精品解析：上海市上海师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

上师大附中2025学年第一学期期末考试 高一年级数学学科 （考试时间：120分钟 满分: 150分） 一、填空题（第1~6题，每小题4分，第7~12题，每小题5分，共54分） 1. 已知全集，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用补集运算即可求解. 【详解】由，，可得， 故答案为： 2. 已知扇形的弧长为，其圆心角为，则该扇形的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】计算出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积. 【详解】扇形圆心角的弧度数为，故该扇形的半径为， 因此，该扇形的面积为. 故答案为：. 3. 已知，化简：______. 【答案】 【解析】 【分析】由指数幂的运算化简即可； 【详解】原式. 故答案为：. 4. 已知角的终边经过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得的值． 【详解】设坐标原点为， 由题意可得：， 故. 故答案为：. 5. 已知函数，则函数的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域分别求出各段函数的值域，再取并集得到函数的值域. 【详解】当时，，在单调递增，， 当时，则，在上单调递减， 所以， 当时，则， 当时，则，在上单调递增， 所以， 综合以上三种情况，当时，， 所以的值域为. 故答案为：. 6. 记，则_______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得 . 故答案为：1 7. 若关于的不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】求解分式不等式，根据解集为空集即可求出. 【详解】等价于，得， 因为的解集为空集，所以的解集为空集，则， 故实数的取值范围为. 故答案为： 8. 已知函数（，），若对于任意的且，均有，则实数的取值范围为_________. 【答案】或. 【解析】 【分析】根据以及指数函数的单调性分类讨论求解. 【详解】由题意可知，在上单调递增， 若，则且在上单调递减，则在上单调递增； 若，则在上单调递增，由条件可得，得， 故实数的取值范围为或. 故答案为：或. 9. 在2025—2026首届上海高中足球联赛中，上师大附中在全市众多劲旅中奋勇突围，最终取得男子超级组第四名的优异成绩.在一场激烈比赛中，该队的10号球员从点出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达点时，发现足球在点处正以7.5米/秒的速度向点做匀速直线运动.已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为______秒． 【答案】## 【解析】 【分析】设在D处截住足球，时间设为秒，则，，在中，利用余弦定理列方程求得或，即可求解. 【详解】如图 设在D处截住足球，时间设为秒，则，，则， 又，， 在中，利用余弦定理可知，， 则， 化简得，解得或， 所以该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为秒. 故答案为：. 10. 已知函数，若恒成立，则实数的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的非负性可以推知，有相同的零点，从而分析出答案. 【详解】函数的定义域为，当时，，当时，，当时，，要使， 则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数的一个零点，易得， 则，且开口向上，只需，即，解得， 故的最小值为. 故答案为：. 11. 已知函数，若存在，使得，则_________. 【答案】或 【解析】 【分析】令，得，根据偶函数性质分，两种情况求解即可. 【详解】令，则， 所以， 令，因为， 所以函数是偶函数，关于轴对称， 故函数关于直线对称， 当，即时，成立，符合题意； 当时，要使成立， 则， 由辅助角公式可得，即， 因为，所以，得，解得. 综上，若存在使得成立，则或. 故答案为：或. 12. 设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则的取值为_________． 【答案】1或 【解析】 【分析】变形给定等式并构造函数，将问题转化为两个函数值域的包含关系，并按分类求解即得. 【详解】方程， 记集合，, 由任意的，都有满足方程，得， ①当时，，，则，解得， 由唯一，得，解得，符合题意，因此； ②当时，，，则，解得， 由唯一，得，解得，符合题意，因此， 所以的取值为或. 故答案为：或 二．选择题（第13~14题，每小题4分，第15~16题，每小题5分，共18分） 13. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 以上均不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用正弦的差角公式得，从而得，再分和两种情况，再由诱导公式即可求解. 【详解】因为，则， 当时，， 则 ， 当时，， 则 . 故选：A. 14. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象关于原点对称，排除B，C选项，再由，排除A选项，从而得出正确答案. 【详解】根据函数的图象关于原点对称，可知函数为奇函数，而B，C选项中的函数为偶函数，不符合题意，排除； 又，对于A选项，当时，，不符合，排除； 对于D选项，当时，，符合条件，所以D选项正确. 故选：D 15. 设函数，若函数有两个零点，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分别求出时的函数零点即可判断A，B；分析函数性质及在两段上的取值集合即可判断C，D作答. 【详解】对于A，当时，，取，由，解得或，即当时，函数有两个零点，A不正确； 对于B，当时，，取，由解得，即当时，函数只有一个零点，B不正确； 对于C，当时，函数在上单调递增，函数值集合为， 函数在上单调递增，函数值集合为，而恒有成立， 此时函数在R上递增，函数最多一个零点，C不正确； 对于D，当时，由选项C知，恒有成立，当时，方程有唯一解， 当时，方程有唯一解，则当时，方程有两个解， 因此，当且仅当，函数有两个零点， D正确. 故选：D 16. 函数，其中表示不超过的最大整数．给出以下两个命题：命题①：方程没有实数根；命题②：存在实数，使得当且时，都有．则下列选项中正确的是（ ） A. ①、②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①、②均为假命题 【答案】A 【解析】 【分析】利用取整函数结合对数值分析，即可判断①，利用取整函数思想，结合区间长度分析，可得到当时，满足题意②，从而可判断②. 【详解】因为，所以定义域为，即， 则的值域为， 因为，所以方程没有实数根，故①为真命题； 令，则， 因为，所以， 当时，， 为了满足恒成立，则只需要， 又由于， 即只需要， 即存在满足题意，故②为真命题； 故选：A. 三、解答题（共78分） 17. 已知幂函数，且在区间上是严格增函数． （1）求的值； （2）设定义域为的函数为奇函数，当时，，求的表达式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数为幂函数可求得或，再分别代入求解函数单调性； （2）结合函数为奇函数的定义求解即可. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以，解得或. 当时，在上是严格减函数，所以不符合题意； 当时，在上是严格增函数，所以符合题意. 故. 【小问2详解】 当时，，又，解得， 时，， 当时，，因为为奇函数，所以，又， 18. 某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③ （1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由： （2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 【答案】（1） 对于模型①，，图象为直线，故①错误， 由图可知，该函数的增长速度由快变慢， 对于模型②，指数型的函数是由慢变快，且增长速度是爆炸型增长，故②错误， 对于模型③，对数型的函数增长速度是由快变慢，符合题意，故选项模型③， （2）万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合函数所过的点，以及函数的增长速度，即可求解． （2）根据（1）的结论，将对应的点代入，即可求解函数表达式，列不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，选项模型③，所求函数过点， 则，解得， 故所求函数为， 因为总奖金不少于9万元，所以，即， 所以，所以， 所以至少应完成销售利润万元． 19. 已知函数，其中. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简得，得出，再将式子分子用代换，用同角三角函数关系计算即可； （2）将代入化简，得，用得的值，用二倍角公式计算即可. 【小问1详解】 由（） 因为，所以， 所以； 【小问2详解】 由题知，代入原式得， 整理得，即，① 又，可得， ，所以，，代入①得，， 由，得 . 20. 已知（），函数在区间上的最小值和最大值分别是和. （1）求的表达式； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数在区间的单调性及取值情况列方程求解即可得出结果； （2）原方程化为，令，得到方程，通过二次方程实根分布，可得的不等式组，即可求得的范围； （3）将不等式转化为在上恒成立，利用函数取值即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 函数， 因为，所以在区间上严格增， 所以，即，解得， ； 【小问2详解】 方程有两个不相等的实数根，得方程有两个不相等的实数根， 令，则关于的一元二次方程有两个不相等的正实根， ， ； 【小问3详解】 令，由在上恒成立，得恒成立， 得恒成立，即，恒成立， 令，，在上严格增，， 令，，可得， . 21. 对于定义域为的函数，以及集合，若对任意的，都有成立，则称：函数满足“关联”． （1）若，分别判断函数是否满足“关联”，“关联”（无需说明理由）； （2）若定义域为的函数满足“关联”，且当时，，解不等式； （3）已知对于定义域为的函数，有如下的两个陈述句：：函数满足“关联”，且满足“关联”；：函数满足“关联”.判断是的什么条件，并证明你的结论. 【答案】（1）满足“关联”，不满足“关联” （2） （3） 充要条件，证明如下： ①若函数满足“关联”， 即对于任意，都有， ，， 又是关联的，任取，成立，即是增函数， 任取，则， ，， ，满足“关联”， 是的充分条件； ②若函数满足“关联” 即对于任意，都有成立， 当，都有即， 若存在使得，则， 这与满足，都有相矛盾， 所以成立，即满足“关联”， 任取则存在，使得任取 因为， 又因为满足“关联”，， 所以， 即，所以满足“关联”， 是的必要条件. 综上所述：是的充要条件. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义直接判断作答. （2）根据给定条件，可得，再结合已知函数分段解不等式并求并集作答. （3）利用给定的定义，利用推理证明命题的充分性和必要性作答. 【小问1详解】 因为若对任意的， 则； 而若，则； 所以满足“关联”，不满足“关联”； 【小问2详解】 满足“关联”，对于任意，都有， 即对于任意，都有，即，即， 当时，，， 令，解得； 当时，， 令，解得； 当时，总存在，使得，， 则， 无解； 当时，总存在，使得，， 则，无解； 综上所述，不等式的解是； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上师大附中2025学年第一学期期末考试 高一年级数学学科 （考试时间：120分钟 满分: 150分） 一、填空题（第1~6题，每小题4分，第7~12题，每小题5分，共54分） 1. 已知全集，，则_________. 2. 已知扇形的弧长为，其圆心角为，则该扇形的面积是____________． 3. 已知，化简：______. 4. 已知角的终边经过点，则__________． 5. 已知函数，则函数的值域为________． 6. 记，则_______. 7. 若关于的不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为________． 8. 已知函数（，），若对于任意的且，均有，则实数的取值范围为_________. 9. 在2025—2026首届上海高中足球联赛中，上师大附中在全市众多劲旅中奋勇突围，最终取得男子超级组第四名的优异成绩.在一场激烈比赛中，该队的10号球员从点出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达点时，发现足球在点处正以7.5米/秒的速度向点做匀速直线运动.已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为______秒． 10. 已知函数，若恒成立，则实数的最小值为_____________. 11. 已知函数，若存在，使得，则_________. 12. 设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则的取值为_________． 二．选择题（第13~14题，每小题4分，第15~16题，每小题5分，共18分） 13. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 以上均不对 14. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 15. 设函数，若函数有两个零点，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 16. 函数，其中表示不超过的最大整数．给出以下两个命题：命题①：方程没有实数根；命题②：存在实数，使得当且时，都有．则下列选项中正确的是（ ） A. ①、②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①、②均为假命题 三、解答题（共78分） 17. 已知幂函数，且在区间上是严格增函数． （1）求的值； （2）设定义域为的函数为奇函数，当时，，求的表达式. 18. 某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③ （1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由： （2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 19. 已知函数，其中. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 20. 已知（），函数在区间上的最小值和最大值分别是和. （1）求的表达式； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 21. 对于定义域为的函数，以及集合，若对任意的，都有成立，则称：函数满足“关联”． （1）若，分别判断函数是否满足“关联”，“关联”（无需说明理由）； （2）若定义域为的函数满足“关联”，且当时，，解不等式； （3）已知对于定义域为的函数，有如下的两个陈述句：：函数满足“关联”，且满足“关联”；：函数满足“关联”.判断是的什么条件，并证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $