面积公式，即可求解. 【详解】设该圆台的母线长为，两底面圆半径分别为，（其中）， 则，，， 所以， 故圆台部分的侧面积为， 圆柱部分的侧面积为， 故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为. 故选：B. 二、选择题：本题共2小题，每小题8分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得8分，有选错的得0分，部分选对的得4分. 7. 如图，分别是空间四边形各边上的点（不与各边的端点重合），且，．则下列结论一定正确的是（ ） A. 共面 B. C. 面 D. 若直线与有交点，则交点在直线上 【答案】AD 【解析】 【分析】由可证得四点共面，知A正确；由A可知若，则B不成立；结合线面平行性质，根据未必成立可知C错误；根据平面的性质可判断D正确. 【详解】对于A，，；同理可得：， ，四点共面，A正确； 对于B，由A知：四点共面，若，则与为相交直线，B错误； 对于C，若面，平面，平面平面， ，，此条件未必成立，C错误； 对于D，平面，平面，与有交点，与的交点必在平面与平面的交线上， 平面平面，与的交点在直线上，D正确. 故选：AD. 8. 设，分别是正方体的棱上两点，且，，下列说法错误的是（ ） A. 的面积为定值 B. 点D1到平面B1EF的距离为 C. 平面 D. 直线与平面所成的角为 【答案】CD 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系后将平面转变到平面后用向量坐标与点到平面的距离公式解决问题即可. 【详解】设正方体边长为4，以点为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如下图，且有，，，，，，，， 对于选项A：易得平面平面，且，平面，所以，进而，且平面，平面， 则，即的面积为定值，故A选项正确； 对于选项B：设平面的法向量为，，， 则有，即，令，则，，则点到平面的距离， 即点D1到平面B1EF的距离为，故B选项正确； 对于选项C：若平面，则平面内所有直线，即平面内所有直线，显然为等边三角形，不垂直，故选项C错误； 对于选项D：由题得，平面即平面的法向量为，则线面角，故，故D选项错误. 故选：CD. 三、填空题：本大题共2小题，每小题6分，共12分. 9. 如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可得出答案. 【详解】设圆锥的母线长为， 所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：， 所以，所以圆锥的高. 故圆锥的体积为：. 故答案为：. 10. 已知四棱柱的底面是正方形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量的方法计算，将表示成，平方即可. 【详解】由题可知四棱柱为平行六面体，， 所以 ， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共3小题，每小题12分，共36分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，． （1）求的长； （2）求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）表达出，平方后，结合数量积运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 12. 如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 连接. ∵， 为的中点， ∴ ∵， ∴. ∵， 为的中点， ∴ ∵， ∴. ∴， . ∵ 平面， ∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明，，可证得线面垂直； （2）以O为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以O为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， ， . 则， . 设平面的法向量， 则. 令则，即. 易证平面，故取平面的法向量. 因为二面角的平面角为锐角，所以 【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法： （1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）． 13. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明：因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $